AMC过去考试真题及对应答案

AMC过去考试真题及对应答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在复平面内，将复数z=a+bi（a，b∈R）绕原点逆时针旋转90°，所得复数对应的点在（）（2分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】复数z=a+bi绕原点逆时针旋转90°，相当于乘以i，即得到bi-ai，其对应点在第二象限

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}【答案】D【解析】A={1,2}，若B⊆A，则方程x^2-ax+1=0的解必须是1或2或同时是1和2当解为1时，a=2；当解为2时，a=3；当解同时为1和2时，a=3因此a的可能取值为0,1,

23.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点之间的距离，即

34.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA/2的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】A【解析】由cosA=1/2，得A=π/3，sinA/2=sinπ/6=1/

25.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n，则通项公式a_n为（）（2分）A.3×2^n-1B.2×3^n-1C.3×2^nD.2×3^n【答案】A【解析】S_n=2a_n-3n，S_{n-1}=2a_{n-1}-3n-1，两式相减得a_n=2a_n-2a_{n-1}-3，即a_n=2a_{n-1}+3初始条件S_1=2a_1-3，得a_1=3解得a_n=3×2^n-

16.执行以下程序段后，变量x的值为（）（2分）x=0;fori=1;i=5;i++x=x+i;A.0B.5C.15D.10【答案】D【解析】x=0+1+2+3+4+5=

157.若直线l过点A1,2且与直线y=3x+4垂直，则直线l的方程为（）（2分）A.3x-y+1=0B.x+3y-7=0C.x-3y+5=0D.3x+y-5=0【答案】A【解析】直线y=3x+4的斜率为3，垂直线的斜率为-1/3过点A1,2的直线方程为y-2=-1/3x-1，即3x-y+1=

08.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面x+y+z=1的对称点P的坐标为（）（2分）A.-1,-1,-1B.0,0,0C.1,1,1D.2,2,2【答案】A【解析】点P到平面的垂足为F，P是P关于F的对称点F的坐标为1/3,2/3,2/3，P的坐标为-1/3,-4/3,-4/3，即-1,-1,-

19.函数fx=e^x-1的图像关于哪个点中心对称（）（2分）A.0,0B.1,1C.0,1D.1,0【答案】C【解析】fx=e^x-1关于点0,1中心对称，因为f0=0，且fx-f0=e^x-1，关于x=0对称

10.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为（）（2分）A.3/5B.4/5C.5/13D.12/13【答案】B【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/235=4/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.一个非零向量与它的负向量方向相反D.若sinα=1/2，则α=π/6【答案】A、C【解析】空集是任何集合的子集，一个非零向量与它的负向量方向相反若ab，则a^2b^2不一定成立，如a=1，b=-2若sinα=1/2，则α=π/6或5π/

62.以下函数中，在区间0,1上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=lnx【答案】A、B、D【解析】y=x^2在0,1上单调递增，y=2x+1在0,1上单调递增，y=1/x在0,1上单调递减，y=lnx在0,1上单调递增

3.在复平面内，下列等式可能成立的有（）（4分）A.z^2=1B.z^3=1C.z^4=1D.z^5=1【答案】A、B、C【解析】z^2=1的解为±1，z^3=1的解为1,ω,ω^2（ω为primitivecuberootofunity），z^4=1的解为1,ω,ω^2,ω^3（ω为primitivefourthrootofunity），z^5=1的解为1,ω,ω^2,ω^3,ω^4（ω为primitivefifthrootofunity）只有z^5=1的所有解都是单位根

4.关于函数fx=|x|在区间[-1,1]上的下列说法中，正确的有（）（4分）A.最大值是1B.最小值是0C.不单调D.图像关于y轴对称【答案】A、B、C、D【解析】fx=|x|在区间[-1,1]上的最大值是1，最小值是0，不是单调函数，图像关于y轴对称

5.在空间几何中，下列命题正确的有（）（4分）A.三条平行线确定一个平面B.三个不共线的点确定一个平面C.一条直线和直线外一点确定一个平面D.两两相交的三条直线确定一个平面【答案】B、C【解析】三个不共线的点确定一个平面，一条直线和直线外一点确定一个平面三条平行线不一定确定一个平面，两两相交的三条直线不一定确定一个平面

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，且fx≥0对任意x∈R恒成立，则a=______，b=______，c=______（4分）【答案】a=0，b=0，c=0【解析】fx≥0对任意x∈R恒成立，说明fx的图像是x轴，即a=0，b=0，c=

02.数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=______（4分）【答案】31【解析】a_1=S_1=1，a_2=S_2-S_1=3，a_3=S_3-S_2=5，a_4=S_4-S_3=9，a_5=S_5-S_4=17，a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+5+9+17=

313.在直角坐标系中，点A1,2和点B3,0的距离为______（4分）【答案】√8【解析】|AB|=√3-1^2+0-2^2=√

84.若直线l过点A1,2且与直线y=3x+4垂直，则直线l的斜率为______（4分）【答案】-1/3【解析】直线y=3x+4的斜率为3，垂直线的斜率为-1/

35.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为______（4分）【答案】3/5【解析】由正弦定理，sinA=a/2R，其中R为外接圆半径由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=12/16=3/4，sinA=√1-cos^2A=√1-3/4^2=3/

56.函数fx=e^x-1在点x=0处的切线方程为______（4分）【答案】y=x【解析】fx=e^x，f0=1，f0=0，切线方程为y-f0=f0x-0，即y=x

7.若数列{a_n}是等差数列，且a_1=1，a_5=9，则a_3=______（4分）【答案】5【解析】由等差数列性质，a_3=a_1+a_5/2=1+9/2=

58.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面x+y+z=1的对称点P的坐标为______（4分）【答案】-1,-1,-1【解析】点P到平面的垂足为F，P是P关于F的对称点F的坐标为1/3,2/3,2/3，P的坐标为-1/3,-4/3,-4/3，即-1,-1,-1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，ab但a^2b^

22.空集是任何集合的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集，这是集合论的基本性质

3.一个非零向量与它的负向量方向相反（）（2分）【答案】（√）【解析】一个非零向量与它的负向量方向相反，这是向量的基本性质

4.若sinα=1/2，则α=π/6（）（2分）【答案】（×）【解析】若sinα=1/2，则α=π/6或5π/

65.函数fx=|x|在区间[-1,1]上是单调函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数fx=|x|在区间[-1,1]上不是单调函数，它在x=0处有拐点

6.三个不共线的点确定一个平面（）（2分）【答案】（√）【解析】三个不共线的点确定一个平面，这是平面几何的基本性质

7.两两相交的三条直线确定一个平面（）（2分）【答案】（×）【解析】两两相交的三条直线不一定确定一个平面，它们可以交于一点

8.若a_n→A，b_n→B，则a_n+b_n→A+B（）（2分）【答案】（√）【解析】这是数列极限的基本性质

9.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx是奇函数，则f-x=-fx，不一定有f0=0，如fx=x^

310.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】fx是偶函数，则f-x=fx，其图像关于y轴对称。