参赛试题答案及详细解析

参赛试题答案及详细解析

一、单选题

1.在直角坐标系中，点P3,-4关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.3,-4B.-3,4C.4,-3D.-3,-4【答案】B【解析】关于原点对称的点的坐标，横纵坐标均取相反数，故点P3,-4关于原点对称的点的坐标是-3,

42.函数y=√x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,1B.[1,+∞C.1,+∞D.-1,1【答案】B【解析】函数y=√x-1有意义，需满足x-1≥0，解得x≥1，故定义域为[1,+∞

3.若一个等差数列的前三项依次为a-d,a,a+d，则其第六项为（）（2分）A.2a+dB.3a-dC.4aD.5a【答案】C【解析】等差数列的通项公式为an=a1+n-1d，已知前三项为a-d,a,a+d，可得公差d=2a-a-d=2a-a+d=a+d，故第六项为a1+5d=a-d+5a+d=4a

4.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的大小为（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】C【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°

5.抛物线y=x²-4x+3的顶点坐标是（）（2分）A.1,-2B.2,-1C.2,1D.3,0【答案】B【解析】抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a，其中Δ=b²-4ac，代入y=x²-4x+3得顶点坐标为2,-

16.若直线l的倾斜角为60°，则其斜率k等于（）（2分）A.1/2B.√3/3C.√3D.2【答案】C【解析】直线的斜率k=tanα，其中α为倾斜角，倾斜角为60°时，k=tan60°=√

37.在复数集C中，i²的值是（）（2分）A.1B.-1C.0D.i【答案】B【解析】复数单位i的定义为i²=-

18.样本容量为20，样本方差s²=4，则样本标准差s等于（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】A【解析】样本标准差s是样本方差的平方根，s=√s²=√4=

29.函数fx=sinx+π/2的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D直线x=π/2【答案】B【解析】函数y=sinx+π/2=cosx，其图像关于y轴对称

10.在等比数列{an}中，若a1=2，q=3，则a4等于（）（2分）A.6B.18C.54D.162【答案】C【解析】等比数列的通项公式为an=a1q^n-1，a4=23^4-1=54

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若A∩B=∅，则A、B中至少有一个是空集D.若函数fx在x=x₀处取得极值，则fx₀=0E.三角形两边之和大于第三边【答案】A、D、E【解析】A项，空集是任何集合的子集，正确；B项，若ab且a、b异号，则a²b²错误；C项，A、B中可能都非空集，只是交集为空，错误；D项，极值点处导数为0，正确；E项，三角形任意两边之和大于第三边，正确

2.以下函数在其定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x³B.y=2^xC.y=1/xD.y=|x|E.y=lnx【答案】A、B、E【解析】y=x³的导数y=3x²≥0，单调递增；y=2^x的导数y=2^xln20，单调递增；y=1/x的导数y=-1/x²0，单调递减；y=|x|在x0时单调递增，x0时单调递减；y=lnx的导数y=1/x0，单调递增

3.下列不等式成立的有（）（4分）A.-3²-2³B.√

31.7C.log₂3log₂4D.2⁻¹

0.5E.3²2³【答案】A、B【解析】A项，-3²=9，-2³=-8，9-8，正确；B项，√3≈

1.

7321.7，正确；C项，log₂3log₂4=2，错误；D项，2⁻¹=

0.5=

0.5，错误；E项，3²=9，2³=8，98，错误

4.以下命题为真命题的有（）（4分）A.若x²=1，则x=1B.若x=0，则x²≥0C.若A⊆B，则A∩C⊆B∩CD.若fx是奇函数，则f0=0E.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则△ABC是直角三角形【答案】B、C、E【解析】A项，x²=1时x=±1，错误；B项，x²≥0恒成立，正确；C项，若A⊆B，则A∩C⊆B∩C，正确；D项，fx是奇函数，f0=0不一定成立，如fx=x³，错误；E项，3²+4²=5²，△ABC是直角三角形，正确

