主元思想竞赛新颖试题及答案呈现

主元思想竞赛新颖试题及答案呈现

一、单选题（每题1分，共10分）

1.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，令f1=0得3-a=0，故a=

32.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A.{1,1/2}B.{1}C.{1/2}D.∅【答案】A【解析】A={1,2}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a=1或a=1/

23.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则BC边与AC边的比值为（）A.√3B.√2C.√6/2D.√3/2【答案】C【解析】由正弦定理得BC/AC=sinA/sinB=sin45°/sin60°=√6/3=√6/

24.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为（）A.2cosπ/3+2isinπ/3B.1+√3iC.2+√3iD.√3+2i【答案】C【解析】z=|z|cosθ+isinθ=2cosπ/3+isinπ/3=21/2+√3/2i=1+√3i

5.执行以下程序段后，变量s的值为（）s=0foriinrange1,5:s+=iiA.10B.14C.30D.55【答案】C【解析】s=1×1+2×2+3×3+4×4=

306.函数fx=log₃x²-2x+1的定义域为（）A.-∞,1∪1,+∞B.[0,2]C.RD.{1}【答案】C【解析】x²-2x+1=x-1²≥0恒成立，故定义域为R

7.在等差数列{aₙ}中，若a₁=5，a₄=13，则其前10项和为（）A.200B.250C.300D.350【答案】B【解析】d=13-5/4-1=3，S₁₀=10×5+10×9×3/2=

2508.若直线y=kx+1与圆x-2²+y²=5相切，则k的值为（）A.±√5/2B.±2√5C.±√5D.±2【答案】C【解析】圆心2,0到直线的距离d=|2k+1|/√k²+1=√5，解得k=±√

59.执行以下代码段后，列表L的长度为（）L=[]forxinrange3:foryinrange2:ifx!=y:L.appendx,yA.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】输出0,1,0,2,1,0,1,2,2,0,2,1共6个元素

10.已知三棱锥D-ABC的体积为V，过顶点D作底面ABC的垂线，垂足为H，若△ABC的面积为S，则DH的长度为（）A.2V/SB.V/SC.3V/SD.4V/S【答案】B【解析】V=1/3×S×DH，故DH=3V/S

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=log₁₀x【答案】A、C、D【解析】A导数为-20，C导数为-1/x²0，D导数为-1/xln

1002.已知函数fx=x³-3x²+2x，则下列说法正确的有（）

①fx在-∞,0上单调递增

②fx在1,+∞上单调递增

③fx存在两个极值点

④fx的最小值为-1/2【答案】

①、

②、

③【解析】fx=3x²-6x+2，△0，有两个不等实根，结合单调性知

①②③正确

三、填空题（每空2分，共16分）

1.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA=______，△ABC的面积为______【答案】4/5；6【解析】cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=4/5，高为3，面积S=1/2×4×3=

62.若数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅=______，其通项公式为______【答案】31；2ⁿ-1【解析】a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31，猜测aₙ=2ⁿ-1，用数学归纳法证明

3.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为______，当x=π/4时，y的值为______【答案】π；√3/2【解析】周期T=2π/|ω|=π，yπ/4=sinπ/2+π/3=sin5π/6=√3/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，ab但a²=1b²=

42.在等比数列中，若m+n=p+q，则aₘaₙ=aᵖaᵠ（）【答案】（√）【解析】由等比数列性质得aₘaₙ=aᵖaᵠ

3.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行（）【答案】（×）【解析】直线l可能与平面α内直线相交或异面

4.函数y=x³在区间[-1,1]上既是奇函数又是增函数（）【答案】（√）【解析】f-x=-fx为奇函数，fx=3x²≥0为增函数

5.执行以下代码段后，变量count的值为3（）count=0foriinrange2,5:forjinrange3,6:count+=1【答案】（×）【解析】外层循环1次，内层循环2次，count=2

五、简答题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=x²-2ax+2在x=1时取得最小值，求a的值及最小值【解】fx=2x-2a，令x=1得2-2a=0，a=1f1=-1²+2×1-2=-1，最小值为-

12.在△ABC中，若a=2，b=√7，c=√3，求∠B的大小【解】cosB=a²+c²-b²/2ac=4+3-7/2×2×√3=0，∠B=90°

3.写出等比数列{aₙ}的前n项和公式Sₙ（首项为a₁，公比为q≠0）【解】若q=1，Sₙ=na₁；若q≠1，Sₙ=a₁1-qⁿ/1-q

4.解释算法冒泡排序的基本思想【解】通过多次遍历待排序序列，比较相邻元素大小，将大数后移，逐步将最大元素冒泡到末尾

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x+1，求fx的单调区间和极值点【解】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，令fx=0得x=1±√3/3当x1-√3/3或x1+√3/3时fx0，单调递增；当1-√3/3x1+√3/3时fx0，单调递减极值点为x=1±√3/

32.设函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值【解】分段函数fx={3-x,x-2;1+x,-2≤x≤1;3+x,x1}当x=-2时取得最小值1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²=2c²若∠A=60°，求△ABC的面积最大值【解】由余弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA，代入a²+b²=2c²得b²+c²=bc，即b-c²=0，b=c由正弦定理得a=√3c面积S=1/2bc×sinA=1/2×c×c×√3/2=√3/4c²当c²=2b²时，b=c=√2c，a=√6c，S最大=√3/4×2c²=√3c²

2.某工厂生产某种产品，固定成本为A万元，每生产一件产品需可变成本B元，售价为C元当产量为x件时，求该工厂的利润函数表达式若要实现利润最大，应如何确定产量？【解】利润函数Px=Cx-Bx-A求导Px=C-B，令Px=0得x=C-B/B当xC-B/B时Px0，当xC-B/B时Px0，故x=C-B/B时利润最大---标准答案页

一、单选题

1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.C

7.B

8.C

9.D

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.

①、

②、

③

三、填空题

1.4/5；

62.31；2ⁿ-

13.π；√3/2

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.×

五、简答题

1.a=1，最小值为-

12.∠B=90°

3.Sₙ=a₁1-qⁿ/1-q或na₁q=

14.比较相邻元素，大数后移

六、分析题

1.递增区间-∞,1-√3/3∪1+√3/3,+∞，递减区间1-√3/3,1+√3/3，极值点x=1±√3/

32.最小值1，x=-2

七、综合应用题

1.S最大=√3c²，当b=c=√2c，a=√6c时取到

2.Px=Cx-Bx-A，x=C-B/B时利润最大。