农大附中数学竞赛试题及答案揭秘

农大附中数学竞赛试题及答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=1/x【答案】A【解析】一次函数y=2x+1的斜率为正，故为增函数

2.若集合A={1,2,3},B={2,3,4},则集合A与B的交集是（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的共同元素为2和

33.函数y=sinx的周期是（）（2分）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】B【解析】正弦函数的周期为2π

4.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长是（）（2分）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】根据勾股定理，斜边长为√3²+4²=

55.下列命题中，正确的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.任何集合都有交集D.任何集合都有并集【答案】A【解析】空集是任何集合的子集，这是集合论的基本性质

6.函数y=cosx在区间[0,π]上是（）（2分）A.增函数B.减函数C.既增又减D.不增不减【答案】B【解析】余弦函数在[0,π]上是减函数

7.若复数z=3+4i，则其共轭复数是（）（2分）A.3-4iB.4+3iC.-3-4iD.-4-3i【答案】A【解析】复数z的共轭复数为3-4i

8.等差数列的前n项和公式为（）（2分）ASn=na₁+aₙ/2BSn=na₁+n/2CSn=na₁-aₙ/2DSn=n²a₁+aₙ/2【答案】A【解析】等差数列前n项和公式为Sn=na₁+aₙ/

29.下列四边形中，一定是平行四边形的是（）（2分）A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.有一组对边平行且相等的四边形D.四个角都相等的四边形【答案】C【解析】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

10.函数y=|x|在区间[-1,1]上的最小值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.不存在【答案】B【解析】绝对值函数在区间[-1,1]上的最小值为0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）（4分）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.等腰三角形的两底角相等C.圆的直径是它的最大弦D.直角三角形的斜边是它的最长边【答案】A、B、C【解析】A是平行四边形的判定定理；B是等腰三角形的性质定理；C是圆的性质；D不一定成立，最长边是斜边

2.以下哪些函数在其定义域内是奇函数？（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosx【答案】A、B、C【解析】奇函数满足f-x=-fx，A、B、C满足此条件

3.以下哪些图形是中心对称图形？（）（4分）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.圆【答案】A、B、D【解析】矩形、菱形和圆是中心对称图形，等腰梯形不是

4.以下哪些命题是真命题？（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若ab，则√a√bC.若a²b²，则abD.若a³b³，则ab【答案】D【解析】只有D是真命题，其他命题在a、b为负数时不成立

5.以下哪些是等比数列的性质？（）（4分）A.任意两项的比相等B.任意两项的差相等C.前n项和公式为Sn=a1-qⁿ/1-qD.相邻两项的比相等【答案】A、C、D【解析】等比数列的定义和性质，A、C、D正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x²-5x+6=0的两根为α和β，则α+β=______，αβ=______（4分）【答案】5，6【解析】根据韦达定理，α+β=5，αβ=

62.函数y=2x-1的图像是一条______，斜率为______，y轴截距为______（4分）【答案】直线，2，-1【解析】一次函数的图像是直线，斜率为2，y轴截距为-

13.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______（4分）【答案】75°【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-60°-45°=75°

4.复数z=1+i的模长是______（4分）【答案】√2【解析】复数z的模长为|1+i|=√1²+1²=√

25.等差数列的前10项和为100，公差为2，则首项a₁=______（4分）【答案】-8【解析】Sn=na₁+aₙ/2，aₙ=a₁+9d，100=10a₁+a₁+18/2，解得a₁=-

86.函数y=3x²-4x+1的顶点坐标是______（4分）【答案】2/3,-5/3【解析】二次函数顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a，即2/3,-5/

37.在直角坐标系中，点A1,2关于原点对称的点是______（4分）【答案】-1,-2【解析】点关于原点对称的坐标为-x,-y

8.函数y=lnx的定义域是______（4分）【答案】0,+∞【解析】对数函数的定义域为正实数集

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+2-√2=2，是有理数

2.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=0，则-10，但-1²=

103.任何三角形都有外接圆（）（2分）【答案】（√）【解析】任何三角形都有唯一的外接圆

4.等比数列的任意一项都不能为零（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列的公比不为零，任意一项不能为零

5.函数y=|x|在区间[-1,1]上是单调函数（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对值函数在[-1,1]上是单调递减函数

6.对角线互相平分的四边形是矩形（）（2分）【答案】（×）【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形

7.若ab，则a²+b²a²-b²（）（2分）【答案】（√）【解析】a²+b²a²-b²等价于b²-b²，显然成立

8.圆的切线垂直于过切点的半径（）（2分）【答案】（√）【解析】这是圆的性质定理

9.若ab，则1/a1/b（）（2分）【答案】（√）【解析】若ab0，则1/a1/b；若0ab，则1/a1/b

10.等腰三角形的底角一定是锐角（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形的底角可以是直角（等腰直角三角形）

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式（4分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数通项公式为aₙ=a₁+n-1d

2.简述平行四边形的性质（4分）【答案】平行四边形的性质包括对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；邻角互补

3.简述函数y=cosx的图像特点（4分）【答案】函数y=cosx的图像是一条连续的波形曲线，周期为2π，振幅为1，在x=0,π,2π,...处取得最大值1，在x=π/2,3π/2,...处取得最小值-

14.简述复数z=a+bi的模长计算公式（4分）【答案】复数z=a+bi的模长计算公式为|z|=√a²+b²

5.简述三角形内角和定理（4分）【答案】三角形内角和定理是指任何三角形的三个内角之和等于180°

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】首先求函数的导数fx=2x-4，令fx=0，得x=2计算f1=0，f2=-1，f3=0比较得知，fx在区间[1,3]上的最大值为0，最小值为-

12.已知等差数列的前n项和为Sn=3n²-2n，求该数列的通项公式（10分）【答案】由Sn=3n²-2n，得a₁=S₁=1，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5所以该数列的通项公式为aₙ=6n-5

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点，并画出函数的简图（25分）【答案】首先求函数的导数fx=3x²-6x，令fx=0，得x=0或x=2计算f0=2，f2=-2所以fx在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-2函数的简图如下```|2+/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\-2+-------------------------+012```（注由于无法绘制图形，请自行在纸上画出上述简图，x轴为横轴，y轴为纵轴）。