宁夏地区自主招生数学试题及答案一览

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-3B.1C.3D.0【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离

32.若集合A={x|x²-5x+6=0},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B等于（）（2分）A.{2}B.{3}C.{2,3}D.∅【答案】A【解析】A={2,3},B是所有2的倍数集合，交集为{2}

3.在△ABC中，若cosA=1/2,cosB=1/√2,则cosC的值是（）（2分）A.1/2B.1/√2C.√3/2D.-√3/2【答案】D【解析】cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-1/4+√1-1/4×√1-1/2=-√3/

24.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2,a_4=6,则S_6等于（）（2分）A.18B.24C.30D.36【答案】C【解析】公差d=6-2/3=4/3,S_6=6×2+6×5/3×4/3=

305.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和大于9的概率是（）（2分）A.1/6B.5/36C.1/4D.7/36【答案】C【解析】满足条件的基本事件有4,6,5,5,6,4,5,6,6,5,6,6，共6种，概率为6/36=1/

66.函数y=sin2x+π/3的图像关于（）对称（2分）A.x=π/2B.x=π/6C.x=π/4D.x=π/3【答案】D【解析】对称轴方程为2x+π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2+π/12，k∈Z

7.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a,b∈R），则a+b等于（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】z²=-2i,-2i+az+b=0,a=2,b=2,a+b=

48.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心为--4/2,-6/2=2,

39.不等式|x|+|x-1|2的解集是（）（2分）A.-1,2B.-2,1C.-1,1D.-2,2【答案】C【解析】分三种情况讨论，解集为-1,

110.已知向量a=1,k,b=2,-1,若a⊥b，则k的值是（）（2分）A.-1/2B.1/2C.-2D.2【答案】D【解析】a·b=2-k=0,k=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若x²=1，则x=1B.若ab，则a²b²C.sinπ/4=cosπ/4D.0log₂31【答案】C、D【解析】A错，x=±1；B错，如a=1,b=-2；C对；D对，log₂3log₂4=

22.函数y=x³-ax在x=1处取得极值，则a的值可以是（）（4分）A.3B.0C.-3D.1【答案】A、C【解析】y=3x²-a,x=1时y=0,3-a=0,a=

33.在△ABC中，若A=30°,B=60°,C=90°，则下列关系成立的是（）（4分）A.a²+b²=c²B.a:b:c=1:√3:2C.cosA+cosB=1D.sinA+sinB=√3/2【答案】A、B、D【解析】A对，勾股定理；B对，边长比；C错；D对，sin30°+sin60°=1/2+√3/2=√3/

24.若函数fx=x²+bx+c在x=1处取得最小值-2，则（）（4分）A.b=2B.c=-1C.f0=1D.Δ=b²-4c0【答案】A、C【解析】对称轴x=-b/2=1,b=-2;最小值c-1/4=-2,c=-7/4;f0=1;Δ=-2²-4-7/4=4+7=

1105.已知椭圆x²/9+y²/4=1，下列说法正确的是（）（4分）A.焦距为2√5B.长轴长为6C.短轴长为4D.离心率e=1/3【答案】A、B、D【解析】a=3,b=2,c=√9-4=√5;焦距2c=2√5;长轴2a=6;短轴2b=4;e=c/a=√5/3

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在等比数列{a_n}中，若a_2=6,a_4=54，则a_5=______（4分）【答案】486【解析】q²=54/6=9,q=3,a_5=54×3=

162.

2.不等式x²-3x-40的解集是______（4分）【答案】-∞,-1∪4,+∞【解析】x+1x-

40.

3.已知tanα=2/3，则sinα+β=5/13，若cosβ=-3/5（α在第一象限），则sinβ=______（4分）【答案】-4/5【解析】sinβ=-3/5,cosβ=-4/5;sinα=2/√13,cosα=3/√13;sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=2/√13×-4/5+3/√13×5/13=5/13;满足条件.

4.已知点A1,2，点B在直线x+y=0上，则|AB|的最小值是______（4分）【答案】√5/2【解析】B到直线的距离d=|1+2|/√2=3/√2,最小值√3²/2+2²=√9/2+4=√17/

2.

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x₁,x₂是方程x²-2x+1=0的两根，则x₁+x₂=2（）（2分）【答案】（√）【解析】韦达定理x₁+x₂=

2.

