初中数学竞赛新颖试题及准确答案

初中数学竞赛新颖试题及准确答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若a、b为实数，且a+b=1，则|a+2|+|b-3|的最小值是（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】将|a+2|+|b-3|转化为几何意义，即点a,b到点-2,3的距离，结合a+b=1，可得点a,b在直线x+y=1上，点-2,3到直线x+y=1的距离为√2，最小值为√2+3=5，再结合几何意义，最小值为

62.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AD=2，DB=4，AE=3，则EC的长为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，可得△ADE∽△ABC，AD/AB=AE/AC=1/3，即AB=6，AC=9，由DE∥BC，可得△DEC∽△ABC，DE/BC=DC/AC=1/3，即DC=3，EC=AC-DC=

63.已知函数fx=x²-2x+3，则ff1的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】f1=1²-2×1+3=2，ff1=f2=2²-2×2+3=

34.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标是（）（2分）A.1,2B.2,1C.1,1D.2,2【答案】B【解析】点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标为2,

15.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，故侧面积为π×3×5=15π

6.若x²-3x+1=0的两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²的值为（）（2分）A.5B.7C.9D.11【答案】B【解析】根据根与系数的关系，x₁+x₂=3，x₁x₂=1，x₁²+x₂²=x₁+x₂²-2x₁x₂=3²-2×1=

77.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，则四边形ABCD一定是（）（2分）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】B【解析】四个角都是直角的四边形是矩形

8.若a+b+c=0，且abc，则|a|、|b|、|c|的大小关系是（）（2分）A.|a||b||c|B.|c||b||a|C.|b||a||c|D.|a||c||b|【答案】B【解析】由于a+b+c=0，且abc，可得a0，b0，c0，且|c||b||a|

9.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为（）（2分）A.40°B.70°C.80°D.100°【答案】C【解析】由于AB=AC，△ABC是等腰三角形，∠A=40°，可得∠B=∠C=180°-40°/2=70°

10.若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则（）（2分）A.b²-4ac=0B.b²-4ac0C.b²-4ac0D.b²+4ac=0【答案】A【解析】一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，当且仅当判别式b²-4ac=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.等腰梯形的对角线相等B.矩形的对角线相等C.菱形的对角线互相垂直D.正方形的对角线互相垂直【答案】A、B、C、D【解析】等腰梯形的对角线相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直

2.以下函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=xB.y=x²C.y=2x+1D.y=1/x【答案】A、C【解析】y=x和y=2x+1在其定义域内是增函数，y=x²在其定义域内不是增函数，y=1/x在其定义域内不是增函数

3.以下不等式成立的有（）（4分）A.-2³-1²B.|-3||-2|C.√2√3D.½¼【答案】A、B【解析】-2³=-8，-1²=1，故-2³-1²成立；|-3|=3，|-2|=2，故|-3||-2|不成立；√2√3，故√2√3不成立；½=

0.5，¼=

0.25，故½¼成立

4.以下图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.矩形C.菱形D.圆【答案】B、C、D【解析】矩形、菱形和圆是中心对称图形，等腰三角形不是中心对称图形

5.以下说法中，正确的有（）（4分）A.两个无理数的和一定是无理数B.两个无理数的积一定是无理数C.两个有理数的和一定是有理数D.两个有理数的积一定是有理数【答案】C、D【解析】两个无理数的和不一定是无理数，如√2+-√2=0；两个无理数的积不一定是无理数，如√2×-√2=-2；两个有理数的和一定是有理数；两个有理数的积一定是有理数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若方程x²-2x+k=0有一个根为1，则k的值为______（4分）【答案】-1【解析】将x=1代入方程x²-2x+k=0，可得1²-2×1+k=0，解得k=-

12.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积为______（4分）【答案】12【解析】作高AD⊥BC于D，由勾股定理可得AD=√5²-3²=4，故△ABC的面积为½×6×4=

123.若fx=x²-px+q，且f1=0，f2=5，则p的值为______（4分）【答案】4【解析】由f1=0，可得1-p+q=0，即p-q=1；由f2=5，可得4-2p+q=5，即-2p+q=1，联立解得p=

44.若关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为8，则m______n______（4分）【答案】=；-4【解析】设方程的两个根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=x₁+x₂²-2x₁x₂=m²-2n=8，故m²-2n=8，即m²=2n+8，故m²-n=4，故m=n+4，故m=n-4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab，但a²=1，b²=4，故a²b²不成立

2.若x²=4，则x=2（）（2分）【答案】（×）【解析】x²=4的解为x=±2，故x=2不全面

3.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】a²=b²的解为a=b或a=-b，故a=b不全面

4.若一个角是钝角，则它的补角是锐角（）（2分）【答案】（√）【解析】钝角的度数在90°到180°之间，其补角的度数在0°到90°之间，故钝角的补角是锐角

5.若a、b为实数，且a²+b²=0，则a=0且b=0（）（2分）【答案】（√）【解析】实数的平方非负，故a²=0且b²=0，即a=0且b=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求∠B的度数（5分）【答案】∠B=60°【解析】作高AD⊥BC于D，由勾股定理可得AD=√5²-3²=4，故△ABD是直角三角形，∠BAD=90°-∠B，由勾股定理可得BD=3，故cos∠B=BD/AB=3/5，故∠B=60°

2.若关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为8，求m、n的值（5分）【答案】m=±2√2，n=-4【解析】设方程的两个根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=x₁+x₂²-2x₁x₂=m²-2n=8，故m²=2n+8，即m²=2-4+8=0，故m=±2√2，n=-

43.若a、b为实数，且a²+b²=0，求证a=0且b=0（5分）【证明】由实数的平方非负，可得a²≥0，b²≥0，且a²+b²=0，故a²=0且b²=0，即a=0且b=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-2x+3，求函数的最小值和对应的x值（10分）【答案】最小值为2，对应的x值为1【解析】fx=x²-2x+3可以写成fx=x-1²+2，由二次函数的性质可知，当x=1时，函数取得最小值

22.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC的面积和外接圆的半径（10分）【答案】面积为12，外接圆半径为5√3/3【解析】作高AD⊥BC于D，由勾股定理可得AD=√5²-3²=4，故△ABC的面积为½×6×4=12，设外接圆半径为R，由正弦定理可得2R=BC/sinA=6/√3，故R=5√3/3

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知a、b、c为实数，且a+b+c=0，ab+bc+ca=3，求a、b、c的值（25分）【答案】a=2，b=1，c=-3【解析】由a+b+c=0，可得c=-a-b，代入ab+bc+ca=3，可得ab-a²-ab-b²=3，即a²+b²=3，由a+b²=a²+b²+2ab=9，可得2ab=6，故ab=3，由a-b²=a²+b²-2ab=0，可得a=b，故a=-b，代入a²+b²=3，可得a²=3/2，故a=±√6/2，故b=√6/2或b=-√6/2，故c=-√6/2或c=√6/2，故a=2，b=1，c=-3或a=-2，b=-1，c=3---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.B

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C

3.A、B

4.B、C、D

5.C、D

三、填空题

1.-

12.

123.

44.=；-4

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.∠B=60°

2.m=±2√2，n=-

43.a=0且b=0

六、分析题

1.最小值为2，对应的x值为

12.面积为12，外接圆半径为5√3/3

七、综合应用题a=2，b=1，c=-3。