函数单调性综合试题及参考答案

函数单调性综合试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-3x在区间（-2，1）上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.先递减后递增【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，区间（-2，1）包含驻点x=-1，需分（-2，-1）和（-1，1）讨论，fx在（-2，-1）为正，在（-1，1）为负，故先递增后递减

2.若函数fx在区间I上单调递增，且fx0，则|fx|在区间I上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.无法确定【答案】A【解析】|fx|=-fx（fx0），fx递增则-fx递减，|fx|=-fx仍递增

3.函数fx=logₐ|x|（a1）在区间（-∞，0）上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.无单调性D.无法确定【答案】A【解析】fx=logₐ-x，fx=1/-x·lna0（x0），故单调递增

4.函数fx=x²-2ax+3在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）（2分）A.a≤1B.a≥1C.a≤-1D.a≥-1【答案】B【解析】fx=2x-2a，需2x-2a≥0对x∈（1，+∞）恒成立，即a≤x对x∈（1，+∞）恒成立，故a≤

15.函数fx=e^x+bx在R上单调递增，则b的取值范围是（）（2分）A.b0B.b=0C.b0D.b≤0【答案】C【解析】fx=e^x+b，需e^x+b≥0对x∈R恒成立，e^x0，故b≥0，b0满足

6.函数fx=sinx+π/3在区间（-π/2，π/2）上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.无单调性【答案】A【解析】y=sinx+π/3向左平移π/3，在（-π/2，π/2）对应原函数y=sinx的（-π/6，π/6）区间，该区间sinx单调递增

7.函数fx=|x-1|在区间（-∞，1）上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.无单调性D.无法确定【答案】B【解析】fx=1-x（x1），fx=-10，故单调递减

8.函数fx=x/x²+1在区间（0，+∞）上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.无单调性【答案】B【解析】fx=x²+1-2x²/x²+1²=1-x²/x²+1²，x∈（0，+∞）时fx0，故单调递减

9.函数fx=3-|x-2|在区间（1，3）上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.无单调性【答案】A【解析】fx=x+1（1x3），fx=10，故单调递增

10.函数fx=x³-ax在区间（-1，1）上单调递减，则a的取值范围是（）（2分）A.a≤1B.a≥1C.a≤-1D.a≥-1【答案】B【解析】fx=3x²-a，需3x²-a≤0对x∈（-1，1）恒成立，即a≥3x²对x∈（-1，1）恒成立，a≥3成立

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中在（0，+∞）上单调递增的有（）（4分）A.fx=x³B.fx=2^xC.fx=log₂xD.fx=sinxE.fx=x²【答案】A、B、C【解析】fx=x³在（0，+∞）上单调递增；fx=2^x在（0，+∞）上单调递增；fx=log₂x在（0，+∞）上单调递增；fx=sinx在（0，+∞）上非单调；fx=x²在（0，+∞）上单调递增

2.函数fx=ax²+bx+c在区间（-∞，-1）上单调递减，则（）（4分）A.a0B.a0C.b≥-2aD.b≤-2aE.Δ≤0【答案】B、D【解析】fx为二次函数开口向下（a0），对称轴x=-b/2a≤-1，即-b/2a≤-1，b≥2a；若fx在（-∞，-1）上单调递减，需a0且对称轴x=-b/2a≤-1，故a0，b≥2a；Δ需非负，但非必要条件

3.函数fx=|x-1|+|x+1|在R上（）（4分）A.单调递增B.单调递减C.最小值为2D.无最大值E.奇函数【答案】A、C、D、E【解析】fx=x-1+1-x（x-1）=-2x（-1≤x≤1）=2x（x1），fx=-2（x-1）=0（-1≤x≤1）=2（x1），故单调递增；最小值f-1=0+2=2；无最大值；f-x=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=fx，为偶函数

4.函数fx=x³-3x²+2在区间（-∞，0）上（）（4分）A.单调递增B.单调递减C.存在极值D.极大值为2E.极小值为-2【答案】B、C、D【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，x∈（-∞，0）时fx=3x²0，故单调递增；需重新判断区间x∈（-∞，0）时fx=3xx-20，故单调递增；无极值点；极大值需x=2处计算，但x=2∉（-∞，0）；极小值需x=0处计算，f0=

25.函数fx=e^x+bx在R上单调递增，则（）（4分）A.b0B.b≥0C.fx在（-∞，+∞）上递增D.fx在（-∞，+∞）上递减E.fx无极值【答案】B、C、E【解析】fx=e^x+b，需e^x+b≥0对x∈R恒成立，e^x0，故b≥0；fx在（-∞，+∞）上递增；fx=e^x+b≥0，无极值点

三、填空题（每空2分，共16分）

1.函数fx=sinx+π/4在区间（-π/2，π/2）上的单调递增区间是______，单调递减区间是______（4分）【答案】（-π/4，π/4），（π/4，π/2）【解析】y=sinx+π/4向左平移π/4，在（-π/2，π/2）对应原函数y=sinx的（-π/4，π/4）和（π/4，3π/4）区间，其中（-π/4，π/4）单调递增，（π/4，3π/4）单调递减，但3π/4∉（π/2），故单调递减区间为（π/4，π/2）

2.函数fx=x³-3x²+2在区间（-1，2）上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】2，-2【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，驻点x=0，x=2（x=2∉（-1，2））；f-1=-4，f0=2，f2=0，故最大值2，最小值-

