工程数学本科基础试题及参考答案

工程数学本科基础试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx在点x0处可导，且fx0=2，则当x→x0时，fx的线性主部是（）A.2xB.2x+x0C.2x0D.2x0x【答案】A【解析】fx在x0处的线性主部为fx0x-x0，即2x-x0，化简后为2x

2.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞n/2^nB.∑n=1to∞1/nC.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞n^2/n!【答案】D【解析】D项为比值测试的收敛级数，因limn→∞n^2/n!/n+1^2/n+1!=limn→∞n+1/n+1^2=

03.设向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a与b的向量积为（）A.1,2,3×4,5,6B.6,6,6C.0,0,0D.3,2,1【答案】A【解析】a×b=2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4=-3,-6,-

34.设A为3阶矩阵，|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式为（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】|A|=|A|^2=2^2=

45.方程x^2+4x+4=0的根为（）A.2B.-2C.2,-2D.无解【答案】A【解析】因x+2^2=0，故x=-2（重根）

6.函数y=lnx+1在x=0处的泰勒展开式中x^3的系数为（）A.1/3B.1/6C.1/9D.1/12【答案】B【解析】y=1/x+1,y=-1/x+1^2,y=-2/x+1^3，故x^3系数为1/

67.微分方程y-2y=0的通解为（）A.y=Ce^2xB.y=Ce^-2xC.y=Ce^xD.y=Ce^0x【答案】A【解析】特征方程r-2=0，解得r=2，通解为Ce^2x

8.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，若A与B互斥，则PA∪B为（）A.

0.6B.

0.7C.

0.1D.

1.3【答案】A【解析】因A与B互斥，PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.7=

1.3（但概率≤1，故需修正为PA+PB-PA∩B，因互斥PA∩B=0，则PA∪B=

1.3，但实际概率需≤1，此处需改为PA∪B=maxPA,PB=

0.7，因PA+PB=

1.31，需重新定义互斥条件）

9.设函数fx在[a,b]上连续，且fx0，则∫[a,b]√fxdx的几何意义为（）A.以fx为高，[a,b]为底的矩形面积B.以fx为高，[a,b]为底的梯形面积C.以√fx为高，[a,b]为底的曲边梯形面积D.以fx为高，[a,b]为底的曲边梯形面积【答案】D【解析】√fx为被积函数，表示以fx为曲边的高

10.设z=fx,y在点x0,y0处可微，且fx0,y0=2,f_xx0,y0=1,f_yx0,y0=-1，则当x,y→x0,y0时，fx,y-fx0,y0的线性主部为（）A.x-yB.x+yC.x-y+2D.x-y-2【答案】A【解析】线性主部为f_xx0,y0x-x0+f_yx0,y0y-y0=1x-x0-1y-y0=x-y

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题正确的有（）A.若数列{an}有界，则{an}收敛B.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值C.若函数fx在x0处可导，则fx在x0处连续D.若级数∑an收敛，则级数∑|an|也收敛【答案】B、C【解析】A项错，有界不一定收敛（如1,-1循环）；D项错，绝对收敛才收敛（如-1^n/n）

2.下列向量组中，线性无关的有（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】单位向量组线性无关，D项为全1向量组，线性相关

3.下列方程中，可化为一阶线性微分方程的有（）A.y+y=xB.y-2y=3x^2C.y=yD.y=y^2+x【答案】B【解析】A可降阶，C为二阶常系数，D为Bernoulli方程

4.下列说法正确的有（）A.若事件A与B相互独立，则PA|B=PAB.若事件A与B互斥，则PA|B=0C.若PA=PB=

0.5，则PA∪B=1D.若事件A与B互斥，则A与B不可能同时发生【答案】A、B、D【解析】C项错，PA∪B=PA+PB-PA∩B=1-0=1（若互斥）

5.下列级数中，条件收敛的有（）A.∑-1^n/nB.∑1/n^2C.∑-1^n/n^2D.∑-1^n/n^3【答案】A、C【解析】A项条件收敛，B、D项绝对收敛

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x^2+ax+1在x=1处的切线斜率为4，则a=______【答案】2【解析】fx=2x+a，f1=2+a=4，故a=

22.级数∑n=1to∞-1^n+1/n!的和为______【答案】e^-1【解析】为e^x在x=-1处的泰勒展开

3.设向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a与b的夹角余弦值为______【答案】

0.9747【解析】cosθ=a·b/|a||b|=30/√14×√77≈

0.

97474.微分方程y-y-2y=0的通解为______【答案】Ce^2x+De^-x【解析】特征方程r^2-r-2=0，解得r=2,-

15.设事件A的概率PA=

0.4，事件B的概率PB=

0.5，且PA∪B=

0.7，则PA|B=______【答案】

0.8【解析】PA|B=PA∪B-PA/PB=

0.7-

0.4/

0.5=

0.8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在[0,1]无界

2.若向量组{a1,a2,a3}线性无关，则{a1,a2,a3,a4}也线性无关（）【答案】（×）【解析】增加向量可能线性相关

3.若级数∑an收敛，则级数∑an^2也收敛（）【答案】（×）【解析】如an=-1^n/n，an^2发散

4.若事件A与B互斥，则PA|B=0（）【答案】（√）【解析】互斥即A∩B=∅，故PA|B=

05.若函数fx在x0处可导，则fx在x0处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述向量积的定义及其几何意义【答案】向量积a×b是与a、b垂直的向量，模为|a||b|sinθ，方向符合右手法则几何意义是a、b张成的平行四边形的面积

2.简述泰勒级数的收敛半径的求法【答案】对fx求n阶导数f^nx0，收敛半径R=limn→∞|f^nx0/f^n+1x0|^1/n

3.简述线性相关与线性无关的定义【答案】向量组{a1,a2,...,an}线性相关指存在不全为0的系数使∑ciai=0；线性无关则只有全为0的系数使∑ciai=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=e^x在x=0处的高阶导数性质【答案】fx在x=0处的泰勒展开为∑n=0to∞x^n/n!，所有阶导数f^n0=n!，故高阶导数在x=0处连续且增长迅速

2.分析随机变量X与Y独立的定义及其意义【答案】X与Y独立指PX=x,Y=y=PX=xPY=y，意义是X取值不影响Y取值，联合分布可分解为边缘分布乘积

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其单调区间、极值点及拐点【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，fx=6x-6，f0=-60（极大），f2=60（极小），拐点在fx=0处，即x=1，拐点为1,-

22.已知向量a=1,2,3，b=4,5,6，求向量a与b的投影向量及投影长度【答案】投影向量a_∥b=a·b/|b|^2b=30/774,5,6，投影长度|a_∥b|=|a·b/|b||=30/√77≈

3.40。