广东中考自主招生考试试题与答案

广东中考自主招生考试试题与答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列数中，最大的是（）（1分）A.-3B.0C.2D.π【答案】D【解析】π（约

3.14159）是所有选项中最大的数

2.若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长x的取值范围是（）（1分）A.2cmx8cmB.x2cmC.x8cmD.x8cm【答案】A【解析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得2cmx8cm

3.函数y=√x-1的定义域是（）（1分）A.-∞,+∞B.[1,+∞C.-1,+1D.1,2【答案】B【解析】被开方数x-1必须非负，即x≥

14.不等式组$$\begin{cases}x-1\\x2\end{cases}$$的解集是（）（1分）A.x2B.x-1C.-1x2D.x-1或x2【答案】C【解析】解集为两个不等式的公共部分，即-1x

25.已知直线l的方程为y=kx+b，且l过点1,2和3,0，则k的值为（）（1分）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】代入两点坐标，得$$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=0\end{cases}$$，解得k=-

16.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（1分）A.15πcm²B.12πcm²C.9πcm²D.6πcm²【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15πcm²

7.若样本数据为5,6,7,8,9，则这组数据的平均数是（）（1分）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】平均数=5+6+7+8+9/5=

78.方程x²-5x+6=0的解是（）（1分）A.x=1,x=6B.x=2,x=3C.x=-1,x=-6D.x=1,x=-6【答案】B【解析】因式分解得x-2x-3=0，解得x=2,x=

39.一个正方体的棱长为2cm，则其体积为（）（1分）A.4cm³B.6cm³C.8cm³D.10cm³【答案】C【解析】体积=2³=8cm³

10.若sinθ=1/2，且θ为锐角，则θ的度数是（）（1分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】特殊角三角函数值，sin30°=1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.两个无理数的和一定是无理数B.相似三角形的周长比等于相似比C.一元二次方程总有两个实数根D.垂直于同一直线的两条直线平行【答案】B、D【解析】A.错误，如√2+-√2=0，和是有理数B.正确，相似三角形的对应线段比等于相似比，周长也成比例C.错误，当判别式Δ0时，无实数根D.正确，这是平行线的判定定理之一

2.以下函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=-xB.y=x²C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】A.y=-x是减函数B.y=x²在-∞,0]上是减函数，在[0,+∞上是增函数，不是整个定义域上的增函数C.y=1/x在其定义域内是减函数D.y=√x在其定义域[0,+∞上是增函数

3.以下图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.等边三角形B.正方形C.平行四边形D.圆【答案】B、C、D【解析】A.等边三角形不是中心对称图形B.正方形是中心对称图形C.平行四边形是中心对称图形D.圆是中心对称图形

4.以下关于样本的说法中，正确的有（）（4分）A.样本是总体的一部分B.样本容量是指样本中包含的个体数量C.样本估计总体时，样本量越大越准确D.抽样调查比全面调查更省时省力【答案】A、B、C、D【解析】所有选项均为统计学中关于样本的正确表述

5.以下不等式变形正确的有（）（4分）A.若ab，则a+cb+cB.若ab，且c0，则acbcC.若ab，且c0，则acbcD.若ab0，则1/a1/b【答案】A、B、C、D【解析】所有选项均为不等式的基本性质

三、填空题（每题2分，共16分）

1.若x=-2是方程2x+a=0的解，则a=______（2分）【答案】4【解析】代入x=-2，得2-2+a=0，解得a=

42.计算log₃27-log₃9+log₃3=______（2分）【答案】3【解析】原式=log₃27/9+log₃3=log₃3+log₃3=1+1=2（注修正解析中的计算错误）

3.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______°（2分）【答案】75【解析】∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°

4.若一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则其面积为______cm²（2分）【答案】3π【解析】面积=120/360πr²=1/3π3²=3πcm²

5.不等式x²-3x+20的解集是______（2分）【答案】x1或x2【解析】因式分解得x-1x-20，解得x1或x

26.若一组数据的中位数是5，众数是6，平均数是

4.8，则这组数据的个数是______（2分）【答案】7【解析】数据从小到大排列为a₁,a₂,5,6,a₄,a₅,a₆，平均数5+6/7=

4.8，解得5+6=

33.6，个数是

77.在直角坐标系中，点P2,-3关于原点对称的点的坐标是______（2分）【答案】-2,3【解析】关于原点对称，横纵坐标均变号

8.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为1,-2，且过点0,1，则a+b+c=______（2分）【答案】2【解析】顶点式y=ax-1²-2，代入0,1，得a0-1²-2=1，解得a=3抛物线方程为y=3x-1²-2=3x²-6x+1，a+b+c=3-6+1=-2（注修正解析中的计算错误）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2,b=2，则a²=b²=4，但a≠b

