大学复变函数期末试题及完整答案

大学复变函数期末试题及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在z=0处解析的是（）（2分）A.fz=|z|B.fz=sin1/zC.fz=z^2D.fz=logz【答案】C【解析】fz=z^2在z=0处解析

2.设fz=ux,y+ivx,y，若fz在区域D内解析，则下列条件中错误的是（）（2分）A.ux,y和vx,y在D内可微B.C-R方程在D内处处成立C.vx,y在D内可积D.ux,y和vx,y在D内连续【答案】C【解析】fz在区域D内解析时，vx,y在D内不一定可积

3.函数fz=1/z-1z+2的极点为（）（2分）A.1和-2B.1和2C.-1和2D.-1和-2【答案】A【解析】fz=1/z-1z+2的极点为1和-

24.下列函数中，整函数的是（）（2分）A.fz=z^2+1B.fz=sinzC.fz=1/zD.fz=logz【答案】A【解析】fz=z^2+1是整函数

5.设fz=ux,y+ivx,y，若fz在z0处解析，则下列结论中正确的是（）（2分）A.fz在z0的去心邻域内解析B.fz在z0的去心邻域内不解析C.fz在z0的去心邻域内可能解析也可能不解析D.fz在整个复平面上解析【答案】A【解析】fz在z0处解析，则fz在z0的去心邻域内解析

6.下列函数中，不是全纯函数的是（）（2分）A.fz=e^zB.fz=z^3C.fz=sinzD.fz=1/z【答案】D【解析】fz=1/z在z=0处不解析，不是全纯函数

7.设fz=ux,y+ivx,y，若fz在区域D内解析，则下列条件中错误的是（）（2分）A.ux,y和vx,y在D内可微B.C-R方程在D内处处成立C.vx,y在D内可积D.ux,y和vx,y在D内连续【答案】C【解析】fz在区域D内解析时，vx,y在D内不一定可积

8.函数fz=1/z-1z+2的极点为（）（2分）A.1和-2B.1和2C.-1和2D.-1和-2【答案】A【解析】fz=1/z-1z+2的极点为1和-

29.下列函数中，整函数的是（）（2分）A.fz=z^2+1B.fz=sinzC.fz=1/zD.fz=logz【答案】A【解析】fz=z^2+1是整函数

10.设fz=ux,y+ivx,y，若fz在z0处解析，则下列结论中正确的是（）（2分）A.fz在z0的去心邻域内解析B.fz在z0的去心邻域内不解析C.fz在z0的去心邻域内可能解析也可能不解析D.fz在整个复平面上解析【答案】A【解析】fz在z0处解析，则fz在z0的去心邻域内解析

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是Cauchy-Riemann方程的组成部分？（）A.u_x=v_yB.u_y=-v_xC.u_x=-v_yD.u_y=v_x【答案】A、B【解析】Cauchy-Riemann方程的组成部分是u_x=v_y和u_y=-v_x

2.以下哪些函数在复平面上处处解析？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/z【答案】A、B、C【解析】fz=z^

2、fz=e^z和fz=sinz在复平面上处处解析

3.以下哪些是整函数的例子？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/z【答案】A、B、C【解析】fz=z^

2、fz=e^z和fz=sinz是整函数

4.以下哪些是函数的极点？（）A.fz=1/z-1B.fz=1/z+2C.fz=1/z^2+1D.fz=1/z-1z+2【答案】A、B、D【解析】fz=1/z-

1、fz=1/z+2和fz=1/z-1z+2是函数的极点

5.以下哪些函数在z=0处解析？（）A.fz=z^2B.fz=1/zC.fz=sinzD.fz=logz【答案】A、C【解析】fz=z^2和fz=sinz在z=0处解析

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fz=z^2在z=1处的导数为______（4分）【答案】

22.函数fz=e^z在z=0处的泰勒展开式的前三项为______（4分）【答案】1+z+z^2/

23.函数fz=1/z-1在z=2处的留数为______（4分）【答案】

14.函数fz=sinz在z=π处的值为______（4分）【答案】

05.函数fz=logz在z=i处的值为______（4分）【答案】-iπ/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个解析函数的和仍为解析函数（）（2分）【答案】（√）【解析】两个解析函数的和仍为解析函数

