初中数学分式竞赛试题及详细答案

初中数学分式竞赛试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若x为实数，则分式$\frac{x^2-4}{x+2}$的值为（）（2分）A.x-2B.x+2C.2-xD.2+x【答案】C【解析】$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{x+2x-2}{x+2}=x-2$（当$x\neq-2$时），故选C

2.若分式$\frac{2x-3}{x^2-1}$的值为0，则x的值为（）（2分）A.0B.

1.5C.-1D.1【答案】B【解析】由分式的值为0可得分子为0且分母不为0，即$2x-3=0$且$x^2-1\neq0$，解得$x=

1.5$，故选B

3.若a、b为实数，且$\frac{a}{b}=-\frac{3}{4}$，则$\frac{2a-b}{a+2b}$的值为（）（2分）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】由$\frac{a}{b}=-\frac{3}{4}$可得$b=-\frac{4}{3}a$，代入$\frac{2a-b}{a+2b}$得$\frac{2a+\frac{4}{3}a}{a-2\cdot\frac{4}{3}a}=\frac{10a}{-5a}=-2$，故选A

4.若分式$\frac{x^2+px+q}{x^2-1}$能约分，则p、q应满足的关系是（）（2分）A.p+q=1B.p+q=-1C.p^2-q=1D.p^2+q=1【答案】D【解析】分式能约分说明分子分母有公因式$x+1$或$x-1$，即$x^2+px+q=x+1x-1=x^2-1$，解得$p=0$，$q=-1$，故$p^2+q=1$，故选D

5.若实数x满足$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=0$，则$\frac{x^2}{x-1x-2x-3}$的值为（）（2分）A.1B.-1C.0D.-2【答案】B【解析】由$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=0$可得$\frac{x-2x-3+x-1x-3+x-1x-2}{x-1x-2x-3}=0$，即$x^2-6x+11=0$，故$\frac{x^2}{x-1x-2x-3}=\frac{x^2}{x^3-6x^2+11x-6}=\frac{x^2}{xx^2-6x+11}=\frac{x^2}{xx^2-6x+11}=\frac{x^2}{x^3-6x^2+11x-6}=\frac{x^2}{-6x^2+11x-6}=\frac{x^2}{-6x^2-6x+11+x^2}=\frac{x^2}{-5x^2+36x-66}=-1$，故选B

6.若x、y为正实数，且$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$，则$\frac{x+y}{xy}$的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$可得$\frac{x+y}{xy}=1$，即$x+y=xy$，由均值不等式可得$xy\geq2\sqrt{xy}$，即$\sqrt{xy}^2\geq2\sqrt{xy}$，解得$\sqrt{xy}\geq2$，故$x+y\geq4$，故$\frac{x+y}{xy}\geq\frac{4}{xy}\geq1$，故选B

7.若分式$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$的值为$\frac{1}{2}$，则x的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】由分式的值为$\frac{1}{2}$可得$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\frac{1}{2}$，即$2x^2-1=x^2+2x+1$，解得$x=2$，故选C

8.若分式$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，则$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$可得$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\frac{ab+c+bc+a+ca+b}{b+c+c+a+a+b}=1$，故选A

9.若x为实数，则$\frac{\sqrt{x^2+2x+1}}{x+1}$的值为（）（2分）A.-1B.1C.-1或1D.0【答案】B【解析】$\frac{\sqrt{x^2+2x+1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1^2}}{x+1}=\frac{|x+1|}{x+1}=1$（当$x-1$时），故选B

10.若分式$\frac{x^2+px+q}{x^2-1}$的值在x=1时为3，在x=-1时为-2，则p、q的值为（）（2分）A.p=4，q=1B.p=-4，q=1C.p=4，q=-1D.p=-4，q=-1【答案】C【解析】由分式的值在x=1时为3可得$\frac{1+p+q}{1-1}=3$，即$1+p+q=0$，由分式的值在x=-1时为-2可得$\frac{1-p+q}{1-1}=-2$，即$1-p+q=0$，联立两式解得$p=4$，$q=-1$，故选C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列分式中的值恒为正数的是（）（4分）A.$\frac{x^2+1}{x^2-1}$B.$\frac{x^2-1}{x^2+1}$C.$\frac{x^2-1}{x^2}$D.$\frac{x^2}{x^2-1}$【答案】A、D【解析】A.$\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{x+\sqrt{2}ix-\sqrt{2}i}{x+1x-1}$，当$x=\pm1$时，分式无意义，故A正确；B.$\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x+\sqrt{2}ix-\sqrt{2}i}{x+ix-i}$，当$x=\pm1$时，分式的值小于0，故B错误；C.$\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$，当$x=\pm1$时，分式的值小于0，故C错误；D.$\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{x^2}{x+1x-1}$，当$x=\pm1$时，分式无意义，故D正确，故选A、D

2.若分式$\frac{x^2+px+q}{x^2-1}$能约分，则p、q应满足的关系是（）（4分）A.p+q=1B.p+q=-1C.p^2-q=1D.p^2+q=1【答案】C、D【解析】分式能约分说明分子分母有公因式$x+1$或$x-1$，即$x^2+px+q=x+1x-1=x^2-1$，解得$p=0$，$q=-1$，故$p^2-q=1$，$p^2+q=1$，故选C、D

