复变函数测试选择题及参考答案

复变函数测试选择题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fz=z^2+2z+3在z=1处的导数是（）（2分）A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】fz=2z+2，f1=21+2=

42.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式为（）（2分）A.1+z+z^2/2!+z^3/3!+…B.1-z+z^2/2!-z^3/3!+…C.1+z/2!+z^2/3!+z^3/4!+…D.1-z/2!+z^2/3!-z^3/4!+…【答案】A【解析】e^z的泰勒级数展开式为1+z+z^2/2!+z^3/3!+…

3.函数fz=1/z-1在z=2处的留数是（）（2分）A.-1B.1C.-1/3D.1/3【答案】D【解析】留数Resf,2=limz→2z-2/z-1=1/

34.函数fz=sinz在z=π处的值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.π【答案】C【解析】sinπ=-

15.函数fz=cosz在z=π/2处的值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.π/2【答案】A【解析】cosπ/2=

06.函数fz=logz在z=i处的值为（）（2分）A.-iπ/2B.iπ/2C.-π/2D.π/2【答案】A【解析】logi=ln|i|+i·argi=ln√2+i·π/2=ln√2-iπ/

27.函数fz=z/z^2+1在z=√2i处的留数是（）（2分）A.1/4iB.-1/4iC.1/4√2D.-1/4√2【答案】B【解析】留数Resf,√2i=limz→√2iz-√2i·z/z^2+1=-√2i/2√2i=-1/4i

8.函数fz=z^2在z=0处的洛朗级数展开式为（）（2分）A.0B.1C.zD.z^2【答案】D【解析】z^2在z=0处的洛朗级数展开式就是其本身

9.函数fz=1/zz-1在z=0和z=1处的留数分别是（）（2分）A.1,-1B.-1,1C.1,1D.-1,-1【答案】A【解析】Resf,0=limz→0z/z-1=1,Resf,1=limz→1z-1/z=

110.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数中，z^3项的系数是（）（2分）A.1B.1/3!C.1/2!D.1/4!【答案】B【解析】e^z的泰勒级数展开式中，z^n项的系数为1/n!，z^3项的系数为1/3!

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在z平面内处处解析？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=logz【答案】A、B、C【解析】fz=z^

2、fz=e^z、fz=sinz在z平面内处处解析，fz=1/z在z=0处不解析，fz=logz在z=0和负实轴上不解析

2.以下哪些函数在z平面内处处解析且满足Cauchy-Riemann方程？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=logz【答案】A、B、C【解析】fz=z^

2、fz=e^z、fz=sinz在z平面内处处解析且满足Cauchy-Riemann方程，fz=1/z在z=0处不解析，fz=logz在z=0和负实轴上不解析

3.以下哪些函数是整函数？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=logz【答案】A、B、C【解析】整函数是全平面内处处解析的函数，fz=z^

2、fz=e^z、fz=sinz是整函数，fz=1/z在z=0处不解析，fz=logz在z=0和负实轴上不解析

4.以下哪些函数是解析函数？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=logz【答案】A、B、C【解析】解析函数是在某区域内处处解析的函数，fz=z^

2、fz=e^z、fz=sinz是解析函数，fz=1/z在z=0处不解析，fz=logz在z=0和负实轴上不解析

5.以下哪些函数在z=0处有奇点？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=logz【答案】D、E【解析】fz=1/z在z=0处有奇点，fz=logz在z=0处有奇点，fz=z^

2、fz=e^z、fz=sinz在z=0处无奇点

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fz=z^2在z=1处的导数是______（4分）【答案】2【解析】fz=2z，f1=21=

22.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式的前三项是______（4分）【答案】1+z+z^2/2!【解析】e^z的泰勒级数展开式为1+z+z^2/2!+z^3/3!+…，前三项是1+z+z^2/2!

3.函数fz=1/z-1在z=2处的留数是______（4分）【答案】1/3【解析】留数Resf,2=limz→2z-2/z-1=1/

34.函数fz=sinz在z=π处的值是______（4分）【答案】-1【解析】sinπ=-

15.函数fz=logz在z=i处的值为______（4分）【答案】ln√2-iπ/2【解析】logi=ln|i|+i·argi=ln√2+i·π/2=ln√2-iπ/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fz=z^2在z平面内处处解析（）（2分）【答案】（√）【解析】fz=z^2在z平面内处处解析

2.函数fz=1/z在z=0处解析（）（2分）【答案】（×）【解析】fz=1/z在z=0处不解析

3.函数fz=e^z是整函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fz=e^z是整函数

4.函数fz=sinz是解析函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fz=sinz是解析函数

5.函数fz=logz在z平面内处处解析（）（2分）【答案】（×）【解析】fz=logz在z=0和负实轴上不解析

五、简答题（每题4分，共12分）

1.什么是解析函数？解析函数与可导函数有什么区别？【答案】解析函数是在某区域内处处解析的函数，即在某区域内处处满足Cauchy-Riemann方程且偏导数连续的函数解析函数与可导函数的区别在于，解析函数不仅在该点可导，而且在该点的邻域内也处处可导，而可导函数只在该点可导，在该点的邻域内不一定处处可导