5.以下说法正确的有（）（4分）A.直线y=kx+b与x轴相交，则k≠0B.圆x-a²+y-b²=r²的圆心在原点C.若fx是偶函数，则其图像关于y轴对称D.等差数列{an}中，若a₁+aₙ=常数，则{an}是常数列E.样本平均数等于总体平均数【答案】C、D【解析】A项，直线y=kx+b与x轴相交，需k≠0且b≠0，错误；B项，圆心在a,b，需a=b=0，错误；C项，偶函数fx=f-x，图像关于y轴对称，正确；D项，等差数列{an}中，若a₁+aₙ=常数，则公差d=0，{an}是常数列，正确；E项，样本平均数是总体平均数的估计值，不一定相等，错误

三、填空题（每题4分，共32分）

1.在直角坐标系中，点A3,4到原点的距离等于__________（4分）【答案】5【解析】点A3,4到原点O0,0的距离|OA|=√3²+4²=√25=

52.函数y=cos2x-π/3的最小正周期是__________（4分）【答案】π【解析】函数y=cosωx+φ的周期T=2π/|ω|，T=2π/|2|=π

3.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，则c的值为__________（4分）【答案】√39【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=25+49-257cos60°=74-35=39，c=√

394.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|²=__________（4分）【答案】25【解析】|z|=√3²+4²=√25=5，|z|²=

255.样本容量为10，样本平均数为10，样本方差s²=4，则样本标准差s=__________（4分）【答案】2【解析】样本标准差s是样本方差的平方根，s=√s²=√4=

26.等差数列{an}中，a₁=2，d=3，则a₁₀=__________（4分）【答案】35【解析】等差数列的通项公式an=a₁+n-1d，a₁₀=2+10-13=

357.直线l过点A1,2，斜率为2，则直线l的方程为__________（4分）【答案】y=2x【解析】直线方程点斜式y-y₁=kx-x₁，y-2=2x-1，化简得y=2x

8.函数y=2^x+1-1的值域是__________（4分）【答案】1,+∞【解析】函数y=2^x+1-1的值域为2^0-1,+∞=1,+∞

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若A⊆B，则A∪B=B（）（2分）【答案】（√）【解析】若A⊆B，则A中的所有元素都在B中，A∪B中的元素都在B中，故A∪B=B

2.若函数fx在x=x₀处取得极大值，则fx₀=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0或导数不存在，取得极大值时fx₀=

03.若x²=9，则x=3（）（2分）【答案】（×）【解析】x²=9时x=±3，不只有x=

34.若A∩B=∅，则A、B中至少有一个是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】A、B中可能都非空集，只是交集为空，如A={1,2}，B={3,4}，A∩B=∅

5.若fx是奇函数，则其图像必过原点（）（2分）【答案】（×）【解析】fx是奇函数，f0=0不一定成立，如fx=x³，f0=0；但fx=x²+1，f0=1，不是奇函数

6.样本平均数等于总体平均数（）（2分）【答案】（×）【解析】样本平均数是总体平均数的估计值，不一定相等

7.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】若ab且a、b异号，则a²b²错误，如a=2，b=-3，ab但a²=4，b²=9，a²b²

8.直线y=kx+b的斜率k=0时，直线与x轴平行（）（2分）【答案】（√）【解析】直线y=kx+b的斜率k=0时，直线方程为y=b，与x轴平行

9.圆x-a²+y-b²=r²的圆心在原点，则a=b=0（）（2分）【答案】（√）【解析】圆心坐标为a,b，若圆心在原点，则a=b=

010.等差数列{an}中，若a₁+aₙ=常数，则{an}是常数列（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列{an}中，若a₁+aₙ=常数，则公差d=0，{an}是常数列

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式（4分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数这个常数称为公差，用d表示等差数列的通项公式为an=a₁+n-1d，其中a₁为首项，n为项数

2.简述函数y=cosx的图像特点（4分）【答案】函数y=cosx的图像是余弦曲线，具有以下特点

（1）定义域为实数集R；

（2）值域为[-1,1]；

（3）周期为2π；

（4）图像关于y轴对称，是偶函数；

（5）在[0,π/2]上单调递减，在[π/2,π]上单调递增，在[π,3π/2]上单调递减，在[3π/2,2π]上单调递增

3.简述样本平均数和样本方差的计算公式（4分）【答案】样本平均数计算公式为样本平均数x=x₁+x₂+...+xn/n样本方差计算公式为样本方差s²=[x₁-x²+x₂-x²+...+xn-x²]/n-

