博雅计划数学考试真题及答案详情

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2-4x+3C.y=1/xD.y=2^x【答案】D【解析】指数函数y=2^x在定义域内单调递增

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】D【解析】A={1,2}，若B⊆A，则m=1或m=

33.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=√13，则cosB的值是（）A.1/2B.1/3C.2/3D.3/4【答案】C【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+13-9/2×2×√13=2/

34.函数fx=sin2x+π/3的图像关于y轴对称的充分必要条件是（）A.φ=π/6B.φ=π/3C.φ=π/2D.φ=2π/3【答案】B【解析】sin2x+φ图像关于y轴对称需满足φ=kπ+π/2，k∈Z，即φ=π/2+kπ

5.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3+a_9=18，则S_11的值为（）A.66B.99C.132D.165【答案】B【解析】由等差数列性质a_3+a_9=2a_6=18，则a_6=9，S_11=11/2×a_1+a_11=11a_6=

996.直线y=kx-1与圆x-2^2+y-3^2=1相交于两点，则实数k的取值范围是（）A.k0B.k0C.k-2或k1/2D.k-1/2或k2【答案】C【解析】圆心2,3到直线距离d=|2k-1-3|/√k^2+11，解得k-2或k1/

27.执行以下程序段后，变量s的值为（）i=1;s=0;whilei=5:s=s+i;i=i+2;A.3B.8C.15D.31【答案】C【解析】执行过程i=1,s=1;i=3,s=4;i=5,s=9;i=7跳出循环，s=

158.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为（）A.1+√3iB.2+2√3iC.1-√3iD.2√3-2i【答案】B【解析】z=|z|cosθ+isinθ=2cosπ/3+isinπ/3=1+√3i

9.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现要抽取5名学生参加活动，则恰好抽到3名男生、2名女生的概率是（）A.1/3B.2/5C.3/7D.1/2【答案】C【解析】P=C20,3×C10,2/C30,5=1140/14250=3/

710.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A.0B.1C.4D.8【答案】C【解析】fx=3x^2-6x，驻点x=0最大值，x=2最小值，M=f0=2，m=f2=-2，M-m=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.函数y=1/x在0,1上单调递减D.等比数列中任意三项不成等差数列E.若sinα=sinβ，则α=β【答案】A、C【解析】B反例a=1,b=-2；D反例1,1,2；E反例α=π/6,β=5π/

62.在直角坐标系中，点Pa,b到直线l:Ax+By+C=0的距离公式是（）A.|Ax+By+C|/√A^2+B^2B.|Ax+By+C|/√A^2+B^2C.|aA+bB+C|/√A^2+B^2D.|Aa+Bb+C|/√A^2+B^2E.上述均不正确【答案】C、D【解析】根据点到直线距离公式，正确表达为|aA+bB+C|/√A^2+B^

23.关于函数fx=log_ax+1a0,a≠1，下列说法正确的是（）A.当a1时，函数在-1,+∞上单调递增B.函数的值域为RC.若fx_0=1，则x_0=1D.函数的图像必过点-1,0E.函数有反函数【答案】A、D、E【解析】B值域为0,+∞；C反例a=2时x_0=0；E对数函数存在反函数

4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面，下列命题正确的是（）A.若PD⊥BC，则PA=PCB.对角线PA、PB、PC、PD两两垂直C.侧面PAD⊥侧面PBCD.四边形PACD是矩形E.三棱锥P-ABD的体积是四棱锥体积的1/3【答案】A、C、D【解析】B反例正方形底面边长与PA不等；E体积比1/

45.执行以下伪代码后，变量t的值是（）i=1;t=0;whilei=5:j=1;whilej=i:t=t+1;j=j+1;i=i+1;A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】执行过程i=1,t=1;i=2,t=3;i=3,t=6;i=4,t=10;i=5,t=15，但循环条件为i=5，实际只执行到i=4，t=10

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+1的极值点是______【答案】0，2【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-10为极大值点，f10为极小值点，即x=0和x=

22.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC的值为______【答案】-5/6【解析】cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-1/4+√1-1/4√1-1/9=-5/

63.数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则通项公式a_n=______【答案】2^n-1【解析】a_n+1+1=2a_n+1，{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n=2^n-

14.圆x^2+y^2-2x+4y-4=0的圆心坐标是______，半径是______【答案】-1,2；3【解析】配方得x+1^2+y-2^2=9，圆心-1,2，半径√9=

35.若limx→2ax^2-3x+b/x^2-x-2=-1/2，则实数a=______，b=______【答案】1；-5【解析】分子分母同除x-2，得limx→2ax+3+b/x-2/1=-1/2，代入x=2得5+a=1，解得a=1，再代入得b=-5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则fx^2也是奇函数（）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2，故fx^2是奇函数

2.不等式|3x-2|5的解集是-3,7（）【答案】（×）【解析】解得-3x7，解集为-3,

73.若A、B是集合，且A∩B=A，则A⊆B（）【答案】（√）【解析】A中所有元素都在B中，故A⊆B

4.若复数z满足|z|=1，则z的实部范围是[-1,1]（）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，a^2+b^2=1，则-√1-b^2≤a≤√1-b^2≤

15.执行以下伪代码i=1;sum=0;whilei=10:sum=sum+i;i=i+1;则sum的值为55（）【答案】（√）【解析】计算1+2+...+10=55

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值【解】fx分段为x-2时，fx=-2x-1-2≤x≤1时，fx=3x1时，fx=2x+1故最小值3在区间[-2,1]上取得

2.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式【解】设首项为a_1，公差为d，由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=0，d=5/3，故a_n=5/3n-

13.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求角B的大小【解】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=1/2，故B=π/3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在[-2,3]上的最大值与最小值【解】

（1）fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3，当x1-√1/3或x1+√1/3时，fx0，函数单调递增；当1-√1/3x1+√1/3时，fx0，函数单调递减

（2）f-2=-1，f1-√1/3=3+2√1/3，f1+√1/3=3-2√1/3，f3=10，故最大值10，最小值-

12.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1

（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式【证明】

（1）设b_n=a_n+n，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列

（2）b_n=2^n，a_n=b_n-n=2^n-n，故数列{a_n}的通项公式为2^n-n

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.某校组织数学竞赛，共有10道选择题，每题10分，答对得10分，答错或不答得0分，成绩满分为100分

（1）若某同学答对了k道题，求其得分y关于k的函数关系式；

（2）该同学至少要答对多少道题才能保证得分不低于80分？

（3）若该同学答对至少6道题，求其得分的可能取值【解】

（1）y=10k，k=0,1,2,...,10

（2）10k≥80，解得k≥8，故至少答对8道题

（3）答对6道题时，y=60；答对7道题时，y=70；答对8道题时，y=80；答对9道题时，y=90；答对10道题时，y=100故得分可能取值为60,70,80,90,

1002.在直角坐标系中，点A1,2，B3,0，C0,4，△ABC内一点Px,y到三边距离之和的最小值【解】设点P到AB、BC、CA的距离分别为d_

1、d_

2、d_3，利用几何法，P为△ABC内心时，d_1+d_2+d_3最小内心坐标为1×3+3×0+0×1/3+0+1，2×3+0×0+4×1/3+0+1=3/4，1/2，故最小值为2×3+3×4+4×1/3+0+1=25/4。