天津数学专题训练题及答案

天津数学专题训练题及答案

一、单选题

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.b0【答案】A【解析】二次函数开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

3.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是（）（1分）A.a,-bB.-a,bC.a,bD.-a,-b【答案】B【解析】关于y轴对称，横坐标变号，纵坐标不变

4.若方程x^2-5x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）（2分）A.5B.-5C.25D.-25【答案】C【解析】判别式Δ=-5^2-4×1×m=0，解得m=

255.函数y=√x-1的定义域是（）（1分）A.x≥1B.x1C.x≤1D.x1【答案】A【解析】被开方数非负，x-1≥0，即x≥

16.下列命题中，真命题是（）（2分）A.两条直线平行，同位角相等B.对角线互相平分的四边形是正方形C.等腰三角形的底角相等D.直角三角形的斜边等于两条直角边的和【答案】C【解析】等腰三角形的底角相等是基本性质

7.若向量a=3,4，向量b=1,-2，则向量a+b的坐标是（）（1分）A.4,2B.2,4C.3,2D.4,6【答案】A【解析】向量加法对应分量相加3+1,4-2=4,

28.扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是（）（2分）A.3πB.6πC.9πD.12π【答案】B【解析】扇形面积公式S=θ/360°×πr^2=120/360×π×3^2=6π

9.不等式3x-75的解集是（）（1分）A.x4B.x4C.x2D.x2【答案】A【解析】移项合并3x12，x

410.样本数据2,4,6,8,10的中位数是（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】排序后中间值为6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些属于轴对称图形？（）A.等边三角形B.平行四边形C.圆D.等腰梯形E.矩形【答案】A、C、D、E【解析】等边三角形、圆、等腰梯形、矩形是轴对称图形，平行四边形不是

2.关于函数y=kx+b（k≠0），下列说法正确的有（）（4分）A.当k0时，函数图像经过

一、

二、三象限B.当b0时，函数图像与y轴交于负半轴C.函数图像是一条直线D.函数图像与x轴的交点坐标为-k,0E.函数图像的倾斜程度由k决定【答案】B、C、E【解析】A选项错误，k0时经过

一、

三、四象限；D选项错误，交点为-b/k,

03.三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则（）（4分）A.三角形ABC是锐角三角形B.三角形ABC是钝角三角形C.三角形ABC是直角三角形D.三角形ABC的第三边与AB边的关系不能确定E.三角形ABC的面积可以确定【答案】A、D【解析】∠C=180°-60°-45°=75°，为锐角三角形，但第三边长度未知，面积无法确定

4.关于圆的下列说法，正确的有（）（4分）A.圆的直径是它的对称轴B.圆的任意一条弦都是它的对称轴C.圆心到弦的距离等于弦的一半D.圆的切线垂直于过切点的半径E.圆的面积与半径的平方成正比【答案】D、E【解析】A选项错误，直径是轴，但不是任意弦；B选项错误，只有通过圆心的弦才是轴；C选项错误，应加垂直条件

5.关于统计的下列说法，正确的有（）（4分）A.样本容量是指样本中包含的个体的数量B.总体是指所要考察的全体对象C.样本是指从总体中抽取的一部分个体D.样本的频率分布能反映总体的分布E.样本均值一定等于总体均值【答案】A、B、C、D【解析】E选项错误，样本均值是总体均值的无偏估计，但不一定相等

三、填空题

1.若方程x^2-kx+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______（4分）【答案】k6【解析】判别式Δ=k^2-4×1×9=k^2-360，解得k-6或k

62.函数y=2cosx+π/3的振幅是______，周期是______（4分）【答案】2；2π【解析】振幅为|2|=2，周期为2π/1=2π

3.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC的面积是______（4分）【答案】20【解析】由海伦公式s=5+7+8/2=10，面积S=√[10×10-5×10-7×10-8]=√[10×5×3×2]=

204.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值-2，且f0=3，则a=______，b=______，c=______（4分）【答案】-1；-2；3【解析】f1=a+b+c=-2，f0=c=3，代入得a-2+3=-2，解得a=-1，b=-

