奇点计划数学题集及答案解析

奇点计划数学题集及答案解析

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.a0,b^2-4ac0B.a0,b^2-4ac0C.a0,b^2-4ac=0D.a0,b^2-4ac=0【答案】C【解析】函数开口向上说明a0，顶点在x轴上说明△=b^2-4ac=0，故选C

2.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=7，a_5=13，则S_10的值为（）（2分）A.100B.150C.200D.250【答案】B【解析】由a_3和a_5可得2d=a_5-a_3=6，则d=3，a_1=a_3-2d=1，S_10=10a_1+45d=

1503.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则sinC的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.√6/4【答案】B【解析】由三角形内角和可知角C=75°，sinC=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6/4+√2/4=√3/

24.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】点数和为7的基本事件有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种，概率为6/36=1/

65.已知直线l y=kx+1与圆O x^2+y^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的值为（）（2分）A.±√3B.±1C.±√2D.±√5【答案】A【解析】由垂径定理可得OA=√3，圆心O到直线l的距离d=√4-3=1，故d=|k|/√k^2+1=1，解得k=±√

36.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.eB.e^2C.1/eD.1【答案】A【解析】fx=e^x-a，由f1=0可得a=e，且f1=e0，故x=1处取得极小值

7.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（1分）A.√5B.5C.√10D.10【答案】C【解析】a+b=4,-2，|a+b|=√4^2+-2^2=√20=2√

58.某校高一年级有2000名学生，随机抽取500名学生进行调查，其中喜欢数学的学生有300名，则估计全校喜欢数学的学生约有（）（2分）A.800B.1000C.1200D.1500【答案】B【解析】抽样比=300/500=60%，则全校约有2000×60%=1200名学生喜欢数学

9.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，fx+2=fx+f2，则f5的值为（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】f2=2f1=4，f3=f1+f2=6，f5=f3+f2=10，故f5=-f-5=-10，矛盾，故选B

10.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_7的值为（）（2分）A.64B.128C.256D.512【答案】C【解析】设公比为q，由a_4=a_1q^3可得q=2，故a_7=a_1q^6=64

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则√a√bB.若fx是奇函数，则fx^2也是奇函数C.若△ABC中，角A=角B，则sinA=sinBD.若直线l_1平行于直线l_2，则l_1的斜率等于l_2的斜率E.若a_n→a，则存在N，当nN时，|a_n-a|1【答案】A、C、E【解析】A中ab且a,b0时成立；B中fx^2是偶函数；C中由正弦定理成立；D中两条直线可能垂直；E中收敛定义的推论

2.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有（）A.y=2x+1B.y=3-xC.y=x^2D.y=1/xE.y=√x【答案】A、C、E【解析】A是线性函数，斜率为正；B是线性函数，斜率为负；C是二次函数，开口向上，对称轴x=0，故0,1上递增；D在0,1上递减；E是幂函数，指数为1/

203.下列不等式成立的有（）A.log_23log_32B.e^ππ^eC.sinπ/6cosπ/6D.1/2^-31/3^-3E.C10,3P10,3【答案】A、B、D、E【解析】A中log_23=3/log_2=3/1/log_3=3log_31，log_32=2/log_3=2/1/log_2=2log_21，故log_23log_32；B中e^π≈

22.46，π^e≈

22.46，e^ππ^e成立；C中sinπ/6=1/2，cosπ/6=√3/21/2，故不成立；D中1/2^-3=8，1/3^-3=27，故成立；E中C10,3=120，P10,3=720，故成立

4.下列函数中，以x=2为对称轴的有（）A.y=x^2-4x+1B.y=2x-2^2+3C.y=-3x+6D.y=|x-2|E.y=1/x-2【答案】A、B、D【解析】A中y=x-2^2-3，对称轴x=2；B中对称轴x=2；C中是斜率k=-3的直线，无对称轴；D中y=|x-2|在x=2处拐折，对称轴x=2；E中在x=2处无定义，无对称轴

5.下列命题中，正确的有（）A.若fx是偶函数，则fx是奇函数B.若数列{a_n}单调递增，则{a_n}有界C.若fx在x=c处取得极值，则fc=0D.若fx是周期函数，则fx的图像关于原点对称E.若a_n→0，则{a_n}有界【答案】A、C【解析】A中f-x=fx⇒f-x=-fx；B中单调递增数列可能无界；C是极值存在的必要条件；D中周期函数不一定关于原点对称；E中{a_n}有界是a_n→0的必要条件，但反之不成立

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值为______（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|的最小值为|x-1|和|x+2|的距离，即-1到2的距离为

32.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为______（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a·sinB/sinA=√3×√2/2÷√3=√6/2，故b=√

63.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=25，S_10=70，则S_15的值为______（4分）【答案】130【解析】由S_5=25，S_10=70可得5a_1+10d=25，10a_1+45d=70，解得a_1=5，d=1，故S_15=15×5+105×1=

1304.已知fx=x^2-2x+3，则fx在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】7；2【解析】fx在[-1,3]上单调递减，故最大值为f-1=6，最小值为f3=0，但f-1=6，f1=2，f3=0，故最小值为2，最大值为

75.已知向量a=3,4，b=1,-2，则向量a·b的值为______（4分）【答案】-2【解析】a·b=3×1+4×-2=3-8=-5，故答案为-

56.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则φ的值为______（4分）【答案】π/4【解析】sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则2x+φ=π/2+kπ，k∈Z，故φ=π/2-π/2+kπ=π/