2.什么是留数？留数有什么作用？【答案】留数是函数在孤立奇点处的洛朗级数展开式中-1/z项的系数留数在复变函数论中有重要作用，可以用来计算积分、求解微分方程等

3.什么是整函数？整函数有哪些性质？【答案】整函数是全平面内处处解析的函数整函数的性质包括整函数的泰勒级数展开式在全平面内收敛，整函数的积分和导数仍然是整函数，整函数的零点只能是孤立零点等

六、分析题（每题8分，共16分）

1.分析函数fz=z^2在z=0处的泰勒级数展开式，并说明其收敛域【答案】函数fz=z^2在z=0处的泰勒级数展开式为fz=0+z^2+0z^3+…=z^2这个展开式在全平面内收敛，因为fz=z^2是一个整函数，整函数的泰勒级数展开式在全平面内收敛

2.分析函数fz=1/z-1在z=0处的洛朗级数展开式，并说明其收敛域【答案】函数fz=1/z-1在z=0处的洛朗级数展开式为fz=-1/1-z=-1-1z-1z^2-1z^3-…这个展开式在|z|1的区域内收敛，因为当|z|1时，1/1-z的级数展开式收敛

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.计算函数fz=z^2在z=1处的导数，并验证Cauchy-Riemann方程是否满足【答案】函数fz=z^2在z=1处的导数为fz=2z，f1=21=2Cauchy-Riemann方程为u_x=v_y且u_y=-v_x，其中ux,y和vx,y分别是fz=ux,y+ivx,y的实部和虚部对于fz=z^2=x^2-y^2+i2xy，ux,y=x^2-y^2，vx,y=2xy，u_x=2x，v_y=2x，u_y=-2y，v_x=2y可以看出，u_x=v_y且u_y=-v_x，因此Cauchy-Riemann方程满足

2.计算函数fz=1/z-1在z=2处的留数，并说明其意义【答案】函数fz=1/z-1在z=2处的留数为Resf,2=limz→2z-2/z-1=1/3这个留数的意义在于，它表示函数fz=1/z-1在z=2处的奇点的强度具体来说，留数是函数在孤立奇点处的洛朗级数展开式中-1/z项的系数，可以用来计算积分、求解微分方程等

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.A

7.B

8.D

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、C

3.A、B、C

4.A、B、C

5.D、E

三、填空题

1.

22.1+z+z^2/2!

3.1/

34.-

15.ln√2-iπ/2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.解析函数是在某区域内处处解析的函数，即在某区域内处处满足Cauchy-Riemann方程且偏导数连续的函数解析函数与可导函数的区别在于，解析函数不仅在该点可导，而且在该点的邻域内也处处可导，而可导函数只在该点可导，在该点的邻域内不一定处处可导

2.留数是函数在孤立奇点处的洛朗级数展开式中-1/z项的系数留数在复变函数论中有重要作用，可以用来计算积分、求解微分方程等

3.整函数是全平面内处处解析的函数整函数的性质包括整函数的泰勒级数展开式在全平面内收敛，整函数的积分和导数仍然是整函数，整函数的零点只能是孤立零点等

六、分析题

1.函数fz=z^2在z=0处的泰勒级数展开式为fz=0+z^2+0z^3+…=z^2这个展开式在全平面内收敛，因为fz=z^2是一个整函数，整函数的泰勒级数展开式在全平面内收敛

2.函数fz=1/z-1在z=0处的洛朗级数展开式为fz=-1/1-z=-1-1z-1z^2-1z^3-…这个展开式在|z|1的区域内收敛，因为当|z|1时，1/1-z的级数展开式收敛

七、综合应用题

1.函数fz=z^2在z=1处的导数为fz=2z，f1=21=2Cauchy-Riemann方程为u_x=v_y且u_y=-v_x，其中ux,y和vx,y分别是fz=ux,y+ivx,y的实部和虚部对于fz=z^2=x^2-y^2+i2xy，ux,y=x^2-y^2，vx,y=2xy，u_x=2x，v_y=2x，u_y=-2y，v_x=2y可以看出，u_x=v_y且u_y=-v_x，因此Cauchy-Riemann方程满足

2.函数fz=1/z-1在z=2处的留数为Resf,2=limz→2z-2/z-1=1/3这个留数的意义在于，它表示函数fz=1/z-1在z=2处的奇点的强度具体来说，留数是函数在孤立奇点处的洛朗级数展开式中-1/z项的系数，可以用来计算积分、求解微分方程等。