2.若函数fx=ax²+bx+c在x=1处取得极大值，则a0（）（2分）【答案】（×）【解析】若开口向上a0且在x=1处取得极值，需a0;若开口向下a0，则需a0;题目未指明开口方向，故不一定.

3.在△ABC中，若a²+b²=c²，则△ABC一定是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】勾股定理的逆定理.

4.若向量a=1,1,b=1,-1,则a⊥b（）（2分）【答案】（×）【解析】a·b=1-1=0,a⊥b.

5.已知集合A={x|1x3},B={x|x≥2},则A∩B={x|2≤x3}（）（2分）【答案】（√）【解析】交集为{2}∪2,

3.

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x²-6x,令fx=0,x=0或x=

2.f0=2,f2=-

2.x=0处取得极大值，x=2处取得极小值.

2.求函数y=sin2x-π/4在[0,π]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值1,最小值-√2/

2.当2x-π/4=π/2+2kπ时y=1;当2x-π/4=3π/2+2kπ时y=-

1.在[0,π]内，最大值为1，最小值为-√2/

2.

3.写出等差数列{a_n}的前n项和S_n的公式，并说明其推导过程（5分）【答案】S_n=n/2a_1+a_n=n/2[2a_1+n-1d].推导S_n=a_1+a_2+...+a_n;令S_n=a_n+a_{n-1}+...+a_1,两式相加得2S_n=na_1+a_n,即S_n=n/2a_1+a_n.

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-ax+b，若f1=0且fx0对任意x∈0,2恒成立，求实数a,b的取值范围（10分）【答案】f1=1-a+b=0,a=b+

1.fx0对任意x∈0,2恒成立，需开口向上a0且区间0,2在对称轴左侧a2,即b+12,b

1.又需Δ=a²-4b=b+1²-4b=b²-2b+10恒成立，所以b

1.

2.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，且a+2b=18，求△ABC的面积（10分）【答案】由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5,设a=3k,b=4k,c=5k.a+2b=3k+8k=18,k=

2.a=6,b=8,c=

10.△ABC为直角三角形，面积S=1/2ab=1/2×6×8=

24.

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-a|+|x+2|（a∈R），

（1）求fx的最小值及取得最小值时的x值；

（2）若fx在x=1处取得最小值，求a的值并写出fx的表达式（25分）【答案】

（1）fx表示数轴上点x到点a和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离|a+2|，取得最小值时x在[-2,a]或[a,-2]内，即x=-2或x=a.

（2）若x=1处取得最小值，则|1-a|+|1+2|=|a+2|，即|a-1|=

3.a-1=3或a-1=-3,a=4或a=-

2.当a=4时fx=|x-4|+|x+2|,当a=-2时fx=|x+2|+|x+2|=2|x+2|.检验a=4时f1=|1-4|+|1+2|=3+3=6;a=-2时f1=2|1+2|=

6.均满足条件，但只有a=4时fx在x=1处取得最小值.

2.在等差数列{a_n}中，已知S_10=100,S_20=380，求

（1）通项公式a_n；

（2）若从第n项起，前m项的和为S_n，且S_n:S_m=1:3，求n,m的值（25分）【答案】

（1）设首项a_1=a,公差d,S_10=10a+45d=100,S_20=20a+190d=

380.解得a=2,d=

2.a_n=2+n-1×2=2n.

（2）S_n=na+nd/2=n×2+nn-1×1=n²+n,S_m=m²+m.S_n:S_m=1:3,n²+n=1/3m²+m,即3n²+3n=m²+m.m=2n或m=3n/2，由于m为正整数，m=2n.S_n:S_m=1:3,n²+n=1/44n²+2n,4n²+2n=12n²+12n,8n²+10n=0,n4n+5=0,n=0或n=-5/4，舍去负数和零，n=5,m=

10.验证S_5=5²+5=30,S_10=10²+10=110,S_5:S_10=30:110=3:11≠1:3，故n=5,m=10不满足条件.重新解方程3n²+3n=m²+m,m=2n,3n²+3n=4n²+2n,n²-n=0,nn-1=0,n=0或n=1,舍去n=0,n=1,m=

2.验证S_1=1²+1=2,S_2=2²+2=6,S_1:S_2=2:6=1:3，满足条件，故n=1,m=

2.。