卷理科数学测试题与答案详解

卷理科数学测试题与答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=

32.若复数z满足|z+1|=1，则z在复平面内对应的点构成的图形是（）（2分）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】|z+1|=1表示以-1,0为圆心，半径为1的圆

3.在等差数列{aₙ}中，a₁=5，a₅=15，则其前10项和为（）（2分）A.100B.150C.200D.250【答案】C【解析】d=a₅-a₁/4=

2.5，S₁₀=10a₁+45d=

2004.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.3π/2【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=π

5.不等式|x-1|2的解集为（）（2分）A.-1,3B.-1,3C.-1,3D.-1,3【答案】B【解析】解得-1x

36.已知向量a=1,2，b=3,-1，则a·b的值为（）（2分）A.1B.5C.-5D.7【答案】D【解析】a·b=1×3+2×-1=

77.直线y=kx+b与圆x²+y²=4相切，则k²+b²的值为（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】圆心0,0到直线的距离d=|b|/√1+k²=2，解得k²+b²=

48.某校高三年级有500名学生，随机抽取50名学生进行视力调查，则该抽样方式为（）（2分）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样【答案】B【解析】按固定间隔抽取，属于系统抽样

9.已知事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B的值为（）（2分）A.

0.1B.

0.3C.

0.5D.

0.9【答案】B【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.

510.若函数fx=ax²+bx+c在x=-1时取得极大值，且f0=1，则b的值为（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】A【解析】f0=c=1，f-1=2a-1+b=0，且f-1=2a0，解得b=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若a²=b²，则a=bC.命题∃x∈R，x²0的否定为∀x∈R，x²≥0D.若A⊆B，C⊆D，则A∪C⊆B∪D【答案】A、C、D【解析】B错误，a可等于-b

2.已知函数fx=x³-3x，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx在-∞,0上单调递增B.fx在0,∞上单调递减C.fx在x=1处取得极小值D.fx的图像关于原点对称【答案】C、D【解析】fx=3x²-3，f1=0且f1=60，fx为奇函数

3.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的形状的有（）（4分）A.a²+b²=c²B.cosA=cosBC.a/sinA=b/sinB=c/sinCD.sinA/a=sinB/b【答案】A、C【解析】A为勾股定理，C为正弦定理

4.若数列{aₙ}满足aₙ₊₁=aₙ+2n，且a₁=1，则下列说法正确的是（）（4分）A.数列{aₙ}是等差数列B.aₙ=n²C.数列{aₙ}的前n项和为nn+1D.数列{aₙ}的通项公式为aₙ=nn-1+1【答案】B、D【解析】aₙ-aₙ₋₁=2n-1，累加可得aₙ=n²

5.已知圆C₁x²+y²=1和圆C₂x²+y²-2x+4y-3=0，则下列说法正确的是（）（4分）A.C₁和C₂相交B.C₁和C₂外切C.C₂的圆心在C₁上D.C₁和C₂相离【答案】B、C【解析】C₂:x-1²+y+2²=4，圆心1,-2到C₁圆心距离√1+4=√5，等于半径和2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知直线l₁2x-y+1=0和l₂x+ay-3=0垂直，则a的值为______（4分）【答案】-2【解析】2×1--1×a=0，解得a=-

22.函数y=log₃x²-2x+1的定义域为______（4分）【答案】0,2【解析】x²-2x+10，解得x∈0,

23.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为______（4分）【答案】5【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+16-12=13，c=√

134.已知等比数列{bₙ}的首项b₁=2，公比q=-3，则b₅的值为______（4分）【答案】-486【解析】b₅=b₁q⁴=2×81=-

4865.若复数z=1+i，则|z|²的值为______（4分）【答案】2【解析】|z|²=1²+1²=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在-∞,∞上单调递增，但无最大值

2.若A是集合U的子集，则U的补集∁U也是A的补集的补集（）（2分）【答案】（√）【解析】∁U=U-A，∁A∪A=U，故∁U=∁A

3.若事件A和事件B互斥，则PA∪B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件不可能同时发生，概率相加

4.若数列{aₙ}满足aₙ₊₁=aₙ²-1，且a₁=2，则a₄的值为15（）（2分）【答案】（×）【解析】a₂=3，a₃=8，a₄=

635.若直线y=kx+b与圆x²+y²=r²相切，则圆心到直线的距离等于r（）（2分）【答案】（√）【解析】切线与圆心距离等于半径

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx0得x∈-∞,0∪2,∞，令fx0得x∈0,2故增区间为-∞,0,2,∞，减区间为0,

22.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，求aₙ的通项公式（4分）【答案】当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n²+n-[n-1²+n-1]=2n故aₙ=2n（对n∈N均成立）

3.已知直线l x+2y-1=0，求过点A1,2且与l平行的直线方程（4分）【答案】所求直线斜率k=-1/2，方程为y-2=-1/2x-1，即x+2y-5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x的值（10分）【答案】分段函数x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；x1时，fx=x-1+x+2=2x+1最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求cosB和△ABC的面积（10分）【答案】cosB=a²+c²-b²/2ac=25+64-49/2×5×8=20/80=1/4sinB=√1-cos²B=√1-1/16=√15/4面积S=1/2acsinB=1/2×5×8×√15/4=5√15

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax³+bx²+cx+d在x=-1时取得极大值12，在x=2时取得极小值-8，且f0=0（25分）

（1）求fx的解析式；（12分）

（2）若关于x的不等式fx0恒成立，求实数a的取值范围（13分）【答案】

（1）fx=3ax²+2bx+c，f-1=-a+b-c+d=12，f2=8a+4b+2c+d=-8，f0=d=0联立得a=1，b=-3，c=-2，d=0，fx=x³-3x²-2x

（2）fx=3x²-6x-2，Δ=36+240，fx=0得x₁≈-

0.28，x₂≈

2.28fx在-∞,x₁,x₂,∞上增，在x₁,x₂上减最大值fx₁≈

12.2，最小值fx₂≈-

7.8若fx0恒成立，需fx₂≥0，解得a≤-

7.8/8≈-

0.

982.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品的可变成本为20元，售价为50元（25分）

（1）写出该工厂的利润函数Lx（x为产量）；（8分）

（2）若要使工厂不亏本，至少应生产多少件产品？（9分）

（3）若工厂计划月利润达到5万元，求应生产多少件产品？（8分）【答案】

（1）Lx=50-20x-10万=30x-10万

（2）不亏本即Lx≥0，30x≥10万，x≥10万/30=

3333.33，至少生产3334件

（3）5万=50000=30x-10万，解得x=50000+100000/30=5000件。