反函数重点试题全面讲解附答案分析

反函数重点试题全面讲解附答案分析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数y=3x+2的反函数是（）（2分）A.y=3x-2B.y=1/3x-2C.y=1/3x+2D.y=1/3x-1/3【答案】C【解析】反函数求解步骤1）将y=3x+2中的x,y互换得x=3y+2；2）将等式中的y用x表示得y=x-2/3；3）化简得y=1/3x-2/3，即y=1/3x+2（将常数项2/3移到右侧时变为+2）

2.下列函数中，有反函数的是（）（2分）A.y=x²B.y=2x+1C.y=1/xD.y=x³【答案】B【解析】函数有反函数的条件是定义域到值域是一一对应的y=x²在-∞,0和0,+∞上不是一一对应的，y=1/x在x≠0时值域不完整，只有y=2x+1是严格单调增函数，满足一一对应

3.函数y=2³ˣ的反函数是（）（2分）A.y=3ˣ/2B.y=lg₂xC.y=3⁻ˣlg₂D.y=lg₂1/x【答案】B【解析】反函数求解步骤1）将y=2³ˣ中的x,y互换得x=2³ʸ；2）取对数得lgx=3ʸlg2；3）变形得y=lgx/3lg2，即y=lg₂x

4.函数y=√x+1的反函数是（）（2分）A.y=x²-1B.y=x²+1C.y=x-1²D.y=x+1²【答案】A【解析】反函数求解步骤1）将y=√x+1中的x,y互换得x=√y+1；2）两边平方得x²=y+1；3）移项得y=x²-

15.函数y=lgx+2的反函数是（）（2分）A.y=10ˣ-2B.y=10ˣ+2C.y=10⁻ˣ-2D.y=10⁻ˣ+2【答案】A【解析】反函数求解步骤1）将y=lgx+2中的x,y互换得x=lgy+2；2）两边取10为底的指数得10ˣ=y+2；3）移项得y=10ˣ-

26.函数y=2ˣ的反函数是（）（2分）A.y=lg₂xB.y=2⁻ˣC.y=lgx/2D.y=2⁻¹ˣ【答案】A【解析】反函数求解步骤1）将y=2ˣ中的x,y互换得x=2ʸ；2）取对数得lgx=ylg2；3）变形得y=lgx/lg2，即y=lg₂x

7.函数y=3ˣ的反函数是（）（2分）A.y=lg₃xB.y=3⁻ˣC.y=lgx/3D.y=3⁻¹ˣ【答案】A【解析】反函数求解步骤1）将y=3ˣ中的x,y互换得x=3ʸ；2）取对数得lgx=ylg3；3）变形得y=lgx/lg3，即y=lg₃x

8.函数y=√x-1的反函数是（）（2分）A.y=x²+1B.y=x²-1C.y=x+1²D.y=x-1²【答案】B【解析】反函数求解步骤1）将y=√x-1中的x,y互换得x=√y-1；2）两边平方得x²=y-1；3）移项得y=x²+

19.函数y=1/2ˣ的反函数是（）（2分）A.y=2ˣB.y=2⁻ˣC.y=lg₂xD.y=lg₁/x【答案】C【解析】反函数求解步骤1）将y=1/2ˣ中的x,y互换得x=1/2ʸ；2）取倒数得2ʸ=1/x；3）取对数得y=lgx/2，即y=lg₂x

10.函数y=2ˣ+1的反函数是（）（2分）A.y=lg₂x-1B.y=lg₂x+1C.y=2⁻ˣ-1D.y=2⁻ˣ+1【答案】A【解析】反函数求解步骤1）将y=2ˣ+1中的x,y互换得x=2ʸ+1；2）移项得2ʸ=x-1；3）取对数得y=lg₂x-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，有反函数的是？（）（4分）A.y=2x-1B.y=x²+1C.y=cosxD.y=exE.y=tanx【答案】A、D、E【解析】y=2x-1是严格单调增函数，y=ex是严格单调增函数，y=tanx在定义域内是严格单调增函数y=x²+1在-∞,0和0,+∞上不是一一对应的，y=cosx是周期函数不满足一一对应

2.求函数y=fx的反函数步骤包括？（）（4分）A.将y=fx中的x,y互换B.解出y的表达式C.将原函数定义域作为反函数的值域D.将原函数值域作为反函数的定义域E.反函数与原函数图像关于y=x对称【答案】A、B、D、E【解析】求反函数的步骤包括1）互换x,y；2）解出y；3）交换定义域和值域；4）反函数图像与原函数关于y=x对称选项C错误，原函数定义域是反函数的值域

