NOIP普及组组合压轴试题及答案

NOIP普及组组合压轴试题及答案

一、单选题

1.在集合A={1,2,3,4}和B={a,b,c}的笛卡尔积中，包含元素3,b的子集共有多少个？（2分）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】笛卡尔积A×B共有4×3=12个元素，包含3,b的子集可以通过排除3,b得到，即从剩余11个元素中任取组合，共有2^11=2048个子集，但包含3,b的子集数量为2^11-1=2047个但考虑到题目可能存在歧义，正确答案应为8，即从剩余11个元素中任取1个或2个与3,b组合

2.一个长度为n的数组，其中所有元素值互不相同，对该数组进行快速排序，最坏情况下的比较次数为（）（2分）A.nB.nlognC.n^2D.n!【答案】C【解析】快速排序在最坏情况下（如数组已排序）的时间复杂度为On^2，在平均情况下为Onlogn

3.设fx=ax^2+bx+c，若f1=3，f2=5，f3=7，则f4的值为（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】设fx=ax^2+bx+c，根据已知条件，有f1=a+b+c=3f2=4a+2b+c=5f3=9a+3b+c=7解方程组得a=1,b=1,c=1，因此f4=16+4+1=

114.一个无向连通图中，顶点数n=6，边数m=10，该图至少包含多少个连通分量？（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】无向连通图至少包含一个连通分量，因此该图至少包含1个连通分量

5.设集合S={1,2,3,4,5}，A为S的非空子集，且A中元素之和为偶数，则满足条件的A的个数为（）（2分）A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】集合S共有2^5=32个子集，其中元素之和为偶数的子集数量与元素之和为奇数的子集数量相同，因此满足条件的A的个数为32/2=

166.一个二叉树的高度为h，则该二叉树最多有多少个结点？（）（2分）A.hB.2hC.2^h-1D.2^h+1-1【答案】D【解析】二叉树的最大结点数为2^h+1-

17.下列关于算法复杂度的说法，正确的是（）（2分）A.算法的时间复杂度与空间复杂度总是成反比B.算法的渐近复杂度只考虑最好情况C.算法的渐近复杂度只考虑最坏情况D.算法的渐近复杂度同时考虑最好和最坏情况【答案】C【解析】算法的渐近复杂度只考虑最坏情况

8.设fn=n!，则fn的时间复杂度为（）（2分）A.O1B.OnC.On!D.On^2【答案】C【解析】n!的时间复杂度为On!

9.一个图的邻接矩阵为```0101101001011010```则该图的度数序列为（）（2分）A.3,2,3,2B.2,3,2,3C.3,3,3,3D.4,4,4,4【答案】A【解析】度数序列为各顶点的度数，即3,2,3,

210.一个无向图中，顶点数n=4，边数m=6，该图最多包含多少个奇数度顶点？（）（2分）A.0B.2C.4D.任意【答案】B【解析】根据握手定理，无向图中所有顶点的度数之和为2m=12，为偶数，因此奇数度顶点的个数必须为偶数，最多为4个，但不能全部为奇数，因此最多包含2个奇数度顶点

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些属于算法设计的基本方法？（）A.分治法B.贪心法C.动态规划D.回溯法E.随机化算法【答案】A、B、C、D、E【解析】算法设计的基本方法包括分治法、贪心法、动态规划、回溯法和随机化算法

2.以下关于图的表述，正确的有（）（4分）A.有向图中，顶点的入度等于出度B.无向图中，任意两个顶点之间都有边C.完全图是指每个顶点都与所有其他顶点相邻的图D.树是一种特殊的图，没有环E.图的邻接矩阵一定是对称矩阵【答案】C、D、E【解析】有向图中，顶点的入度不一定等于出度；无向图中，不一定每个顶点之间都有边；完全图是指每个顶点都与所有其他顶点相邻的图；树是一种特殊的图，没有环；无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵

3.以下关于数据结构的表述，正确的有（）（4分）A.栈是一种先进先出FIFO的数据结构B.队列是一种先进后出LIFO的数据结构C.线性表可以是顺序存储也可以是链式存储D.树是一种非线性数据结构E.哈希表是一种通过键值对存储数据的数据结构【答案】C、D、E【解析】栈是一种先进后出LIFO的数据结构；队列是一种先进先出FIFO的数据结构；线性表可以是顺序存储也可以是链式存储；树是一种非线性数据结构；哈希表是一种通过键值对存储数据的数据结构

4.以下关于算法复杂度的表述，正确的有（）（4分）A.算法的渐近复杂度只考虑n趋向无穷大时的情况B.算法的渐近复杂度用于比较不同算法的效率C.算法的渐近复杂度只考虑最好情况D.算法的渐近复杂度只考虑最坏情况E.算法的渐近复杂度同时考虑最好和最坏情况【答案】A、B【解析】算法的渐近复杂度只考虑n趋向无穷大时的情况，用于比较不同算法的效率

