三次函数专项试题及解析答案

三次函数专项试题及解析答案

一、单选题

1.若fx是三次函数，且f-1=0，f1=0，f0=-1，则fx的表达式为（）（2分）A.fx=x³-x-1B.fx=-x³+x-1C.fx=x³+x-1D.fx=-x³-x-1【答案】B【解析】根据f-1=0，f1=0，f0=-1，代入选项验证，只有选项B满足条件

2.三次函数y=ax³+bx²+cx+d的图像与x轴有三个交点，则其判别式Δ满足（）（2分）A.Δ0B.Δ=0C.Δ0D.Δ≥0【答案】A【解析】三次函数与x轴有三个交点，说明其对应方程ax³+bx²+cx+d=0有三个实根，故Δ

03.已知fx是三次函数，且fx在x=1处取得极小值，f1=-1，则fx的导函数fx在x=1处的值（）（2分）A.f10B.f1=0C.f10D.无法确定【答案】B【解析】三次函数在x=1处取得极小值，则其导函数在x=1处的值为

04.若三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的图像关于原点对称，则（）（2分）A.b=c=0B.a=d=0C.a=c=0D.b=d=0【答案】C【解析】三次函数图像关于原点对称，则f-x=-fx，比较系数得a=c=

05.三次函数fx=x³-3x²+2x的图像与x轴的交点个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解方程x³-3x²+2x=0，得xx-1x-2=0，有三个实根

6.若fx是三次函数，且fx在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，则fx在x=1处取得（）（2分）A.极大值B.极小值C.拐点D.驻点【答案】A【解析】fx在x=1处由增变减，故取得极大值

7.三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的图像若经过点1,1，且其导函数在x=1处的值为3，则（）（2分）A.a+b+c+d=3B.a+b+c+d=1C.2a+b+c+d=3D.2a+b+c+d=1【答案】C【解析】f1=1，fx=3x²+2bx+c，f1=3，代入得3a+2b+c=3，又f1=a+b+c+d=1，两式相加得2a+b+c+d=

38.若三次函数fx=x³-px+q的图像与x轴切于点2,0，则p和q的值为（）（2分）A.p=8，q=16B.p=8，q=-16C.p=-8，q=16D.p=-8，q=-16【答案】B【解析】fx在x=2处的导数为0且f2=0，得12-2p=0且8-2p+q=0，解得p=6，q=-

169.三次函数fx=x³+ax²+bx+c的图像与y轴交于点0,1，且在x=1处取得极小值，则a+b+c的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】C【解析】f0=1，fx=3x²+2ax+b，f1=3+2a+b=0，且f1=1+a+b+c=0，解得a+b+c=-

110.若fx是三次函数，且fx在x=1处的二阶导数为6，则fx的图像在x=1处（）（2分）A.有拐点B.无拐点C.不确定D.以上都不对【答案】A【解析】fx=6x+2a，f1=6+2a=6，得a=0，故fx=6x，在x=1处有拐点【答案】A【解析】fx=6x+2a，f1=6+2a=6，得a=0，故fx=6x，在x=1处有拐点

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于三次函数的说法正确的有（）A.三次函数的图像必有一个拐点B.三次函数的图像必与x轴有三个交点C.三次函数的图像可以有两个极值点D.三次函数的图像可以与y轴相切E.三次函数的图像可以关于原点对称【答案】A、C、D、E【解析】三次函数的图像必有一个拐点，可以有

1、

2、3个极值点，可以与y轴相切，可以关于原点对称，但不一定与x轴有三个交点

2.若fx是三次函数，且fx在x=1处取得极值，则下列说法正确的有（）A.f1=0B.f1≠0C.fx在x=1处必有拐点D.fx在x=1处可能无拐点E.fx在x=1处可能为驻点【答案】A、B、D【解析】fx在x=1处取得极值，则f1=0，f1≠0，但未必有拐点，可能有驻点

3.以下关于三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的说法正确的有（）A.若a0，则fx在∞,0上单调递减B.若b=0，则fx的图像必过原点C.若c=0，则fx的图像必与x轴相切D.若d=0，则fx的图像必与y轴相切E.若a0，则fx在0,+∞上单调递增【答案】C、D【解析】若c=0，则fx的图像必与x轴相切；若d=0，则fx的图像必与y轴相切

4.若fx是三次函数，且fx在x=1处的导数为3，在x=-1处的导数为-3，则下列说法正确的有（）A.fx的图像必过原点B.fx的图像必与x轴有三个交点C.fx在x=0处的值必为0D.fx在x=0处的值必为0E.fx的图像必关于原点对称【答案】C、D【解析】fx在x=0处的值必为0，fx在x=0处的值必为

05.若fx是三次函数，且fx在x=1处的值为2，在x=-1处的值为-2，则下列说法正确的有（）A.fx的图像必过原点B.fx的图像必与x轴有三个交点C.fx在x=0处的值必为0D.fx在x=0处的值必为0E.fx的图像必关于原点对称【答案】A、C、E【解析】fx的图像必过原点，fx在x=0处的值必为0，fx的图像必关于原点对称

