奥数决赛试题及答案揭秘

奥数决赛热门试题及答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.如图，在一个正五边形内随机画一条对角线，将其分成两个部分，那么这两个部分中至少有一个是四边形，这个命题是（）（2分）A.正确B.错误【答案】A【解析】正五边形有五条对角线，任意一条对角线都会将五边形分成两个部分，其中一个部分一定是四边形

2.若a、b、c是三个互不相等的正整数，且满足a+b+c=6，那么abc的最大值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】abc的最大值出现在a、b、c尽可能接近的情况下，因此a=2，b=2，c=2，abc=8，但由于a、b、c互不相等，所以最大值是

43.一个数列的前n项和为Sn，如果对于任意的正整数n，都有Sn=an²+bn+c，且a、b、c是常数，那么这个数列一定是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】Sn=an²+bn+c的形式是等差数列的前n项和的形式

4.在直角坐标系中，点A（1，2）和点B（3，4）关于某条直线对称，那么这条直线一定过点（）（2分）A.（2，3）B.（3，2）C.（1，4）D.（4，1）【答案】A【解析】点A和点B关于某条直线对称，那么这条直线一定是AB的中垂线，中点坐标为（2，3）

5.一个正方体的每个面上都写有一个数字，且相邻面上的数字之和都是7，那么这六个数字中，最大的数字是（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】相邻面上的数字之和都是7，那么六个数字分别是

1、

2、

3、

4、

5、6，最大的数字是

66.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且AB=3，BC=4，CD=5，那么AD的长度是（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】四边形ABCD是矩形，根据勾股定理，AD=√AB²+BC²=√3²+4²=

57.一个圆的半径增加一倍，那么它的面积增加了（）（2分）A.一倍B.两倍C.三倍D.四倍【答案】D【解析】圆的面积公式是πr²，半径增加一倍，面积变为4πr²，增加了四倍

8.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，那么AB的长度是（）（2分）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3【答案】A【解析】根据正弦定理，AB=BC·sinB/sinA=10·sin45°/sin60°=5√

29.一个直角三角形的两条直角边的长度分别是3和4，那么它的斜边上的高是（）（2分）A.2B.

2.4C.

2.8D.3【答案】B【解析】斜边长度为5，斜边上的高为3·4/5=

2.

410.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，那么∠B的度数是（）（2分）A.20°B.40°C.70°D.80°【答案】C【解析】AB=AC，所以∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∠B=70°

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些数是质数？（）（4分）A.2B.3C.4D.5E.6【答案】A、B、D【解析】质数是只有1和它本身两个因数的数，

2、

3、5是质数

2.以下哪些图形是轴对称图形？（）（4分）A.等腰三角形B.矩形C.正方形D.圆E.等边三角形【答案】A、B、C、D、E【解析】等腰三角形、矩形、正方形、圆、等边三角形都是轴对称图形

3.以下哪些数是有理数？（）（4分）A.√4B.πC.1/3D.

0.25E.√2【答案】A、C、D【解析】√4=2是有理数，1/3和

0.25也是有理数，π和√2是无理数

4.以下哪些命题是真命题？（）（4分）A.两个奇数的和是偶数B.两个偶数的和是偶数C.两个奇数的积是奇数D.两个偶数的积是偶数E.一个奇数和一个偶数的积是奇数【答案】A、B、C、D【解析】两个奇数的和是偶数，两个偶数的和是偶数，两个奇数的积是奇数，两个偶数的积是偶数

5.以下哪些图形是中心对称图形？（）（4分）A.等腰三角形B.矩形C.正方形D.圆E.等边三角形【答案】B、C、D【解析】矩形、正方形、圆是中心对称图形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.一个数列的前n项和为Sn，如果对于任意的正整数n，都有Sn=an²+bn+c，且a、b、c是常数，那么这个数列的通项公式是______【答案】an+b【解析】数列的通项公式是an+b，因为Sn=an²+bn+c，Sn-Sn-1=an+b

2.在直角坐标系中，点A（1，2）和点B（3，4）关于某条直线对称，那么这条直线的方程是______【答案】y=x+1【解析】这条直线的方程是y=x+1，因为它是AB的中垂线

3.一个正方体的每个面上都写有一个数字，且相邻面上的数字之和都是7，那么这六个数字中，最小的数字是______【答案】1【解析】六个数字分别是

1、

2、

3、

4、

5、6，最小的数字是

14.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且AB=3，BC=4，CD=5，那么对角线AC的长度是______【答案】5【解析】对角线AC的长度是√AB²+BC²=√3²+4²=

55.一个圆的半径增加一倍，那么它的面积增加了______倍【答案】3【解析】面积增加了3倍，因为面积公式是πr²，半径增加一倍，面积变为4πr²，增加了3倍

6.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，那么AC的长度是______【答案】5√2【解析】根据正弦定理，AC=BC·sinB/sinA=10·sin45°/sin60°=5√

27.一个直角三角形的两条直角边的长度分别是3和4，那么它的斜边上的高是______【答案】

2.4【解析】斜边长度为5，斜边上的高为3·4/5=

2.