47.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则△ABC的面积为______（4分）【答案】3/2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a·sinB/sinA=√3×√2/2÷√3=√6/2，故S=1/2×a×b×sinC=1/2×√3×√6/2×sin75°=3/

28.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，fx+2=fx+f2，则f0的值为______（4分）【答案】0【解析】f0=0，由fx+2=fx+f2，令x=0可得f2=f0+f2，故f0=0

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】当a,b异号时，如a=2，b=-3，则ab但a^2=4b^2=

92.若fx是定义在R上的偶函数，则fx=f-x对任意x∈R成立（）【答案】（√）【解析】这是偶函数的定义

3.若数列{a_n}单调递增，且a_n有界，则{a_n}必有极限（）【答案】（√）【解析】由单调有界定理可得

4.若fx在x=c处取得极值，则fc可能不存在（）【答案】（√）【解析】如fx=|x|在x=0处取得极小值，但f0不存在

5.若a_n→a，则存在N，当nN时，|a_n-a|1恒成立（）【答案】（√）【解析】这是收敛定义的推论

6.若fx是周期函数，则fx的图像一定关于原点对称（）【答案】（×）【解析】如fx=cosx+π，周期为2π，但图像不关于原点对称

7.若fx在x=c处取得极大值，则fc=0（）【答案】（×）【解析】fc=0是极值存在的必要条件，但不是充分条件

8.若fx是奇函数，则fx^2也是奇函数（）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2，故fx^2是奇函数

9.若fx是偶函数，则fx是奇函数（）【答案】（√）【解析】f-x=fx⇒f-x=-fx

10.若fx是周期函数，则存在T0，使得fx+T=fx对任意x∈R成立（）【答案】（√）【解析】这是周期函数的定义

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（4分）【答案】解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增故fx在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=25，S_10=70，求a_6+a_7+a_8+a_9+a_10的值（4分）【答案】解由S_5=25，S_10=70可得5a_1+10d=25，10a_1+45d=70，解得a_1=5，d=1，故a_n=5+n-1×1=4+n，a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=5a_1+5d+10d+15d+20d=5×5+50×1=

753.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】解fx在[-1,3]上单调递减，故最大值为f-1=6，最小值为f3=0，但f-1=6，f1=2，f3=0，故最小值为2，最大值为

64.已知向量a=3,4，b=1,-2，求向量a+b的坐标和模长（4分）【答案】解a+b=3,4+1,-2=4,2，|a+b|=√4^2+2^2=√20=2√

55.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，fx+2=fx+f2，求f5的值（4分）【答案】解由fx+2=fx+f2，令x=1得f3=f1+f2=2+f2，令x=3得f5=f3+f2=2+2f2，又f2=f0+f2，故f0=0，f2=2f2，矛盾，故f2=0，则f5=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，求φ的值，并判断fx的奇偶性（10分）【答案】解sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则2x+φ=π/2+kπ，k∈Z，故φ=π/2-π/2+kπ=π/4，又fx=sin2x+π/4，f-x=sin-2x+π/4=-sin2x-π/4=-sinπ/4-2x=-fx，故fx是奇函数

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求通项公式a_n（10分）【答案】解令b_n=a_n+1，则b_1=2，b_{n+1}=2b_n，故b_n=2^n，故a_n=2^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并画出函数的草图（25分）【答案】解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增故fx在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值，f0=2，f2=0，故极大值为2，极小值为0，函数草图如下```|||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\------------------3-2-10123```

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=25，S_10=70，求通项公式a_n，并求S_{15}的值（25分）【答案】解由S_5=25，S_10=70可得5a_1+10d=25，10a_1+45d=70，解得a_1=5，d=1，故a_n=5+n-1×1=4+n，S_{15}=15a_1+105d=15×5+105×1=180标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.B

9.B

10.C

二、多选题

1.A、C、E

2.A、C、E

3.A、B、D、E

4.A、B、D

5.A、C

三、填空题

1.

32.√

63.

1304.7；

25.-

26.π/

47.3/

28.0

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

6.（×）

7.（×）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增故fx在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减

2.解由S_5=25，S_10=70可得5a_1+10d=25，10a_1+45d=70，解得a_1=5，d=1，故a_n=5+n-1×1=4+n，a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=5a_1+5d+10d+15d+20d=5×5+50×1=

753.解fx在[-1,3]上单调递减，故最大值为f-1=6，最小值为f3=0，但f-1=6，f1=2，f3=0，故最小值为2，最大值为

64.解a+b=3,4+1,-2=4,2，|a+b|=√4^2+2^2=√20=2√

55.解由fx+2=fx+f2，令x=1得f3=f1+f2=2+f2，令x=3得f5=f3+f2=2+2f2，又f2=f0+f2，故f0=0，f2=2f2，矛盾，故f2=0，则f5=2

六、分析题

1.解sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则2x+φ=π/2+kπ，k∈Z，故φ=π/2-π/2+kπ=π/4，又fx=sin2x+π/4，f-x=sin-2x+π/4=-sin2x-π/4=-sinπ/4-2x=-fx，故fx是奇函数

2.解令b_n=a_n+1，则b_1=2，b_{n+1}=2b_n，故b_n=2^n，故a_n=2^n-1

七、综合应用题

1.解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增故fx在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值，f0=2，f2=0，故极大值为2，极小值为0，函数草图如下```|||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\------------------3-2-10123```

2.解由S_5=25，S_10=70可得5a_1+10d=25，10a_1+45d=70，解得a_1=5，d=1，故a_n=5+n-1×1=4+n，S_{15}=15a_1+105d=15×5+105×1=180。