三、填空题

1.三次函数fx=x³-3x²+2x的图像与x轴的交点坐标为______、______、______（6分）【答案】0,

0、1,

0、2,

02.若三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的图像关于y轴对称，则a=______，c=______（4分）【答案】a，

03.三次函数fx=x³-px+q的图像与x轴切于点2,0，则p=______，q=______（4分）【答案】12，-

164.若三次函数fx=x³+ax²+bx+c的图像与y轴交于点0,1，且在x=1处取得极小值，则a=______，b=______，c=______（6分）【答案】-2，-1，

05.若三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的图像经过点1,1，且其导函数在x=1处的值为3，则2a+b+c+d=______（4分）【答案】

36.若三次函数fx=x³-px+q的图像与x轴切于点2,0，则p=______，q=______（4分）【答案】12，-

167.若三次函数fx=x³+ax²+bx+c的图像与y轴交于点0,1，且在x=1处取得极小值，则a=______，b=______，c=______（6分）【答案】-2，-1，

08.若三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的图像关于原点对称，则a=______，b=______，c=______，d=______（8分）【答案】a，-b，-c，-d

四、判断题

1.三次函数的图像必有一个拐点（）（2分）【答案】（√）【解析】三次函数的图像必有一个拐点

2.三次函数的图像必与x轴有三个交点（）（2分）【答案】（×）【解析】三次函数的图像不一定与x轴有三个交点

3.三次函数的图像可以关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】三次函数的图像可以关于原点对称

4.三次函数的图像必与y轴相切（）（2分）【答案】（×）【解析】三次函数的图像不一定与y轴相切

5.三次函数的图像在x=1处取得极值，则f1=0（）（2分）【答案】（√）【解析】三次函数的图像在x=1处取得极值，则f1=0

五、简答题

1.简述三次函数的图像特征（6分）【答案】三次函数的图像有以下特征

（1）必有一个拐点；

（2）可以与x轴有一个、两个或三个交点；

（3）可以有

1、2个极值点；

（4）可以关于原点对称；

（5）可以与y轴相切

2.如何判断三次函数的单调性？（8分）【答案】判断三次函数的单调性可以通过以下步骤

（1）求导数fx；

（2）解方程fx=0，得到驻点；

（3）根据驻点将定义域分为若干区间；

（4）在每个区间内判断fx的符号；

（5）若fx0，则函数在该区间内单调递增；

（6）若fx0，则函数在该区间内单调递减

3.三次函数的拐点有何特征？（6分）【答案】三次函数的拐点具有以下特征

（1）是函数的凹凸性改变的点；

（2）在拐点处，二阶导数fx为0；

（3）拐点是函数的极值点之一；

（4）拐点可以位于函数的驻点处，也可以不位于驻点处

六、分析题

1.已知三次函数fx=x³-3x²+2x，求其单调区间、极值点和拐点（12分）【答案】

（1）求导数fx=3x²-6x+2；

（2）解方程fx=0，得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3；

（3）根据驻点将定义域分为-∞,x₁、x₁,x₂、x₂,+∞三个区间；

（4）在每个区间内判断fx的符号当x∈-∞,x₁时，fx0，函数单调递增；当x∈x₁,x₂时，fx0，函数单调递减；当x∈x₂,+∞时，fx0，函数单调递增；

（5）极值点当x=x₁时，函数取得极大值；当x=x₂时，函数取得极小值；

（6）求二阶导数fx=6x-6；

（7）解方程fx=0，得x=1；

（8）拐点当x=1时，函数的拐点为1,

02.已知三次函数fx=ax³+bx²+cx+d的图像经过点1,1，且其导函数在x=1处的值为3，求fx的表达式（10分）【答案】

（1）f1=1，得a+b+c+d=1；

（2）fx=3ax²+2bx+c，f1=3，得3a+2b+c=3；

（3）联立方程组a+b+c+d=13a+2b+c=3

（4）解方程组，得a=1，b=0，c=0，d=0；

（5）fx=x³

七、综合应用题

1.已知三次函数fx=x³-3x²+2x，求其单调区间、极值点和拐点，并画出其图像（25分）【答案】

（1）求导数fx=3x²-6x+2；

（2）解方程fx=0，得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3；

（3）根据驻点将定义域分为-∞,x₁、x₁,x₂、x₂,+∞三个区间；

（4）在每个区间内判断fx的符号当x∈-∞,x₁时，fx0，函数单调递增；当x∈x₁,x₂时，fx0，函数单调递减；当x∈x₂,+∞时，fx0，函数单调递增；

（5）极值点当x=x₁时，函数取得极大值；当x=x₂时，函数取得极小值；

（6）求二阶导数fx=6x-6；

（7）解方程fx=0，得x=1；

（8）拐点当x=1时，函数的拐点为1,0；

（9）画出图像在坐标系中画出函数的图像，标出单调区间、极值点和拐点

八、答案解析

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.C

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、C、D、E

2.A、B、D

3.C、D

4.C、D

5.A、C、E

三、填空题

1.0,

0、1,

0、2,

02.a，

03.12，-

164.-2，-1，

05.

36.12，-

167.-2，-1，

08.a，-b，-c，-d

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

八、答案解析

1.略。