48.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，那么∠C的度数是______【答案】70°【解析】AB=AC，所以∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=70°

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】两个负数相加，和一定比其中一个数小

2.一个数是偶数，那么它的平方也是偶数（）（2分）【答案】（√）【解析】偶数的平方仍然是偶数

3.一个数是奇数，那么它的平方也是奇数（）（2分）【答案】（√）【解析】奇数的平方仍然是奇数

4.一个圆的直径增加一倍，那么它的面积也增加一倍（）（2分）【答案】（×）【解析】圆的面积公式是πr²，直径增加一倍，半径增加一倍，面积增加四倍

5.一个数列的前n项和为Sn，如果对于任意的正整数n，都有Sn=an²+bn+c，且a、b、c是常数，那么这个数列一定是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】Sn=an²+bn+c的形式是等差数列的前n项和的形式

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列和等比数列的定义和性质【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列；等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列等差数列的性质包括如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq；等比数列的性质包括如果m+n=p+q，那么am·an=ap·aq

2.简述轴对称图形和中心对称图形的定义和性质【答案】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身完全重合的图形轴对称图形的性质包括对称轴是图形的对称轴，对称轴两侧的部分能够互相重合；中心对称图形的性质包括对称中心是图形的对称中心，绕对称中心旋转180°后能够与自身完全重合

3.简述直角三角形的勾股定理及其应用【答案】勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²应用包括计算直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等

4.简述圆的性质及其应用【答案】圆的性质包括圆上任意两点之间的距离都相等；圆上任意一点到圆心的距离都相等；圆的直径是圆的最长弦应用包括计算圆的面积、周长等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析一个数列的前n项和为Sn，如果对于任意的正整数n，都有Sn=an²+bn+c，且a、b、c是常数，那么这个数列的通项公式是什么？并证明你的结论【答案】数列的通项公式是an+b证明Sn=an²+bn+c，Sn-Sn-1=an+b，所以通项公式是an+b

2.分析一个圆的半径增加一倍，那么它的面积增加了多少倍？并证明你的结论【答案】面积增加了三倍证明圆的面积公式是πr²，半径增加一倍，面积变为4πr²，增加了3倍

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在一个直角坐标系中，点A（1，2）和点B（3，4）关于某条直线对称，求这条直线的方程，并证明点C（2，3）在这条直线上【答案】这条直线的方程是y=x+1证明点A和点B关于这条直线对称，所以这条直线是AB的中垂线，中点坐标为（2，3），斜率为-1，所以方程是y=x+1点C（2，3）满足方程y=x+1，所以点C在这条直线上

2.在一个四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且AB=3，BC=4，CD=5，求对角线AC的长度，并证明四边形ABCD是矩形【答案】对角线AC的长度是5证明四边形ABCD是矩形，因为四个角都是90°，所以对角线AC=√AB²+BC²=√3²+4²=5---标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.A

4.A

5.D

6.B

7.D

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、C、D、E

3.A、C、D

4.A、B、C、D

5.B、C、D

三、填空题

1.an+b

2.y=x+

13.

14.

55.

36.5√

27.

2.

48.70°

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列；等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列等差数列的性质包括如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq；等比数列的性质包括如果m+n=p+q，那么am·an=ap·aq

2.轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身完全重合的图形轴对称图形的性质包括对称轴是图形的对称轴，对称轴两侧的部分能够互相重合；中心对称图形的性质包括对称中心是图形的对称中心，绕对称中心旋转180°后能够与自身完全重合

3.勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²应用包括计算直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等

4.圆的性质包括圆上任意两点之间的距离都相等；圆上任意一点到圆心的距离都相等；圆的直径是圆的最长弦应用包括计算圆的面积、周长等

六、分析题

1.数列的通项公式是an+b证明Sn=an²+bn+c，Sn-Sn-1=an+b，所以通项公式是an+b

2.面积增加了三倍证明圆的面积公式是πr²，半径增加一倍，面积变为4πr²，增加了3倍

七、综合应用题

1.这条直线的方程是y=x+1证明点A和点B关于这条直线对称，所以这条直线是AB的中垂线，中点坐标为（2，3），斜率为-1，所以方程是y=x+1点C（2，3）满足方程y=x+1，所以点C在这条直线上

2.对角线AC的长度是5证明四边形ABCD是矩形，因为四个角都是90°，所以对角线AC=√AB²+BC²=√3²+4²=5。