山东高中导数创新试题和详细答案

山东高中导数创新试题和详细答案

一、单选题

1.函数fx=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值是（）（2分）A.6B.10C.8D.12【答案】B【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2计算f-2=-10，f0=2，f2=-2，f4=10，最大值为

102.若函数y=fx在x=x₀处取得极值，且fx₀存在，则fx₀等于（）（2分）A.任意实数B.0C.正数D.负数【答案】B【解析】根据极值必要条件，可导函数在极值点处的导数为

03.函数fx=lnx+1-x在区间0,1上的单调性为（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】B【解析】fx=1/x+1-1=-x/x+10，故单调递减

4.曲线y=ex³在点1,e³处的切线斜率是（）（2分）A.e³B.3e³C.2e³D.6e³【答案】B【解析】y=3x²e³，在x=1处斜率为3e³

5.函数fx=x²e^-x的极值点是（）（2分）A.x=0B.x=2C.x=-2D.x=1【答案】B【解析】fx=2xe^-x-x²e^-x=xe^-x2-x，令fx=0得x=0或x=

26.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a等于（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=

37.函数y=x³-6x²+9x+1的拐点是（）（2分）A.1,5B.2,7C.3,7D.0,1【答案】C【解析】y=6x-12，令y=0得x=2，y2=7，拐点为2,

78.函数fx=xlnx在x=1处的泰勒展开式中x³项的系数是（）（2分）A.1/3B.1/2C.1D.0【答案】A【解析】fx=lnx+1，fx=1/x，fx=-1/x²，f1=-1，系数为1/3!

9.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.不存在【答案】B【解析】fx在x=1处取得最小值

110.若函数fx=x³-3x²+2在x=2处取得极值，则f2等于（）（2分）A.0B.3C.-3D.6【答案】A【解析】fx=3x²-6x，f2=12-12=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在定义域内处处可导？（）A.y=cosxB.y=exC.y=x²D.y=1/xE.y=lnx【答案】A、B、C、E【解析】cosx、ex、x²、lnx处处可导，1/x在x=0处不可导

2.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.0E.4【答案】B、C【解析】f-2=-2，f0=0，f2=2，且fx=3x²-3，有两个变号零点

3.以下命题正确的是（）A.函数在极值点处导数一定为0B.函数在拐点处二阶导数为0C.增函数的导数恒为正D.减函数的导数恒为负E.导数为0的点一定是极值点【答案】A、B【解析】极值点处导数为0，拐点处二阶导数为0或不存在；增减函数导数符号不变；导数为0不一定是极值点

4.函数fx=x³-ax在x=1处取得极值，则a的取值范围是（）A.a3B.a3C.a=3D.a=0E.a=-3【答案】A、C【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=3，且a3时取得极小值

5.以下函数在区间0,1上单调递减的是（）A.y=-x²B.y=1/xC.y=lnxD.y=e^-xE.y=1-x【答案】B、D、E【解析】1/x、e^-x、1-x的导数在0,1上为负

三、填空题

1.函数fx=x³-3x²+2的极大值点是______，极小值点是______（4分）【答案】x=0；x=2【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-

22.曲线y=ex³在点1,e³处的法线斜率是______（4分）【答案】-1/e³【解析】切线斜率为3e³，法线斜率为-1/3e³=-1/e³

3.函数fx=x²e^-x在区间-∞,0上的单调性为______，在区间0,+∞上的单调性为______（4分）【答案】单调递增；单调递减【解析】fx=xe^-x2-x，在-∞,0上fx0，在0,+∞上fx

04.函数fx=x³-6x²+9x+1的凹区间是______，凸区间是______（4分）【答案】-∞,2；2,+∞【解析】y=6x-12，令y0得x2，令y0得x

25.函数fx=lnx+1在x=0处的三阶泰勒展开式是______（4分）【答案】x+x²/2-x³/3【解析】fx=-2/x³，f0=-2，三阶项系数为-2/3!

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数在拐点处导数一定为0（）【答案】（×）【解析】拐点处二阶导数为0或不存在，如y=x³在x=0处拐点，但导数不为

02.若函数在[a,b]上连续且单调递增，则它在a,b上处处可导（）【答案】（×）【解析】单调递增函数可能在端点不可导，如y=|x|在x=0处

3.函数fx=x³-3x在x=0处取得极大值（）【答案】（×）【解析】f0=0，但f0=-30，取得极小值

4.若函数在x=x₀处取得极值，且fx₀存在，则fx₀=0（）【答案】（√）【解析】根据极值必要条件，可导函数在极值点处导数为

05.函数fx=x³-ax在x=1处取得极值，则a一定是3（）【答案】（√）【解析】f1=3-a=0，得a=3

五、简答题（每题4分，共20分）

1.设函数fx=x³-3x²+2，求fx在区间[-2,4]上的最大值和最小值【答案】最大值为10，最小值为-10【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2计算f-2=-10，f0=2，f2=-2，f4=10，最大值为10，最小值为-

102.设函数fx=x³-ax在x=1处取得极大值，求a的值【答案】a=3【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=3，且f1=-60，取得极大值

3.设函数fx=lnx+1-x，证明fx在区间0,+∞上单调递减【答案】【解析】fx=1/x+1-1=-x/x+10，故在0,+∞上单调递减

4.设函数fx=x²e^-x，求fx的极值点【答案】极值点为x=2【解析】fx=xe^-x2-x，令fx=0得x=0或x=2，f2=-2e^-20，取得极大值

5.设函数fx=x³-6x²+9x+1，求fx的拐点【答案】拐点为2,7【解析】y=6x-12，令y=0得x=2，y2=7，拐点为2,7

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点，并判断极值类型【答案】【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，取得极大值；f2=60，取得极小值极大值点为x=0，极小值点为x=

22.设函数fx=x³-ax在x=1处取得极大值，求a的值，并证明fx在x=1处取得极大值【答案】【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=3fx=6x，f1=60，取得极小值，矛盾故fx在x=1处不可能取得极大值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x³-3x²+2，求fx在区间[-2,4]上的最大值和最小值，并画出函数图像的大致形状【答案】【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2f-2=-10，f0=2，f2=-2，f4=10最大值为10，最小值为-10图像大致形状在x=0处有极大值2，在x=2处有极小值-2，在x=-2处有最小值-10，在x=4处有最大值

102.设函数fx=x³-ax在x=1处取得极大值，求a的值，并证明fx在x=1处取得极大值，画出函数图像的大致形状【答案】【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=3fx=6x，f1=60，取得极小值，矛盾故fx在x=1处不可能取得极大值完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.B

5.B

6.A

7.C

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、C、E

2.B、C

3.A、B

4.A、C

5.B、D、E

三、填空题

1.x=0；x=

22.-1/e³

3.单调递增；单调递减

4.-∞,2；2,+∞

5.x+x²/2-x³/3

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值为10，最小值为-

102.a=

33.证明见解析

4.极值点为x=

25.拐点为2,7

六、分析题

1.极大值点为x=0，极小值点为x=

22.不可能取得极大值

七、综合应用题

1.见解析

2.不可能取得极大值。