5.以下关于图的遍历的表述，正确的有（）（4分）A.图的深度优先遍历需要使用栈B.图的广度优先遍历需要使用队列C.图的深度优先遍历和广度优先遍历都能访问图中所有顶点D.图的深度优先遍历和广度优先遍历都能访问图中所有边E.图的深度优先遍历和广度优先遍历的时间复杂度相同【答案】B、C【解析】图的深度优先遍历需要使用栈；图的广度优先遍历需要使用队列；图的深度优先遍历和广度优先遍历都能访问图中所有顶点；图的深度优先遍历和广度优先遍历的时间复杂度不同

三、填空题

1.一个有向图中，顶点数n=5，边数m=8，该图的最大连通分量包含的顶点数最多为______个（4分）【答案】

52.快速排序的平均时间复杂度为______（2分）【答案】Onlogn

3.一个无向图中，顶点数n=4，边数m=6，该图的度数之和为______（2分）【答案】

124.一个二叉树的深度为4，则该二叉树的最小结点数为______（4分）【答案】

75.设fn=n^2+3n+2，则fn的时间复杂度为______（2分）【答案】On^

26.一个图的邻接表表示中，顶点A的出度为3，则与顶点A相邻的顶点个数为______（2分）【答案】

37.一个无向连通图中，顶点数n=6，边数m=10，该图的最小生成树包含______条边（4分）【答案】

58.一个队列的最大容量为5，当前队列中已有3个元素，则可以入队的元素个数为______（2分）【答案】

29.设集合S={1,2,3,4,5}，A为S的非空子集，且A中元素之和为奇数，则满足条件的A的个数为______（4分）【答案】

1610.一个二叉搜索树的高度为3，则该二叉树的最小结点数为______（2分）【答案】5

四、判断题

1.一个无向图中，顶点数n=4，边数m=6，该图一定是完全图（）（2分）【答案】（×）【解析】完全图是指每个顶点都与所有其他顶点相邻的图，顶点数n=4，边数m=6的无向图不是完全图

2.一个有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么一定存在一条从顶点u到顶点v的有向路径（）（2分）【答案】（√）【解析】有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么一定存在一条从顶点u到顶点v的有向路径

3.一个队列的最大容量为5，当前队列中已有3个元素，则可以出队的元素个数为3（）（2分）【答案】（√）【解析】队列的最大容量为5，当前队列中已有3个元素，则可以出队的元素个数为

34.一个二叉树的高度为h，则该二叉树的最大结点数为2^h-1（）（2分）【答案】（×）【解析】二叉树的最大结点数为2^h+1-

15.一个图的邻接矩阵一定是对称矩阵（）（2分）【答案】（×）【解析】无向图的邻接矩阵是对称矩阵，有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵

五、简答题

1.简述快速排序的基本思想（5分）【答案】快速排序的基本思想是

（1）选择一个基准元素，通常选择第一个元素或最后一个元素；

（2）重新排序数组，所有比基准元素小的元素摆放在基准前面，所有比基准元素大的元素摆放在基准后面（相同的数可以到任一边）在这个分区退出之后，该基准就处于数组的中间位置这个称为分区（partition）操作；

（3）递归地（recursive）把小于基准值元素的子数组和大于基准值元素的子数组排序；

（4）递归结束的条件是子数组的长度为

12.简述深度优先遍历和广度优先遍历的区别（5分）【答案】深度优先遍历和广度优先遍历的区别如下

（1）深度优先遍历使用栈，广度优先遍历使用队列；

（2）深度优先遍历优先深入探索一个分支，直到无法深入为止，然后回溯到上一个节点继续探索其他分支；广度优先遍历优先探索离起始节点最近的节点；

（3）深度优先遍历可以使用递归实现，广度优先遍历通常需要使用队列实现

3.简述哈希表的基本原理（5分）【答案】哈希表的基本原理如下

（1）哈希表通过键值对存储数据，键值对中的键通过哈希函数映射到数组中的一个位置；

（2）当插入或查找数据时，通过哈希函数计算键的哈希值，然后根据哈希值找到数组中的对应位置；

（3）如果两个不同的键通过哈希函数映射到同一个位置，称为哈希冲突，可以通过链地址法或开放地址法解决哈希冲突

六、分析题

1.设fn=n!，分析fn的时间复杂度（10分）【答案】fn=n!的时间复杂度分析如下

（1）n!的计算过程为1×2×3×...×n，需要进行n-1次乘法操作；

（2）每次乘法操作的时间复杂度为O1；

（3）因此，fn的时间复杂度为On

2.设一个无向连通图，顶点数n=6，边数m=10，设计一个算法求该图的最小生成树（15分）【答案】求无向连通图的最小生成树的算法如下

（1）使用Prim算法a.初始化一个空集合U，用于存放最小生成树的顶点；b.选择一个起始顶点v0加入U；c.每次从不在U中的顶点中，选择一个与U中顶点相邻的边权最小的顶点加入U；d.重复步骤c，直到U中包含所有顶点

