初中数学竞赛常见试题及参考答案

初中数学竞赛常见试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知a0，b0，且|a||b|，下列不等式正确的是（）（2分）A.a+b0B.a-b0C.-a+b0D.-a-b0【答案】C【解析】由于a0，-a0，b0，所以-a+b

02.一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面积是（）（2分）A.15πcm²B.12πcm²C.9πcm²D.6πcm²【答案】A【解析】圆锥侧面积=πrl=π×3×5=15πcm²

3.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）（2分）A.1B.2C.0D.-1【答案】B【解析】判别式△=4-4k=0，解得k=

14.在直角坐标系中，点A-3,4关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.3,4B.-3,-4C.3,-4D.4,3【答案】C【解析】关于原点对称，横纵坐标均变号

5.一个正多边形的内角和是720°，则这个正多边形的边数是（）（2分）A.6B.8C.10D.12【答案】D【解析】n-2×180°=720°，解得n=

66.若x=2是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，则方程的另一个根可能是（）（2分）A.2B.-2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】根据韦达定理，两根之和=-b/a，若一根为2，则另一根为-

27.函数y=|x-1|的图像是（）（2分）A.一条直线B.一个圆C.两个分支的函数图像D.一条抛物线【答案】C【解析】绝对值函数图像是两个分支的V形图像

8.在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，则∠C的度数是（）（2分）A.60°B.45°C.75°D.30°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-75°=60°

9.若a²+b²=10，ab=3，则a-b的值是（）（2分）A.4B.±4C.2D.±2【答案】B【解析】a-b²=a²+b²-2ab=10-6=4，所以a-b=±

210.一个圆柱的底面半径是2cm，高是3cm，则它的全面积是（）（2分）A.20πcm²B.12πcm²C.10πcm²D.8πcm²【答案】A【解析】全面积=2πr²+2πrh=2π×4+2π×2×3=20πcm²

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.等腰三角形的两个底角相等B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.九边形的内角和是1260°E.相等的角是对顶角【答案】A、B、C、D【解析】选项E错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角

2.关于x的一元二次方程mx²-nx+p=0（m≠0）的根的情况是（）（4分）A.m、n、p都为正数时，方程有两个正根B.△0时，方程有两个不相等的实根C.若一根为0，则p=0D.m为负数时，方程必有两个负根E.若一根为1，则m=n+p【答案】B、C、E【解析】选项A错误，如m=1,n=3,p=2时无正根；选项D错误，如m=-1,n=4,p=4时有一正一负根

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x²+mx+9可以分解为x+3x+a，则m的值是______【答案】6【解析】展开x+3x+a=x²+a+3x+3a，对比系数得a=3，所以m=

62.在直角△ABC中，∠C=90°，若AC=6cm，BC=8cm，则AB=______cm【答案】10【解析】根据勾股定理AB=√AC²+BC²=√36+64=10cm

3.若一个圆锥的侧面展开图是半径为3cm的半圆，则这个圆锥的体积是______πcm³【答案】6【解析】圆锥底面周长=2πr=6π，所以r=3，h=√5²-3²=4，V=1/3×π×3²×4=12π，但注意是半圆所以π消掉得6π

4.函数y=kx+b的图像经过点1,2和点-1,-4，则k=______，b=______【答案】3，-1【解析】代入两点得方程组2=k+b，-4=-k+b，解得k=3，b=-

15.若x+1/x=3，则x²+1/x²=______【答案】7【解析】x+1/x²=x²+2+1/x²=9，所以x²+1/x²=

76.一个凸多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是______【答案】7【解析】n-2×180°=900°，解得n=

77.若方程x²+px+q=0的两根之比为1:2，则p/q=______【答案】-3/4【解析】设两根为x和2x，则x+2x=-p，x×2x=q，解得p=-3x，q=2x²，所以p/q=-3/

48.在△ABC中，若AD是角平分线，AB=5，AC=3，BD=2，则DC=______【答案】6/5【解析】根据角平分线定理AB/AC=BD/DC，即5/3=2/DC，解得DC=6/5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x=1是方程ax²+bx+c=0的根，则a+b+c=0（）【答案】（√）【解析】代入x=1得a+b+c=0，这是根与系数的关系

2.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）【答案】（√）【解析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

3.若ab，则a²b²（）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2时，1²4²

4.一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积也扩大到原来的2倍（）【答案】（×）【解析】面积会扩大到原来的4倍

5.若a²=b²，则a=b（）【答案】（×）【解析】如a=2，b=-2时a²=b²但a≠b

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，求斜边上的高【答案】4cm【解析】斜边AB=√6²+8²=10cm，面积S=1/2×6×8=24cm²，高h=2S/AB=48/10=

4.8cm，约等于4cm

2.若x²-5x+m可以分解为x-3x-n，求m和n的值【答案】m=9，n=2【解析】展开x-3x-n=x²-3+nx+3n，对比系数得3+n=5，3n=m，解得n=2，m=

93.已知一个正五边形的边长为2cm，求它的内角和和外角和【答案】内角和540°，外角和360°【解析】内角和=5-2×180°=540°，外角和恒为360°

六、分析题（每题10分，共20分）

1.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE平行于BC交AC于E，若AB=6，AC=4，求CE的长（此处应有图形，但根据要求不绘制）【答案】2【解析】DE平行于BC，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，所以△ADE∽△ABC，AD/AB=AE/AC，即3/6=AE/4，解得AE=2，CE=AC-AE=

22.若方程x²+px+q=0的两根的平方和为10，且两根之差为2，求p和q的值【答案】p=-6，q=5【解析】设两根为x₁和x₂，x₁²+x₂²=x₁+x₂²-2x₁x₂=10，x₁-x₂=2，解得x₁+x₂=-6，x₁x₂=5，所以p=-6，q=5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某矩形花园的长比宽多6米，若花园的周长为42米，求花园的面积【答案】72m²【解析】设宽为x米，则长为x+6米，2x+x+6=42，解得x=9，所以长为15，面积=9×15=135m²

2.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=10cm，求BC和AC的长（此处应有图形，但根据要求不绘制）【答案】BC=5√2cm，AC=5√3cm【解析】∠C=180°-60°-45°=75°，根据正弦定理BC/AB=sinA/sinC，即BC/10=sin60°/sin75°，解得BC≈

7.07cm≈5√2cm；AC/AB=sinB/sinC，即AC/10=sin45°/sin75°，解得AC≈

8.66cm≈5√3cm。