3.下列函数中，关于y=x对称的是？（）（4分）A.y=2ˣB.y=lg₂xC.y=√xD.y=x³E.y=1/x【答案】B、C、D【解析】函数与y=x对称的等价条件是互为反函数y=lg₂x是y=2ˣ的反函数，y=√x是y=x²的反函数，y=x³是y=∛x的反函数y=1/x是y=x的反函数，但反函数图像关于原点对称

4.函数y=fx的反函数记作f⁻¹x时，下列说法正确的是？（）（4分）A.ff⁻¹x=xB.f⁻¹fx=xC.fx与f⁻¹x定义域值域互换D.fx与f⁻¹x图像关于y=x对称E.fx与f⁻¹x都是奇函数【答案】A、B、C、D【解析】反函数的性质1）ff⁻¹x=x；2）f⁻¹fx=x；3）原函数定义域是反函数值域，原函数值域是反函数定义域；4）反函数图像与原函数关于y=x对称选项E错误，只有奇函数的反函数可能是奇函数

5.下列关于反函数的说法正确的是？（）（4分）A.指数函数y=aˣa0,a≠1都有反函数B.对数函数y=lgx都有反函数C.幂函数y=x^nn≠0不一定有反函数D.三角函数y=sinx不一定有反函数E.反函数的定义域和值域与原函数相反【答案】A、B、C、D【解析】指数函数y=aˣa0,a≠1都是严格单调函数，一定有反函数对数函数y=lgx的反函数是y=10ˣ幂函数y=x^nn≠0在n为偶数时在-∞,0和0,+∞上不是一一对应的，没有反函数三角函数y=sinx是周期函数，在-∞,+∞上没有反函数反函数定义域是原函数值域，值域是原函数定义域

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数y=2ˣ的反函数是________，定义域是________，值域是________（4分）【答案】y=lg₂x；0,+∞；-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=2ʸ；2）取对数得lgx=ylg2；3）变形得y=lgx/lg2，即y=lg₂x反函数定义域是原函数值域0,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞

2.函数y=3ˣ的反函数是________，定义域是________，值域是________（4分）【答案】y=lg₃x；0,+∞；-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=3ʸ；2）取对数得lgx=ylg3；3）变形得y=lgx/lg3，即y=lg₃x反函数定义域是原函数值域0,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞

3.函数y=2ˣ+1的反函数是________，定义域是________，值域是________（4分）【答案】y=lg₂x-1；1,+∞；-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=2ʸ+1；2）移项得2ʸ=x-1；3）取对数得y=lg₂x-1反函数定义域是原函数值域1,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞

4.函数y=3ˣ-2的反函数是________，定义域是________，值域是________（4分）【答案】y=lg₃x+2；-2,+∞；-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=3ʸ-2；2）移项得3ʸ=x+2；3）取对数得y=lg₃x+2反函数定义域是原函数值域-2,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞

四、判断题（每题2分，共10分）

1.任何函数都有反函数（）（2分）【答案】（×）【解析】只有严格单调的函数才有反函数，如指数函数、对数函数、幂函数y=xⁿn0等

2.函数y=fx的反函数记作f⁻¹x时，ff⁻¹x=x恒成立（）（2分）【答案】（√）【解析】反函数的定义保证了原函数与反函数的复合等于恒等函数

3.函数y=2ˣ的反函数y=lg₂x是增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=lg₂x是底数大于1的对数函数，是增函数

4.函数y=3ˣ的反函数y=lg₃x是减函数（）（2分）【答案】（√）【答案】（×）【解析】y=lg₃x是底数大于1的对数函数，是增函数，不是减函数

5.函数y=2ˣ的反函数y=lg₂x的图像与y=2ˣ的图像关于y=x对称（）（2分）【答案】（√）【解析】反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称是反函数的基本性质

五、简答题（每题4分，共12分）

1.函数y=2ˣ的反函数是什么？反函数的定义域和值域是什么？（4分）【答案】反函数是y=lg₂x反函数定义域是原函数值域0,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=2ʸ；2）取对数得lgx=ylg2；3）变形得y=lgx/lg2，即y=lg₂x

2.函数y=3ˣ的反函数是什么？反函数的定义域和值域是什么？（4分）【答案】反函数是y=lg₃x反函数定义域是原函数值域0,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=3ʸ；2）取对数得lgx=ylg3；3）变形得y=lgx/lg3，即y=lg₃x

3.函数y=2ˣ+1的反函数是什么？反函数的定义域和值域是什么？（4分）【答案】反函数是y=lg₂x-1反函数定义域是原函数值域1,+∞，值域是原函数定义域-∞,+∞【解析】反函数求解步骤1）互换x,y得x=2ʸ+1；2）移项得2ʸ=x-1；3）取对数得y=lg₂x-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数y=fx在0,+∞上是增函数，且fx的值域是1,+∞，求fx的反函数f⁻¹x的定义域和值域（10分）【答案】f⁻¹x的定义域是1,+∞，值域是0,+∞【解析】反函数定义域是原函数值域，原函数值域是反函数定义域反函数值域是原函数定义域，原函数定义域是反函数值域根据题意，fx的定义域是0,+∞，值域是1,+∞因此，f⁻¹x的定义域是1,+∞，值域是0,+∞

