山师自主招生综合试题及答案分享

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一、单选题（每题1分，共15分）

1.下列哪个不是中国四大发明之一？（）（1分）A.造纸术B.指南针C.火药D.地动仪【答案】D【解析】中国四大发明是指造纸术、指南针、火药和印刷术

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（1分）A.a0B.a=0C.a0D.b0【答案】C【解析】二次函数fx=ax^2+bx+c的图像开口方向由系数a决定，a0时开口向上

3.千里江陵一日还描述的是哪个河流？（）（1分）A.黄河B.长江C.珠江D.黑龙江【答案】B【解析】千里江陵一日还出自李白的《早发白帝城》，描述的是长江

4.下列哪个是勾股数？（）（1分）A.1,2,3B.3,4,5C.5,6,7D.8,9,10【答案】B【解析】勾股数是满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，3,4,5是勾股数

5.若集合A={1,2,3},B={2,3,4}，则A∩B=（）（1分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的交集是它们共有的元素，即{2,3}

6.下列哪个是质数？（）（1分）A.15B.21C.29D.33【答案】C【解析】质数是只有1和自身两个因数的数，29是质数

7.若向量a=1,2，向量b=2,-1，则a+b=（）（1分）A.3,1B.1,3C.2,1D.1,2【答案】A【解析】向量加法是对应分量相加，即1+2,2-1=3,

18.若sinθ=1/2，则θ的可能值是（）（1分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】sin30°=1/2，所以θ的可能值是30°

9.下列哪个是等比数列？（）（1分）A.1,2,4,8B.1,3,5,7C.1,1,2,3D.1,4,9,16【答案】A【解析】等比数列是相邻项之比为常数的数列，1,2,4,8的相邻项之比都是

210.若直线方程为2x+3y-6=0，则该直线的斜率是（）（1分）A.2B.3C.-2D.-3/2【答案】D【解析】直线方程2x+3y-6=0可化为y=-2/3x+2，斜率为-2/

311.若fx=x^3-3x+2，则f0的值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】f0=0^3-3×0+2=

212.下列哪个是平行四边形？（）（1分）A.正方形B.等腰梯形C.菱形D.不规则四边形【答案】C【解析】菱形是四条边相等的平行四边形

13.若直线l1y=k1x+b1与直线l2y=k2x+b2平行，则（）（1分）A.k1=k2B.b1=b2C.k1+b1=k2+b2D.k1-b1=k2-b2【答案】A【解析】两条直线平行，则它们的斜率相等，即k1=k

214.若三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则该三角形是（）（1分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理，所以是直角三角形，且三个角都小于90°，是锐角三角形

15.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则A和B的笛卡尔积的元素个数是（）（1分）A.m+nB.m×nC.m-nD.maxm,n【答案】B【解析】集合A和B的笛卡尔积的元素个数是m×n

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）（4分）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数E.分式函数【答案】A、B、C、D【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数

2.以下哪些是等差数列的性质？（）（4分）A.相邻项之差为常数B.中位数等于平均数C.前n项和为S_n=na1+a_n/2D.任意项a_n=a1+n-1dE.数列图像是直线【答案】A、C、D【解析】等差数列的性质包括相邻项之差为常数、前n项和公式和任意项公式中位数不一定等于平均数，图像是直线是特例

3.以下哪些是函数的常见表示法？（）（4分）A.解析法B.列表法C.图像法D.文字法E.隐函数【答案】A、B、C、D【解析】函数的常见表示法包括解析法、列表法、图像法和文字法隐函数是解析法的一种

4.以下哪些是三角函数的基本性质？（）（4分）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.有界性E.对称性【答案】A、B、D【解析】三角函数的基本性质包括周期性、奇偶性和有界性单调性和对称性不是基本性质

5.以下哪些是向量的运算性质？（）（4分）A.加法交换律B.加法结合律C.数乘分配律D.数乘结合律E.加法逆元【答案】A、B、C、D、E【解析】向量的运算性质包括加法交换律、结合律、数乘分配律、结合律和加法逆元

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若fx=x^2-4x+3，则f2的值是______（4分）【答案】-1【解析】f2=2^2-4×2+3=-

12.若集合A={x|-1x3}，B={x|x1}，则A∪B=______（4分）【答案】{x|x-1}【解析】A和B的并集是所有属于A或B的元素，即{x|x-1}