3.若x、y为正实数，且$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$，则下列不等式成立的是（）（4分）A.$x+y\geq2\sqrt{xy}$B.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}$C.$x^2+y^2\geq2x+y$D.$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$【答案】A、B、D【解析】A.由均值不等式可得$x+y\geq2\sqrt{xy}$，故A正确；B.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=1$，即$x+y=xy$，由均值不等式可得$xy\geq2\sqrt{xy}$，即$\sqrt{xy}^2\geq2\sqrt{xy}$，解得$\sqrt{xy}\geq2$，故$x+y\geq4$，故$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}$，故B正确；C.$x^2+y^2\geq2xy$，由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$可得$xy=x+y$，故$x^2+y^2\geq2x+y$，故C正确；D.$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$，由均值不等式可得$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$，故D正确，故选A、B、D

4.若分式$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$的值为$\frac{1}{2}$，则x的值为（）（4分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C、D【解析】由分式的值为$\frac{1}{2}$可得$2x^2-1=x^2+2x+1$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x=3$或$x=-1$，故选C、D

5.若分式$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，则$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$的值为（）（4分）A.1B.2C.3D.4【答案】A、B【解析】由$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$可得$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\frac{ab+c+bc+a+ca+b}{b+c+c+a+a+b}=1$，故选A；又由$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$可得$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=1+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=2$，故选B，故选A、B

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若分式$\frac{x^2-px+q}{x^2-1}$的值在x=1时为3，在x=-1时为-2，则p、q的值为___、___（4分）【答案】

4、-1【解析】由分式的值在x=1时为3可得$\frac{1+p+q}{1-1}=3$，即$1+p+q=0$，由分式的值在x=-1时为-2可得$\frac{1-p+q}{1-1}=-2$，即$1-p+q=0$，联立两式解得$p=4$，$q=-1$

2.若分式$\frac{x^2+px+q}{x^2-1}$能约分，则p、q应满足的关系是___（4分）【答案】p^2-q=1【解析】分式能约分说明分子分母有公因式$x+1$或$x-1$，即$x^2+px+q=x+1x-1=x^2-1$，解得$p=0$，$q=-1$，故$p^2-q=1$

3.若分式$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$的值为$\frac{1}{2}$，则x的值为___（4分）【答案】

2、-2【解析】由分式的值为$\frac{1}{2}$可得$2x^2-1=x^2+2x+1$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x=3$或$x=-1$

4.若分式$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，则$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$的值为___（4分）【答案】1【解析】由$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$可得$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\frac{ab+c+bc+a+ca+b}{b+c+c+a+a+b}=1$

5.若x、y为正实数，且$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$，则$\frac{x+y}{xy}$的最小值为___（4分）【答案】2【解析】由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$可得$\frac{x+y}{xy}=1$，即$x+y=xy$，由均值不等式可得$xy\geq2\sqrt{xy}$，即$\sqrt{xy}^2\geq2\sqrt{xy}$，解得$\sqrt{xy}\geq2$，故$x+y\geq4$，故$\frac{x+y}{xy}\geq\frac{4}{xy}\geq1$

6.若分式$\frac{x^2+px+q}{x^2-1}$的值在x=1时为3，在x=-1时为-2，则p、q的值为___、___（4分）【答案】

4、-1【解析】由分式的值在x=1时为3可得$\frac{1+p+q}{1-1}=3$，即$1+p+q=0$，由分式的值在x=-1时为-2可得$\frac{1-p+q}{1-1}=-2$，即$1-p+q=0$，联立两式解得$p=4$，$q=-1$

7.若分式$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$的值为$\frac{1}{2}$，则x的值为___（4分）【答案】

2、-2【解析】由分式的值为$\frac{1}{2}$可得$2x^2-1=x^2+2x+1$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x=3$或$x=-1$

8.若分式$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，则$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$的值为___（4分）【答案】1【解析】由$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$可得$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\frac{ab+c+bc+a+ca+b}{b+c+c+a+a+b}=1$

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若分式$\frac{x^2+px+q}{x^2-1}$能约分，则p、q应满足的关系是p+q=1（）（2分）【答案】（×）【解析】分式能约分说明分子分母有公因式$x+1$或$x-1$，即$x^2+px+q=x+1x-1=x^2-1$，解得$p=0$，$q=-1$，故p+q=-

13.若分式$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$的值为$\frac{1}{2}$，则x的值为1（）（2分）【答案】（×）【解析】由分式的值为$\frac{1}{2}$可得$2x^2-1=x^2+2x+1$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x=3$或$x=-1$

4.若分式$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$，则$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$的值为3（）（2分）【答案】（×）【解析】由$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$可得$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\frac{ab+c+bc+a+ca+b}{b+c+c+a+a+b}=1$

5.若x、y为正实数，且$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$，则$\frac{x+y}{xy}$的最小值为1（）（2分）【答案】（×）【解析】由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$可得$\frac{x+y}{xy}=1$，即$x+y=xy$，由均值不等式可得$xy\geq2\sqrt{xy}$，即$\sqrt{xy}^2\geq2\sqrt{xy}$，解得$\sqrt{xy}\geq2$，故$x+y\geq4$，故$\frac{x+y}{xy}\geq\frac{4}{xy}\geq1$。