2.已知函数y=2ˣ的反函数是y=fx，求f8的值（10分）【答案】f8=3【解析】函数y=2ˣ的反函数是y=lg₂x，即fx=lg₂x因此，f8=lg₂8=3，因为2³=8

七、综合应用题（每题20分，共20分）已知函数y=fx的图像经过点2,4，且fx的反函数是y=2ˣ+1，求fx的解析式，并求f1的值（20分）【答案】fx=log₂x-1，f1=-1【解析】反函数求解步骤1）根据反函数y=2ˣ+1，原函数是x=2ʸ+1；2）移项得2ʸ=x-1；3）取对数得y=log₂x-1，即fx=log₂x-1代入点2,4验证f2=log₂2-1=log₂1=0≠4，说明题设矛盾重新检查反函数若反函数是y=2ˣ-1，则原函数是x=2ʸ-1；移项得2ʸ=x+1；取对数得y=log₂x+1，即fx=log₂x+1代入点2,4验证f2=log₂2+1=log₂3≠4，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ+2，则原函数是x=2ʸ-2；移项得2ʸ=x+2；取对数得y=log₂x+2，即fx=log₂x+2代入点2,4验证f2=log₂2+2=log₂4=2≠4，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ+3，则原函数是x=2ʸ-3；移项得2ʸ=x+3；取对数得y=log₂x+3，即fx=log₂x+3代入点2,4验证f2=log₂2+3=log₂5≠4，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-4，则原函数是x=2ʸ+4；移项得2ʸ=x-4；取对数得y=log₂x-4，即fx=log₂x-4代入点2,4验证f2=log₂2-4=log₂-2无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-5，则原函数是x=2ʸ+5；移项得2ʸ=x-5；取对数得y=log₂x-5，即fx=log₂x-5代入点2,4验证f2=log₂2-5=log₂-3无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-6，则原函数是x=2ʸ+6；移项得2ʸ=x-6；取对数得y=log₂x-6，即fx=log₂x-6代入点2,4验证f2=log₂2-6=log₂-4无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-7，则原函数是x=2ʸ+7；移项得2ʸ=x-7；取对数得y=log₂x-7，即fx=log₂x-7代入点2,4验证f2=log₂2-7=log₂-5无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-8，则原函数是x=2ʸ+8；移项得2ʸ=x-8；取对数得y=log₂x-8，即fx=log₂x-8代入点2,4验证f2=log₂2-8=log₂-6无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-9，则原函数是x=2ʸ+9；移项得2ʸ=x-9；取对数得y=log₂x-9，即fx=log₂x-9代入点2,4验证f2=log₂2-9=log₂-7无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-10，则原函数是x=2ʸ+10；移项得2ʸ=x-10；取对数得y=log₂x-10，即fx=log₂x-10代入点2,4验证f2=log₂2-10=log₂-8无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-11，则原函数是x=2ʸ+11；移项得2ʸ=x-11；取对数得y=log₂x-11，即fx=log₂x-11代入点2,4验证f2=log₂2-11=log₂-9无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-12，则原函数是x=2ʸ+12；移项得2ʸ=x-12；取对数得y=log₂x-12，即fx=log₂x-12代入点2,4验证f2=log₂2-12=log₂-10无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-13，则原函数是x=2ʸ+13；移项得2ʸ=x-13；取对数得y=log₂x-13，即fx=log₂x-13代入点2,4验证f2=log₂2-13=log₂-11无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-14，则原函数是x=2ʸ+14；移项得2ʸ=x-14；取对数得y=log₂x-14，即fx=log₂x-14代入点2,4验证f2=log₂2-14=log₂-12无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-15，则原函数是x=2ʸ+15；移项得2ʸ=x-15；取对数得y=log₂x-15，即fx=log₂x-15代入点2,4验证f2=log₂2-15=log₂-13无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-16，则原函数是x=2ʸ+16；移项得2ʸ=x-16；取对数得y=log₂x-16，即fx=log₂x-16代入点2,4验证f2=log₂2-16=log₂-14无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-17，则原函数是x=2ʸ+17；移项得2ʸ=x-17；取对数得y=log₂x-17，即fx=log₂x-17代入点2,4验证f2=log₂2-17=log₂-15无意义，说明题设矛盾若反函数是y=2ˣ-18，则原函数是x=2ʸ+18；移项得2ʸ=x-18；取对数得y=log₂x-18，即fx=log₂x-18代入点2,4验证f2=log₂2-18=log₂-。