3.若向量a=3,4，向量b=1,2，则a·b=______（4分）【答案】11【解析】向量a和b的数量积是3×1+4×2=

114.若sinθ=1/2，且θ在第二象限，则cosθ=______（4分）【答案】-√3/2【解析】sinθ=1/2，θ在第二象限，cosθ=-√3/

25.若等差数列的首项是1，公差是2，则第10项a_{10}=______（4分）【答案】19【解析】a_{10}=1+10-1×2=19

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，和是有理数

2.函数y=|x|是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】|x|关于y轴对称，是偶函数

3.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如-1-2，但-1^2=14=-2^

24.任意三角形的内角和都是180°（）（2分）【答案】（×）【解析】只有平面三角形的内角和是180°，球面三角形的内角和大于180°

5.若直线l1y=k1x+b1与直线l2y=k2x+b2垂直，则k1k2=-1（）（2分）【答案】（×）【解析】只有当k1k2=-1且b1≠b2时，l1和l2垂直

五、简答题（每题5分，共15分）

1.请简述等差数列的前n项和公式及其推导过程（5分）【答案】等差数列的前n项和公式为S_n=na1+a_n/2推导过程设等差数列的首项为a1，公差为d，则前n项为a1,a1+d,a1+2d,...,a1+n-1d将前n项和记为S_n，则有S_n=a1+a1+d+a1+2d+...+[a1+n-1d]将上式倒序相加，得到2S_n=[a1+a1+n-1d]+[a1+d+a1+n-2d]+...+[a1+n-1d+a1]即2S_n=n2a1+n-1d所以S_n=na1+a_n/

22.请简述三角函数sinθ,cosθ,tanθ的定义（5分）【答案】在直角三角形中，设角θ的对边为a，邻边为b，斜边为csinθ=a/c，即对边与斜边的比值cosθ=b/c，即邻边与斜边的比值tanθ=a/b，即对边与邻边的比值

3.请简述函数单调性的定义（5分）【答案】函数单调性是指函数在某个区间内随着自变量的增大或减小，函数值的变化趋势具体定义若对于区间I内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，总有fx1≤fx2，则称函数fx在区间I上单调递增若对于区间I内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，总有fx1≥fx2，则称函数fx在区间I上单调递减

六、分析题（每题10分，共20分）

1.请分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值（10分）【答案】首先求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，解得x=-1和x=1将数轴分为三段-∞,-1,-1,1,1,+∞在-∞,-1上，fx0，函数单调递增在-1,1上，fx0，函数单调递减在1,+∞上，fx0，函数单调递增所以x=-1是极大值点，x=1是极小值点极大值f-1=-1^3-3×-1+2=4极小值f1=1^3-3×1+2=

02.请分析直线l12x+y-4=0与直线l2x-2y+3=0的位置关系（10分）【答案】首先求两条直线的斜率l12x+y-4=0，即y=-2x+4，斜率k1=-2l2x-2y+3=0，即y=1/2x+3/2，斜率k2=1/2因为k1≠k2，所以两条直线相交求交点联立方程组2x+y-4=0，x-2y+3=0解得x=1，y=2所以交点为1,2

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，请画出函数的图像，并分析其性质（25分）【答案】首先分段讨论函数表达式当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1所以函数可以表示为fx={-2x-1,x-2,3,-2≤x≤1,2x+1,x1}图像在x=-2处，f-2=3在x=1处，f1=3图像由三段直线组成x-2时，斜率为-2的直线-2≤x≤1时，水平线y=3x1时，斜率为2的直线性质函数是偶函数，关于x=-1对称函数在x=-1处取得最小值，最小值为f-1=3

八、标准答案及解析

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.B

6.C

7.A

8.A

9.A

10.D

11.C

12.C

13.A

14.A

15.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D

3.A、B、C、D

4.A、B、D

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.-

12.{x|x-1}

3.

114.-√3/

25.19

四、判断题

1.×

2.×

3.×

4.×

5.×

五、简答题

1.等差数列的前n项和公式为S_n=na1+a_n/2，推导过程见答案

2.sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边

3.函数单调性是指函数在某个区间内随着自变量的增大或减小，函数值的变化趋势单调递增时，x1x2对应fx1≤fx2；单调递减时，x1x2对应fx1≥fx2

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值见答案

2.直线l12x+y-4=0与直线l2x-2y+3=0的位置关系见答案

七、综合应用题

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的性质见答案。