川大数学拔尖选拔笔试试题及答案

川大数学拔尖选拔笔试试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列数中，最接近π的是（）（2分）A.

3.14B.

3.14159C.

3.1415926D.

3.1416【答案】C【解析】π的近似值是

3.1415926，C选项最接近

2.函数fx=x^2-2x+3的顶点坐标是（）（2分）A.1,2B.1,3C.2,1D.2,3【答案】B【解析】顶点坐标公式为-b/2a,f-b/2a，代入a=1,b=-2得1,

33.下列方程中，不是一元二次方程的是（）（2分）A.x^2-4x+4=0B.2x^2+3x=5C.x^3-x^2+x=1D.x^2=9【答案】C【解析】一元二次方程的最高次项为x^2，C选项最高次为x^

34.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的公共元素为2和

35.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.fx=-xB.fx=x^2C.fx=1/xD.fx=logx【答案】D【解析】对数函数在其定义域内单调递增

6.若sinθ=1/2，且θ为锐角，则θ的值为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】sin30°=1/

27.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.3^22^3B.2^33^2C.3^32^4D.2^43^3【答案】B【解析】89错误，1627错误，1627错误，1627错误

8.若向量a=1,2，b=3,4，则a+b等于（）（2分）A.4,6B.2,6C.6,4D.6,2【答案】A【解析】向量加法对应分量相加1+3,2+

49.下列数列中，是等差数列的是（）（2分）A.1,3,5,7B.1,4,9,16C.1,1,2,3D.2,4,8,16【答案】A【解析】等差数列相邻项差为常数，A选项差为

210.下列图形中，不是轴对称图形的是（）（2分）A.等腰三角形B.正方形C.圆D.等腰梯形【答案】D【解析】等腰梯形不是轴对称图形

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是三角函数的基本性质？（）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.有界性【答案】A、B、C、D【解析】三角函数具有周期性、奇偶性、单调性和有界性

2.以下哪些不等式成立？（）A.|x|1B.x^2+x+10C.1/x0D.sin^2θ+cos^2θ=1【答案】A、B、D【解析】|x|1即-1x1，x^2+x+1判别式Δ0恒大于0，1/x0要求x0，sin^2θ+cos^2θ=1恒成立

3.以下哪些是向量运算的法则？（）A.交换律B.结合律C.分配律D.消去律【答案】A、B、C【解析】向量运算满足交换律、结合律和分配律，不满足消去律

4.以下哪些是常见函数类型？（）A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数【答案】A、B、C、D【解析】常见函数包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数

5.以下哪些数列是等比数列？（）A.1,2,4,8B.1,1,1,1C.2,4,8,16D.1,-1,1,-1【答案】A、C【解析】等比数列相邻项比为常数，A和C选项满足，B为常数列，D为摆动数列

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若fx=2x+1，则f2=______（4分）【答案】5【解析】f2=2×2+1=

52.方程x^2-5x+6=0的解为______和______（4分）【答案】2，3【解析】因式分解得x-2x-3=

03.集合A={x|x0}与集合B={x|x0}的交集为______（4分）【答案】∅【解析】A和B没有公共元素

4.函数fx=|x|在x=0处的导数为______（4分）【答案】不存在【解析】左右导数不相等

5.向量a=3,0与向量b=0,4的夹角为______（4分）【答案】90°【解析】垂直向量夹角为90°

6.等差数列1,4,7,...的第10项为______（4分）【答案】31【解析】a_n=a_1+n-1d，a_10=1+10-1×3=

317.若sinα=1/2且α为锐角，则cosα=______（4分）【答案】√3/2【解析】sin^2α+cos^2α=1，cosα=√1-sin^2α=√1-1/4=√3/

28.函数fx=x^3在x=2处的二阶导数为______（4分）【答案】12【解析】fx=6x，f2=12

四、判断题（每题2分，共10分）

1.所有实数的平方都是正数（）（2分）【答案】（×）【解析】0的平方是

02.两个奇数的和一定是偶数（）（2分）【答案】（√）【解析】奇数+奇数=偶数

3.若A⊆B，则B⊆A（）（2分）【答案】（×）【解析】子集关系不成立

4.对任意实数x，x^2≥0恒成立（）（2分）【答案】（√）【解析】平方数非负

5.若fx是偶函数，则其图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数fx=f-x

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列定义从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数通项公式a_n=a_1+n-1d，其中a_1为首项，d为公差

2.解释什么是函数的奇偶性（5分）【答案】函数奇偶性奇函数f-x=-fx，图像关于原点对称；偶函数f-x=fx，图像关于y轴对称

3.简述向量线性运算的性质（5分）【答案】向量线性运算性质

①加法交换律a+b=b+a

②加法结合律a+b+c=a+b+c

③零向量a+0=a

④负向量a+-a=0

⑤数乘结合律λμa=λμa

⑥数乘分配律λa+b=λa+λb，λ+μa=λa+μa

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x+2，求fx的极值点（10分）【答案】求导fx=3x^2-3令fx=0得3x^2-1=0，解得x=±1当x1时fx0，x1时fx0，x=1时fx=0极值点为x=1（极小值），x=-1（极大值）

2.设向量a=1,2，b=3,4，求向量a与b的夹角θ（10分）【答案】向量夹角公式cosθ=a·b/|a||b|a·b=1×3+2×4=11|a|=√1^2+2^2=√5|b|=√3^2+4^2=5cosθ=11/√5×5=11/5√5θ=arccos11/5√5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的单调区间（25分）【答案】求导fx=3x^2-6x+2求判别式Δ=-6^2-4×3×2=12令fx=0得x=6±√12/6=1±√3/3当x1-√3/3时fx0，1-√3/3x1+√3/3时fx0，x1+√3/3时fx0单调增区间−∞,1-√3/3∪1+√3/3,+∞单调减区间1-√3/3,1+√3/

32.设函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（25分）【答案】分段函数x-2时fx=-x-1-x+2=-2x-1-2≤x≤1时fx=-x-1+x+2=3x1时fx=x-1+x+2=2x+1最小值出现在x=-2处，此时fx=3。