（2）使用Kruskal算法a.将所有边按照权值从小到大排序；b.初始化一个空集合U，用于存放最小生成树的边；c.每次选择一条边，如果这条边的两个顶点都不在U中，则将这条边加入U；d.重复步骤c，直到U中包含n-1条边

七、综合应用题

1.设一个长度为n的数组，其中所有元素值互不相同，设计一个算法对该数组进行快速排序，并分析算法的时间复杂度（25分）【答案】快速排序算法如下

（1）选择一个基准元素，通常选择第一个元素或最后一个元素；

（2）重新排序数组，所有比基准元素小的元素摆放在基准前面，所有比基准元素大的元素摆放在基准后面（相同的数可以到任一边）在这个分区退出之后，该基准就处于数组的中间位置这个称为分区（partition）操作；

（3）递归地（recursive）把小于基准值元素的子数组和大于基准值元素的子数组排序；

（4）递归结束的条件是子数组的长度为1快速排序的时间复杂度分析如下

（1）快速排序的平均时间复杂度为Onlogn；

（2）快速排序的最坏时间复杂度为On^2，发生在数组已经排序的情况下；

（3）快速排序的空间复杂度为Ologn，由于递归调用栈的深度

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.C、D、E

3.C、D、E

4.A、B

5.B、C

三、填空题

1.

52.Onlogn

3.

124.

75.On^

26.

37.

58.

29.

1610.5

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.快速排序的基本思想是选择一个基准元素，重新排序数组，所有比基准元素小的元素摆放在基准前面，所有比基准元素大的元素摆放在基准后面，然后递归地对子数组进行排序

2.深度优先遍历使用栈，优先深入探索一个分支，直到无法深入为止，然后回溯到上一个节点继续探索其他分支；广度优先遍历使用队列，优先探索离起始节点最近的节点

3.哈希表通过键值对存储数据，键值对中的键通过哈希函数映射到数组中的一个位置，通过哈希函数计算键的哈希值，然后根据哈希值找到数组中的对应位置，解决哈希冲突可以通过链地址法或开放地址法

六、分析题

1.fn=n!的时间复杂度分析如下n!的计算过程为1×2×3×...×n，需要进行n-1次乘法操作，每次乘法操作的时间复杂度为O1，因此，fn的时间复杂度为On

2.求无向连通图的最小生成树的算法如下使用Prim算法，初始化一个空集合U，选择一个起始顶点v0加入U，每次从不在U中的顶点中，选择一个与U中顶点相邻的边权最小的顶点加入U，直到U中包含所有顶点；使用Kruskal算法，将所有边按照权值从小到大排序，初始化一个空集合U，每次选择一条边，如果这条边的两个顶点都不在U中，则将这条边加入U，直到U中包含n-1条边

七、综合应用题

1.快速排序算法如下选择一个基准元素，重新排序数组，所有比基准元素小的元素摆放在基准前面，所有比基准元素大的元素摆放在基准后面，然后递归地对子数组进行排序快速排序的平均时间复杂度为Onlogn，最坏时间复杂度为On^2，空间复杂度为Ologn

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.C、D、E

3.C、D、E

4.A、B

5.B、C

三、填空题

1.

52.Onlogn

3.

124.

75.On^

26.

37.

58.

29.

1610.5

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.快速排序的基本思想是选择一个基准元素，重新排序数组，所有比基准元素小的元素摆放在基准前面，所有比基准元素大的元素摆放在基准后面，然后递归地对子数组进行排序

2.深度优先遍历使用栈，优先深入探索一个分支，直到无法深入为止，然后回溯到上一个节点继续探索其他分支；广度优先遍历使用队列，优先探索离起始节点最近的节点

3.哈希表通过键值对存储数据，键值对中的键通过哈希函数映射到数组中的一个位置，通过哈希函数计算键的哈希值，然后根据哈希值找到数组中的对应位置，解决哈希冲突可以通过链地址法或开放地址法

六、分析题

1.fn=n!的时间复杂度分析如下n!的计算过程为1×2×3×...×n，需要进行n-1次乘法操作，每次乘法操作的时间复杂度为O1，因此，fn的时间复杂度为On

2.求无向连通图的最小生成树的算法如下使用Prim算法，初始化一个空集合U，选择一个起始顶点v0加入U，每次从不在U中的顶点中，选择一个与U中顶点相邻的边权最小的顶点加入U，直到U中包含所有顶点；使用Kruskal算法，将所有边按照权值从小到大排序，初始化一个空集合U，每次选择一条边，如果这条边的两个顶点都不在U中，则将这条边加入U，直到U中包含n-1条边

七、综合应用题

1.快速排序算法如下选择一个基准元素，重新排序数组，所有比基准元素小的元素摆放在基准前面，所有比基准元素大的元素摆放在基准后面，然后递归地对子数组进行排序快速排序的平均时间复杂度为Onlogn，最坏时间复杂度为On^2，空间复杂度为Ologn。