2.一个函数如果在整个复平面上解析，则它一定是整函数（）（2分）【答案】（√）【解析】一个函数如果在整个复平面上解析，则它一定是整函数

3.一个函数的极点一定是它的奇点（）（2分）【答案】（√）【解析】一个函数的极点一定是它的奇点

4.一个函数如果在某点解析，则它在该点的邻域内也解析（）（2分）【答案】（√）【解析】一个函数如果在某点解析，则它在该点的邻域内也解析

5.一个函数的留数只有在极点处才可能不为零（）（2分）【答案】（√）【解析】一个函数的留数只有在极点处才可能不为零

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述解析函数的定义及其性质（5分）【答案】解析函数是指在某个区域内满足Cauchy-Riemann方程的复变函数解析函数的性质包括在解析点的邻域内可微、满足Cauchy-Riemann方程、满足Lipschitz条件等

2.简述整函数的定义及其性质（5分）【答案】整函数是指在整个复平面上解析的复变函数整函数的性质包括在整个复平面上可微、满足Cauchy-Riemann方程、可以展开为泰勒级数等

3.简述函数的极点的定义及其性质（5分）【答案】函数的极点是指函数在某点附近的极限为无穷大，但在该点处不解析的点极点的性质包括极点一定是奇点、极点的留数可以通过洛朗展开式求得等

4.简述函数的留数的定义及其性质（5分）【答案】函数的留数是指函数在某点处的洛朗展开式中-1/z项的系数留数的性质包括留数只有在极点处才可能不为零、留数可以通过多种方法求得等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fz=z^2/z-1z+2在复平面上的奇点及其性质（10分）【答案】函数fz=z^2/z-1z+2在z=1和z=-2处有极点，在z=0处解析在z=1处的极点是一阶极点，留数为1；在z=-2处的极点也是一阶极点，留数为-4/

32.分析函数fz=sinz/z在复平面上的奇点及其性质（10分）【答案】函数fz=sinz/z在z=0处有极点，是一阶极点，留数为1在z=0以外的点解析

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fz=z^3/z-1^2，求其在z=1处的留数，并证明其在z=1处的Laurent展开式（25分）【答案】函数fz=z^3/z-1^2在z=1处有二阶极点留数为通过洛朗展开式求得，具体过程如下fz=z^3/z-1^2=z-1+1^3/z-1^2=z-1^3+3z-1^2+3z-1+1/z-1^2留数为

12.设函数fz=e^z/z^2+1，求其在z=±i处的留数，并证明其在z=±i处的Laurent展开式（25分）【答案】函数fz=e^z/z^2+1在z=±i处有一阶极点留数通过洛朗展开式求得，具体过程如下fz=e^z/z^2+1=e^z/z-iz+i=e^z/z-i-e^z/z+i/i在z=i处的留数为e^i/2i，在z=-i处的留数为-e^-i/2i

八、完整标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.A

5.A

6.D

7.C

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B

2.A、B、C

3.A、B、C

4.A、B、D

5.A、C

三、填空题

1.

22.1+z+z^2/

23.

14.

05.-iπ/2

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.解析函数是指在某个区域内满足Cauchy-Riemann方程的复变函数解析函数的性质包括在解析点的邻域内可微、满足Cauchy-Riemann方程、满足Lipschitz条件等

2.整函数是指在整个复平面上解析的复变函数整函数的性质包括在整个复平面上可微、满足Cauchy-Riemann方程、可以展开为泰勒级数等

3.函数的极点是指函数在某点附近的极限为无穷大，但在该点处不解析的点极点的性质包括极点一定是奇点、极点的留数可以通过洛朗展开式求得等

4.函数的留数是指函数在某点处的洛朗展开式中-1/z项的系数留数的性质包括留数只有在极点处才可能不为零、留数可以通过多种方法求得等

六、分析题

1.函数fz=z^2/z-1z+2在z=1和z=-2处有极点，在z=0处解析在z=1处的极点是一阶极点，留数为1；在z=-2处的极点也是一阶极点，留数为-4/

32.函数fz=sinz/z在复平面上的奇点在z=0处，是一阶极点，留数为1

七、综合应用题

1.函数fz=z^3/z-1^2在z=1处有二阶极点留数为通过洛朗展开式求得，具体过程如下fz=z^3/z-1^2=z-1+1^3/z-1^2=z-1^3+3z-1^2+3z-1+1/z-1^2留数为

12.函数fz=e^z/z^2+1在z=±i处有一阶极点留数通过洛朗展开式求得，具体过程如下fz=e^z/z^2+1=e^z/z-iz+i=e^z/z-i-e^z/z+i/i在z=i处的留数为e^i/2i，在z=-i处的留数为-e^-i/2i。