14.简述直线l的斜率与倾斜角的关系（4分）【答案】直线l的斜率k与倾斜角α（0°≤α180°）的关系为k=tanα

（1）当α=0°时，k=0，直线与x轴平行；

（2）当0°α90°时，k0，直线向上倾斜；

（3）当α=90°时，k不存在，直线与x轴垂直；

（4）当90°α180°时，k0，直线向下倾斜

5.简述复数z=a+bi的模与辐角（4分）【答案】复数z=a+bi的模为|z|=√a²+b²，辐角（主值）为argz，满足tanargz=b/a，且argz∈-π,π]特别地，当b=0时，argz为0或π

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求fx的顶点坐标、对称轴方程，并判断fx在区间[1,3]上的单调性（10分）【答案】

（1）函数fx=x²-4x+3的顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a，其中a=1,b=-4,c=3，Δ=b²-4ac=-4²-413=16-12=4，顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=2

（2）fx在区间[1,3]上的单调性fx=2x-4，令fx=0得x=2，fx在x=2处取得极小值在[1,2]上，fx0，fx单调递减；在[2,3]上，fx0，fx单调递增故fx在[1,3]上先减后增

2.已知等差数列{an}中，a₁=5，a₅=11，求该数列的通项公式，并求前10项的和S₁₀（10分）【答案】

（1）设等差数列{an}的公差为d，由a₅=a₁+4d得11=5+4d，解得d=1/2，故通项公式为an=a₁+n-1d=5+n-11/2=5+1/2n-1/2=4+1/2n

（2）前10项的和S₁₀=10/2a₁+a₁₀=5a₁+a₁₀，其中a₁₀=a₁+9d=5+91/2=5+

4.5=

9.5，S₁₀=55+

9.5=

514.5=

72.5

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知直线l过点A1,2，斜率为2，求直线l的方程，并判断点B3,5是否在直线l上（25分）【答案】

（1）直线l过点A1,2，斜率为2，由点斜式方程得y-y₁=kx-x₁⇒y-2=2x-1⇒y=2x故直线l的方程为y=2x

（2）判断点B3,5是否在直线l上将B3,5代入直线方程y=2x得5=23=6，不成立，故点B3,5不在直线l上

2.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点，并判断其极值类型（25分）【答案】

（1）求fx的极值点fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，极值点为x=0和x=2

（2）判断极值类型fx=6x-6，f0=-60，fx在x=0处取得极大值；f2=60，fx在x=2处取得极小值故x=0处取得极大值，x=2处取得极小值【标准答案】

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、D、E

2.A、B、E

3.A、B

4.B、C、E

5.C、D

三、填空题

1.

52.π

3.√

394.

255.

26.

357.y=2x

8.1,+∞

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

6.（×）

7.（×）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数这个常数称为公差，用d表示等差数列的通项公式为an=a₁+n-1d，其中a₁为首项，n为项数

2.函数y=cosx的图像是余弦曲线，具有以下特点

（1）定义域为实数集R；

（2）值域为[-1,1]；

（3）周期为2π；

（4）图像关于y轴对称，是偶函数；

（5）在[0,π/2]上单调递减，在[π/2,π]上单调递增，在[π,3π/2]上单调递减，在[3π/2,2π]上单调递增

3.样本平均数计算公式为样本平均数x=x₁+x₂+...+xn/n样本方差计算公式为样本方差s²=[x₁-x²+x₂-x²+...+xn-x²]/n-

14.直线l的斜率k与倾斜角α（0°≤α180°）的关系为k=tanα

（1）当α=0°时，k=0，直线与x轴平行；

（2）当0°α90°时，k0，直线向上倾斜；

（3）当α=90°时，k不存在，直线与x轴垂直；

（4）当90°α180°时，k0，直线向下倾斜

5.复数z=a+bi的模为|z|=√a²+b²，辐角（主值）为argz，满足tanargz=b/a，且argz∈-π,π]特别地，当b=0时，argz为0或π

六、分析题

1.函数fx=x²-4x+3的顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=2在区间[1,3]上，fx先减后增

2.等差数列{an}的通项公式为an=4+1/2n，前10项的和S₁₀=

72.5

七、综合应用题

1.直线l的方程为y=2x，点B3,5不在直线l上

2.函数fx=x³-3x²+2的极值点为x=0（极大值），x=2（极小值）。