博雅计划数学考题及详细答案

博雅计划数学考题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，且f1=1，则（）（2分）A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b0【答案】C【解析】fx在x=1处取得极小值，则f1=0且f10，即2a+b=0且a0，解得b

02.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的余弦值为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/4【答案】B【解析】角C=180°-60°-45°=75°，cos75°=cos45°+30°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=√2/2×√3/2-√2/2×1/2=√2/

23.若复数z=1+i满足z^2+k=0，则实数k的值为（）（2分）A.2B.-2C.0D.-1【答案】B【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i，代入z^2+k=0得2i+k=0，解得k=-2i

4.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到至少1名男生的概率为（）（2分）A.3/5B.2/5C.1/5D.4/5【答案】A【解析】至少1名男生=全男生+2男1女+1男2女，概率为C30,3/C50,3+C30,2C20,1/C50,3+C30,1C20,2/C50,3=

0.6=3/

55.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分段函数y=3（x=-2时取到），即x∈[-2,1]时y=3-x+x+1=

36.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】q^2=a_3/a_1=8/2=4，q=±2，a_5=a_3q^2=8×4=

327.若圆x-a^2+y-b^2=r^2与x轴相切，则（）（2分）A.a=rB.b=rC.a^2+b^2=r^2D.a^2+b^2=2r^2【答案】B【解析】圆心到x轴距离为r，即|b|=r

8.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离为（）（2分）A.|a+b-1|/√2B.|a-b+1|/√2C.|a+b+1|/√2D.|a-b-1|/√2【答案】A【解析】d=|ax_0+by_0+c|/√a^2+b^2=|a+b-1|/√

29.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B为（）（2分）A.{1,3}B.{2,4}C.{0,1}D.{1,2}【答案】A【解析】A={x|x1或x2}，B为奇数集，交集为{1,3}

10.若fx为奇函数且在0,+∞单调递增，则f-3与f2的大小关系为（）（2分）A.f-3f2B.f-3f2C.f-3=f2D.无法确定【答案】B【解析】奇函数关于原点对称，f-3=-f3，f2f3，所以f-3f2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则1/a1/b【答案】B、C、D【解析】A不成立，如a=2，b=-3；B成立，因为平方根函数单调递增；C成立，因为倒数函数在正数域单调递减；D成立，同C

2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的是（）（4分）A.两边及一角B.两角及一边C.三边D.一边及这边上的高和一角【答案】B、C、D【解析】A中角的位置不确定；B、C、D均满足全等条件

3.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）（4分）A.y=2-xB.y=x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】A、C【解析】A是减函数；B在0,1上递增；C在0,1上递减；D在0,1上递增

4.关于x的不等式|x-1|2的解集为（）（4分）A.-1,3B.-1,1C.1,3D.-3,1【答案】A、D【解析】解得-1x3，即-1,3或-3,

15.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_4=8，则（）（4分）A.公差d=-2B.a_3=9C.S_9=72D.a_1=6【答案】A、B、C【解析】由a_1+a_5=2a_3=10得a_3=5，由a_2+a_4=2a_3=8得矛盾，故无解此处假设题目条件有误，正确条件应使a_3=4，则d=-2，a_1=6，S_9=9a_1+36d=72

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数y=3^x+1的反函数为__________（4分）【答案】y=log₃x-1【解析】交换x,y得x=3^y+1，解得y=log₃x-

12.在直角三角形中，若两锐角正切的和为3，则两锐角正切的积为__________（4分）【答案】2【解析】设tanA+tanB=3，则tanA+B=tanC=0，tanA·tanB=1/tanA+B=

23.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标为__________（4分）【答案】2,1【解析】y=x-2^2-1，焦点坐标为2,1+1/4=（2,1）

4.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1__________，f0__________（4分）【答案】-2；0【解析】奇函数f-x=-fx，f-1=-2；f0=-f0，f0=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若实数ab，则a^3b^3（）（2分）【答案】（√）【解析】实数域上，大于关系保持到立方

2.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数fx=f-x，图像关于y轴对称

3.等差数列的前n项和S_n=na^2+bn（）（2分）【答案】（×）【解析】应为S_n=na^1+bn/2，因为首项a_1=a

4.若|z|=1，则z=1（）（2分）【答案】（×）【解析】|z|=1表示单位圆上的所有点，如z=1/i=-i

5.函数y=sinx在区间[0,π]上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】sinx在[0,π/2]上递增，在[π/2,π]上递减

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，f2=60，故x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.求函数y=2cos2x+1的最小正周期（5分）【答案】T=π【解析】周期T=2π/ω=2π/2=π

3.证明三角形两边之和大于第三边（5分）【证明】设AB+ACBC，在BC上取点D，使BD=AB，则AD=AC-CDAC-BC=AC-AB=AD，矛盾，故AB+ACBC同理AB+BCAC，AC+BCAB

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2√a_n+1，求a_n（12分）【答案】a_n=√n+1-1^2【解析】令b_n=√a_n，则b_{n+1}=b_n+1，b_n=n，a_n=n^

22.已知函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值（12分）【答案】最大值f0=2，最小值f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值f0=2，最小值f2=-2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工程队计划在20天内完成一项工程，若单独施工，甲队需30天，乙队需24天，现两队合作，但中途甲队因故停工5天，问工程队能否按时完成任务？（25分）【解】设工程总量为120，则甲效率为4，乙效率为5，合作效率为9，停工5天完成工程量为5×5=25，剩余工程量为120-25=95，需95/9≈

10.6天，共停工

10.6+5=

15.6天，20-

15.6=

4.4天5天，故能按时完成

2.已知圆C x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆C的圆心坐标、半径及与直线L3x-4y+5=0的距离（25分）【解】圆心2,-3，半径√2^2+-3^2+3=√16=4，距离d=|3×2-4×-3+5|/√3^2+-4^2=|6+12+5|/5=23/5。