宁夏自主招生数学考试真题及答案展示

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为3-1=

22.在△ABC中，若角A=45°，角B=75°，则角C的大小为（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】D【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-45°-75°=60°

3.若复数z满足z²=1，则z的取值不可能是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】i²=-1，故i不满足z²=

14.函数y=sin2x+cos2x的最大值为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】y=√2sin2x+π/4，最大值为√

25.抛掷一枚均匀的硬币，连续抛掷3次，则恰好出现两次正面的概率为（）（2分）A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2【答案】B【解析】P=C3,21/2³=3/

86.直线y=2x+1与y=-x+3的交点坐标为（）（2分）A.1,3B.2,5C.1,2D.2,4【答案】A【解析】联立方程组解得x=1，y=

37.已知等差数列{a_n}中，a₁=5，d=2，则a₅的值为（）（2分）A.9B.11C.13D.15【答案】C【解析】a₅=5+2×4=

138.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于y轴的对称点为（）（2分）A.1,-2,-3B.-1,2,-3C.-1,-2,3D.-1,-2,-3【答案】D【解析】对称点坐标为-x,y,z

9.若圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心在直线y=x上，则该圆的半径为（）（2分）A.2B.√5C.√7D.3【答案】B【解析】圆心2,-3不满足y=x，故方程错误，无法求解

10.已知函数fx在x=1处取得极小值，且fx是奇函数，则f1的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.无法确定【答案】A【解析】f1=0，且fx是奇函数，则f1=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域上单调递增的有（）（4分）A.y=x²B.y=2x+1C.y=1/xD.y=lnx【答案】B、D【解析】y=2x+1和y=lnx在定义域上单调递增

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则下列结论正确的有（）（4分）A.BCACB.ACABC.AB=BCD.AB²+BC²=AC²【答案】A、B【解析】根据正弦定理，ACAB，BCAC

3.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若ab，则√a√bC.若a²b²，则abD.若ab，则1/a1/b【答案】B、D【解析】B和D在ab时成立

4.已知直线l过点A1,2，则下列直线中与l平行的有（）（4分）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-1/2x+1D.y=-1/2x-1【答案】B、D【解析】斜率为2的直线与l平行

5.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上单调递减，则下列结论正确的有（）（4分）A.f-2f1B.f2f1C.f-3f0D.f3f-1【答案】A、C【解析】A和C在偶函数性质下成立

三、填空题（每题4分，共32分）

1.在等比数列{a_n}中，若a₂=6，a₄=54，则公比q=______（4分）【答案】3【解析】q²=54/6=9，故q=

32.已知圆O的半径为3，弦AB长为4，则弦AB中点到圆心O的距离为______（4分）【答案】√5【解析】设中点为M，OM=√3²-2²=√

53.函数fx=x³-3x+1的极大值为______（4分）【答案】3【解析】fx=3x²-3，x=±1，f1=3为极大值

4.在直角坐标系中，点A1,2到直线3x+4y-5=0的距离为______（4分）【答案】3【解析】|3×1+4×2-5|/√3²+4²=

35.已知集合A={x|x²-3x+20}，B={x|ax-10}，若B⊆A，则a的取值范围是______（4分）【答案】a0或a≤-1/2【解析】A={x|x2或x1}，B={x|xa}，故a2或a≤-1/

26.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为______（4分）【答案】5【解析】由余弦定理，c²=3²+4²-2×3×4×cos60°=25，故c=

57.已知函数fx=sinωx+φ的周期为π，且f0=1，则φ=______（4分）【答案】2kπ+π/2【解析】ω=2，f0=sinφ=1，故φ=2kπ+π/

28.在空间中，过点A1,0,0且与平面x+y+z=1平行的直线方程为______（4分）【答案】x=1，y=t，z=t【解析】方向向量为1,1,1，参数方程为x=1，y=t，z=t

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=-1，则ab但a²b²

2.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₅=10，则a₃=5（）（2分）【答案】（√）【解析】a₁+a₅=2a₃=10，故a₃=

53.若函数fx在x=c处取得极大值，则fc=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0（可导条件下）

4.在△ABC中，若a²=b²+c²，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，故为直角三角形

5.若直线l₁与l₂斜率互为相反数，则l₁与l₂平行（）（2分）【答案】（×）【解析】l₁与l₂相交（斜率非0时）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x²-4x+5的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】最小值为1，取得最小值时的x值为2【解析】fx=x-2²+1，故最小值为1，x=2时取得

2.已知直线l过点A1,2，且与直线y=3x-1垂直，求直线l的方程（5分）【答案】y=-1/3x+7/3【解析】斜率为-1/3，方程为y-2=-1/3x-1，即y=-1/3x+7/

33.已知集合A={x|1x3}，B={x|x²-4x+30}，求A∪B的集合（5分）【答案】A∪B={x|1x3}【解析】B={x|1x3}，故A∪B={x|1x3}

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，求fx的单调区间（10分）【答案】减区间-∞,1，增区间1,+∞【解析】fx=3x²-3，x=±1，测试区间符号，故减区间-∞,1，增区间1,+∞

2.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求△ABC的面积（10分）【答案】S=

17.32【解析】cosA=25+49-64/2×35=9/70，sinA=√1-81/4900=√419/4900，S=1/2×5×7×√419/4900≈

17.32

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值，并画出函数图像（25分）【答案】最小值为3，取得最小值时的x值在[-2,1]之间【解析】fx分段为x-2时，fx=-2x-1-2≤x≤1时，fx=3x1时，fx=2x+1最小值为3，在x∈[-2,1]时取得图像为V形

2.在平面直角坐标系中，A1,2，B3,0，C-1,-2，求

（1）△ABC的面积；

（2）过A、B两点且与BC平行的直线方程（25分）【答案】

（1）S=4

（2）y=2x-4【解析】

（1）向量AB=2,-2，向量AC=-2,-4，叉积|2×-4--2×-2|/2=4

（2）斜率k_AB=-1，BC斜率也为-1，方程为y-2=-1x-1，即y=-x+3。