43.函数fx=|x-1|在区间（-∞，2）上的单调递增区间是______，单调递减区间是______（4分）【答案】（-∞，1），（1，2）【解析】fx=x-1（x1），fx=10；fx=1-x（x≥1），fx=-10；故单调递增区间（-∞，1），单调递减区间（1，2）

4.函数fx=e^x+bx在R上单调递增，则b的取值范围是______，此时fx的极值点个数为______（4分）【答案】b≥0，0【解析】fx=e^x+b，需e^x+b≥0对x∈R恒成立，e^x0，故b≥0；fx=e^x+b≥0，无极值点

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x³在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x²≥0，故单调递增

2.函数fx=x²在（-1，1）上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=2x，x∈（-1，0）时fx0，x∈（0，1）时fx0，故非单调递减

3.函数fx=|x|在R上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=x（x≥0），fx=10；fx=-x（x0），fx=-10，故非单调递增

4.函数fx=logₐx（a1）在（0，+∞）上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=1/xlna0（a1，lna0），故单调递增

5.函数fx=x³-3x在（-∞，+∞）上无极值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1，驻点x=1，x=-1；f-1=2，f1=-2，故有极大值2和极小值-2

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=ax²+bx+c在区间（-∞，-1）上单调递减，且f-2=4，f-1=-3，求a，b，c的值（4分）【答案】a=3，b=6，c=-5【解析】fx为二次函数开口向上（a0），对称轴x=-b/2a≤-1，即-b/2a≤-1，b≥2a；f-1=2a-1+b=-3，即-2a+b=-3；f-2=4，即4a-2b+c=4；联立方程组-2a+b=-34a-2b+c=4-b/2a≤-1解得a=3，b=6，c=-

52.讨论函数fx=x³-3x²+2的单调性（4分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，驻点x=0，x=2；x∈（-∞，0）时fx0，单调递增；x∈（0，2）时fx0，单调递减；x∈（2，+∞）时fx0，单调递增

3.函数fx=|x-1|+|x+1|在R上的单调性如何？求其最小值（4分）【答案】fx=x-1+1-x（x-1）=-2x（-1≤x≤1）=2x（x1）；x∈（-∞，-1）时fx=-20，单调递减；x∈（-1，1）时fx=0，单调不增；x∈（1，+∞）时fx=20，单调递增；最小值f-1=0+2=2

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在区间（-1，1）上单调递减，求a的取值范围，并证明fx在（-1，1）上无极值（12分）【答案】a≥3；证明fx=3x²-a，需3x²-a≤0对x∈（-1，1）恒成立，即a≥3x²对x∈（-1，1）恒成立，a≥3；fx=3x²-a，驻点x=±√a/3，需-√a/3∉（-1，1），即a≤9；a≥3且a≤9，a=3时fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1，驻点x=±1∉（-1，1），故无极值

2.函数fx=x³-3x²+2在区间（-1，2）上，求其单调区间、最值，并证明fx在（-1，2）上存在唯一的极值点（12分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，驻点x=0，x=2（x=2∉（-1，2））；x∈（-1，0）时fx0，单调递增；x∈（0，2）时fx0，单调递减；f-1=-4，f0=2，f2=0；最大值2，最小值-4；fx=3xx-2=0，驻点x=0，x=2（x=2∉（-1，2））；fx=6x-6，f0=-60，x=0为极大值点；fx在（-1，2）上存在唯一的极值点x=0

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.已知函数fx=x³-ax²+bx+c在区间（-1，1）上单调递增，且f0=1，f1=2，f-1=-1，求a，b，c的值，并证明fx在（-1，1）上无极值（20分）【答案】a=1，b=1，c=1；证明fx=3x²-2ax+b，需3x²-2ax+b≥0对x∈（-1，1）恒成立；f0=c=1；f1=1-a+b+c=2，即1-a+b+1=2，即-a+b=0，b=a；f-1=-1-a+b+c=-1，即-1-a+a+1=-1，矛盾；需重新计算；fx=3x²-2ax+b≥0对x∈（-1，1）恒成立，需判别式Δ=4a²-12b≤0，即a²≤3b；f0=c=1；f1=1-a+b+1=2，即-a+b=0，b=a；f-1=-1-a+b+1=-a+b=-1，a-b=1；联立方程组-a+b=0a-b=1解得a=1，b=1，c=1；fx=3x²-2x+1=3x²-2x/3+1/3=3[x-1/3²+2/9]≥0，无驻点，故无极值

2.已知函数fx=|x-1|+|x+1|在R上单调递增，求其最小值，并证明fx在R上存在唯一的极值点（20分）【答案】最小值2；证明fx=x-1+1-x（x-1）=-2x（-1≤x≤1）=2x（x1）；x∈（-∞，-1）时fx=-20，单调递减；x∈（-1，1）时fx=0，单调不增；x∈（1，+∞）时fx=20，单调递增；最小值f-1=0+2=2；fx=-2（x-1），fx=0（-1≤x≤1），fx=2（x1）；驻点x=-1，x=1；fx=0（x-1），fx不存在（x=-1），fx=0（x1）；fx在x=-1处不存在，但fx由负变正，x=-1为极小值点；fx在x=1处不存在，但fx由正变负，x=1为极大值点；故fx在R上存在唯一的极值点x=-1（极小值点）。