初中数学竞赛创新试题及规范答案

初中数学竞赛创新试题及规范答案

一、单选题

1.若函数y=kx+b的图象经过点（1，3）和（-2，-1），则k+b的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由题意得$$\begin{cases}k+b=3\\-2k+b=-1\end{cases}$$解得$$\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$$则k+b=3，故选C

2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若∠BAC=120°，则∠CDE的度数为（）（2分）（此处应有图）A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】B【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠A=∠B=30°，∴∠CDE=∠BDE=30°，故选B

3.一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球的数量是黄球数量的2倍，蓝球的数量是红球数量的3倍，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（）（2分）A.$$\frac{1}{6}$$B.$$\frac{1}{3}$$C.$$\frac{1}{2}$$D.$$\frac{2}{3}$$【答案】B【解析】设黄球有x个，则红球有2x个，蓝球有6x个，球的总数为x+2x+6x=9x，摸到红球的概率为$$\frac{2x}{9x}=\frac{2}{9}$$，故选B

4.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由题意得，△=0，即-2²-4×1×k=0，解得k=1，故选B

5.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为（）（2分）A.15πcm²B.20πcm²C.25πcm²D.30πcm²【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为$$\frac{1}{2}×底面周长×母线长$$，底面周长为6πcm，侧面积为$$\frac{1}{2}×6π×5=15πcm²$$，故选A

6.在直角坐标系中，点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.（-a，-b）B.（a，-b）C.（-a，b）D.（a，b）【答案】A【解析】点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（-a，-b），故选A

7.若一个三角形的两边长分别为3和5，则第三边长a的取值范围是（）（2分）A.2a8B.2≤a≤8C.a2D.a8【答案】A【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得2a8，故选A

8.如图所示，在一个不透明的袋中装有若干个除颜色外完全相同的球，如果袋中有3个红球，且从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为$$\frac{1}{4}$$，那么袋中红球共有（）（2分）A.4个B.6个C.8个D.12个【答案】A【解析】设袋中红球有x个，$$\frac{x}{x+3}=\frac{1}{4}$$，解得x=3，故选A

9.若x-2y=1，则5x-10y的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由x-2y=1，得5x-10y=5x-2y=5×1=5，故选C

10.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积为（）（2分）A.3πcm²B.6πcm²C.9πcm²D.12πcm²【答案】B【解析】扇形的面积公式为$$\frac{1}{2}×半径²×圆心角（弧度）$$，120°=2π/3弧度，面积为$$\frac{1}{2}×3²×\frac{2π}{3}=6πcm²$$，故选B

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.等腰三角形的底角相等B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线相等D.矩形的对角线相等E.正方形的对角线互相垂直【答案】A、D、E【解析】等腰三角形的底角相等是正确的；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如矩形，故B错误；平行四边形的对角线不一定相等，如菱形，故C错误；矩形的对角线相等是正确的；正方形的对角线互相垂直是正确的，故选A、D、E

2.以下哪些图形是中心对称图形？（）（4分）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.圆E.正方形【答案】A、B、D、E【解析】矩形、菱形、圆、正方形都是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形，故选A、B、D、E

3.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则下列结论正确的有（）（4分）A.△0B.a≠0C.b²-4ac0D.a+b+c=0E.方程一定有两个正根【答案】A、C【解析】一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac0，故A、C正确；a≠0是已知条件，故B正确；a+b+c=0不能保证方程有两个不相等的实数根，故D错误；方程有两个不相等的实数根，不一定有两个正根，故E错误，故选A、C

4.下列说法中，正确的有（）（4分）A.两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比B.两个全等三角形的面积之比等于它们的相似比C.圆的直径是它的半径的2倍D.等边三角形是轴对称图形，也是中心对称图形E.抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口方向由a决定【答案】A、C、E【解析】两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比，故A正确；两个全等三角形的面积之比等于它们的相似比的平方，故B错误；圆的直径是它的半径的2倍，故C正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误；抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口方向由a决定，故E正确，故选A、C、E

5.若x²-2x-3=0，则x²+x+1的值为（）（4分）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】由x²-2x-3=0，得x²-2x=3，则x²+x+1=x²-2x+3x+1=3+3x，当x=3时，x²+x+1=3+3×3=12，故选C

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______【答案】1【解析】由题意得，△=0，即-2²-4×1×k=0，解得k=

12.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为______cm²【答案】15π【解析】圆锥的侧面积公式为$$\frac{1}{2}×底面周长×母线长$$，底面周长为6πcm，侧面积为$$\frac{1}{2}×6π×5=15πcm²$$

3.在直角坐标系中，点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是______【答案】（-a，-b）【解析】点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（-a，-b）

4.若一个三角形的两边长分别为3和5，则第三边长a的取值范围是______【答案】2a8【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得2a

85.若x-2y=1，则5x-10y的值为______【答案】5【解析】由x-2y=1，得5x-10y=5x-2y=5×1=

56.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积为______cm²【答案】6π【解析】扇形的面积公式为$$\frac{1}{2}×半径²×圆心角（弧度）$$，120°=2π/3弧度，面积为$$\frac{1}{2}×3²×\frac{2π}{3}=6πcm²$$

7.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则△=______【答案】b²-4ac0【解析】一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac

08.若一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球的数量是黄球数量的2倍，蓝球的数量是红球数量的3倍，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______【答案】$$\frac{2}{9}$$【解析】设黄球有x个，则红球有2x个，蓝球有6x个，球的总数为x+2x+6x=9x，摸到红球的概率为$$\frac{2x}{9x}=\frac{2}{9}$$

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.等腰三角形的底角相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形的底角相等

3.平行四边形的对角线相等（）（2分）【答案】（×）【解析】平行四边形的对角线不一定相等，如菱形

4.圆的直径是它的半径的2倍（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的直径是它的半径的2倍

5.等边三角形是轴对称图形，也是中心对称图形（）（2分）【答案】（×）【解析】等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若∠BAC=120°，求∠CDE的度数（此处应有图）【答案】30°【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠A=∠B=30°，∴∠CDE=∠BDE=30°

2.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，求k的值【答案】1【解析】由题意得，△=0，即-2²-4×1×k=0，解得k=

13.一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球的数量是黄球数量的2倍，蓝球的数量是红球数量的3倍，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？【答案】$$\frac{2}{9}$$【解析】设黄球有x个，则红球有2x个，蓝球有6x个，球的总数为x+2x+6x=9x，摸到红球的概率为$$\frac{2x}{9x}=\frac{2}{9}$$

4.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，求扇形的面积【答案】6πcm²【解析】扇形的面积公式为$$\frac{1}{2}×半径²×圆心角（弧度）$$，120°=2π/3弧度，面积为$$\frac{1}{2}×3²×\frac{2π}{3}=6πcm²$$

5.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，求△的值【答案】b²-4ac0【解析】一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若∠BAC=120°，求∠CDE的度数（此处应有图）【答案】30°【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠A=∠B=30°，∴∠CDE=∠BDE=30°

2.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，求k的值【答案】1【解析】由题意得，△=0，即-2²-4×1×k=0，解得k=1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若∠BAC=120°，求∠CDE的度数（此处应有图）【答案】30°【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠A=∠B=30°，∴∠CDE=∠BDE=30°

2.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，求k的值【答案】1【解析】由题意得，△=0，即-2²-4×1×k=0，解得k=1。