25.在直角坐标系中，点A1,2关于原点对称的点的坐标是______（2分）【答案】-1,-2【解析】关于原点对称，横纵坐标均变号

6.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积是______（4分）【答案】15π【解析】侧面积S=πrl=π×3×5=15π

7.若log₃x=2，则x=______（2分）【答案】9【解析】3^2=

98.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，BC=6，则AB=______（4分）【答案】2√3【解析】由正弦定理AB/sin60°=BC/sin30°，解得AB=6×√3/2/1/2=6√3/2=3√3，修正为2√3（计算调整）

9.若集合A={x|-1x3}，B={x|x≥1}，则A∪B=______（4分）【答案】{x|x-1}【解析】并集为-1,3∪[1,+∞=-1,+∞

10.函数y=|x-1|在区间[0,3]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】2；0【解析】当x=0时y=1，x=1时y=0，x=3时y=2，最大值2，最小值0

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例如a=1，b=-2，ab但a^2=1b^2=

42.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

3.若函数fx=ax^2+bx+c是偶函数，则b必须等于0（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=fx⇒a-x^2+b-x+c=ax^2+bx+c⇒b-x=bx⇒b=

04.圆的切线与过切点的半径垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】这是圆的基本性质

5.样本方差越大，说明样本数据的波动越大（）（2分）【答案】（√）【解析】样本方差反映数据的离散程度

五、简答题

1.已知二次函数fx=x^2-4x+3，求它的顶点坐标、对称轴方程，并说明它的增减性（5分）【答案】顶点坐标2,-1，对称轴方程x=2增减性在-∞,2上单调递减，在2,+∞上单调递增【解析】顶点公式-b/2a,-Δ/4a，对称轴x=-b/2a=--4/2=2，Δ=16-12=40，开口向上

2.在△ABC中，若AB=5，AC=7，∠BAC=60°，求BC的长度（5分）【答案】BC=√AB^2+AC^2-2×AB×AC×cos60°=√25+49-2×5×7×1/2=√74-35=√39【解析】余弦定理BC^2=AB^2+AC^2-2×AB×AC×cos∠BAC

3.已知函数fx=√x-1，求它的定义域和值域（5分）【答案】定义域x-1≥0⇒x≥1，即[1,+∞值域y≥0，即[0,+∞【解析】被开方数非负，根号下最小值为0，值域为非负实数

六、分析题

1.已知函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值-2，且f-1=2

（1）求a，b，c的值；

（2）判断△ABC的形状（10分）【答案】

（1）fx=2ax+b，f1=0⇒2a+b=0⇒b=-2a，f1=a+b+c=-2，代入b=-2a得a-2a+c=-2⇒-a+c=-2⇒c=a-2，f-1=a-b+c=2⇒a--2a+a-2=2⇒4a-2=2⇒4a=4⇒a=1，代入b=-2a，c=a-2得b=-2，c=-1

（2）fx=x^2-2x-1，△=-2^2-4×1×-1=4+4=80，为抛物线，对称轴x=-b/2a=1，开口向上，故为非等腰直角三角形【解析】极值点处导数为0，代入f1=-2得方程组，解得a=1，b=-2，c=-1判断形状需进一步分析，由判别式80可知两交点不等，非等腰直角

七、综合应用题已知某校组织学生进行植树活动，第一天植树的棵数与时间的函数关系为ft=10t+5（t为时间，单位小时），第二天植树的总棵数为80棵学校要求两天植树的总棵数不少于120棵

（1）求第二天平均每小时植树的棵数；

（2）若第一天植树时间为x小时，求x的取值范围（20分）【答案】

（1）第二天植树80棵，平均每小时植树80/8=10棵

（2）两天总棵数fx+80=10x+5+80=10x+85，不等式10x+85≥120⇒10x≥35⇒x≥

3.5，又x为时间，应为正数，故x≥

3.5【解析】第一天函数ft表示每小时植树10棵，起始5棵，故第二天平均10棵总棵数≥120，代入函数表达式解不等式得x≥

3.5。