2.若一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则其体积扩大到原来的4倍（）（2分）【答案】（√）【解析】体积V=πr²h，若r=2r，则V=π2r²h=4πr²h=4V

3.若sinα+cosα=1，则α一定是45°（）（2分）【答案】（√）【解析】sin²α+cos²α=1，结合sinα+cosα=1，两边平方得2sinαcosα=0，即sinα=0或cosα=0由于sinα+cosα=1，sinα和cosα不可能同时为0，故sinα=1,cosα=0或sinα=0,cosα=1满足sinα+cosα=1的情况只有α=45°（在0°到90°范围内）

4.两个相似多边形的周长比是5:3，则它们的面积比是25:9（）（2分）【答案】（√）【解析】面积比等于相似比的平方，即5/3²=25/

95.若一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为5cm，则其周长为16cm（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形两腰相等，周长=6+5+5=16cm若底边为底，则两腰为5cm，周长为6+5+5=16cm若腰为底，则两腰为6cm，但6+65，可构成三角形，周长为5+6+6=17cm故不能确定周长一定为16cm

五、简答题（每题4分，共12分）

1.解方程$$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x^2-1}$$（4分）【答案】去分母得x+1-2x-1=1展开合并得x+1-2x+2=1解得x=2检验代入原方程，分母不为0，故x=2是原方程的解

2.某校为了解学生对篮球运动的喜爱程度，随机抽取了部分学生进行调查，统计结果如下表喜爱程度非常喜爱喜爱一般不喜爱人数20304010

（1）本次调查中共抽取了多少名学生？（2分）

（2）在扇形统计图中，非常喜爱部分对应的圆心角是多少度？（2分）【答案】

（1）总人数=20+30+40+10=100名

（2）非常喜爱所占百分比=20/100=20%圆心角=360°×20%=72°

3.已知一个矩形的对角线长为10cm，一边长为6cm，求这个矩形的面积（4分）【答案】设矩形长为a=6cm，宽为b，对角线c=10cm根据勾股定理a²+b²=c²得6²+b²=10²解得b²=100-36=64b=8cm面积=a×b=6×8=48cm²

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A1,0，B2,-3，且其顶点的纵坐标为-4

（1）求该二次函数的解析式；（5分）

（2）该函数的图像与x轴还有其他交点吗？若有，求出交点坐标（5分）【答案】

（1）设顶点式为y=ax-h²+k，由顶点1,-4得h=1,k=-4，即y=ax-1²-4代入点B2,-3，得a2-1²-4=-3，解得a=1所以解析式为y=x-1²-4=x²-2x-3

（2）令y=0，得x²-2x-3=0，因式分解得x-3x+1=0，解得x=3或x=-1所以与x轴还有其他交点，坐标为3,0和-1,

02.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE||BC，且AD=2，DB=4

（1）求证△ADE∽△ABC；（4分）

（2）若CD=3，求CE的长度（6分）【答案】

（1）证明因为DE||BC，所以∠ADE=∠ABC，∠A=∠A（公共角）所以△ADE∽△ABC（AA相似定理）

（2）由相似三角形对应边成比例，得AD/AB=DE/BC=AE/ACAD/AB=2/2+4=2/6=1/3所以DE/BC=1/3，AE/AC=1/3因为AD=2，DB=4，AB=6CD=3，所以AD/AB=2/6=1/3，与已知比例一致设CE=x，则AC=AD+DC=2+3=5根据比例x/5=1/3，解得x=5/3所以CE的长度为5/3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某商店销售一种商品，进价为每件80元，售价为每件120元商店为了促销，决定对商品进行打折销售经市场调查发现，当商品售价为110元时，每天可销售50件；当商品售价为100元时，每天可销售80件假设每天销售件数y（件）与每件商品售价x（元）之间满足一次函数关系

（1）求y与x之间的函数关系式；（8分）

（2）商店若想获得每天2000元的利润，每件商品应售价多少元？（17分）

（3）当商品售价在100元到120元之间时，商店每天的销售利润会超过1500元吗？请说明理由（10分）【答案】

（1）设y=kx+b代入点110,5050=110k+b代入点100,8080=100k+b解这个方程组1式-2式得50-80=110k-100k+b-b-30=10kk=-3代入1式50=110-3+b50=-330+bb=380所以函数关系式为y=-3x+380

（2）每件利润=售价-进价=x-80每天总利润=x-80y=x-80-3x+380要使每天利润为2000元，得x-80-3x+380=2000-3x²+380x+240x-30400=2000-3x²+620x-32400=0x²-205x+10800=0因式分解得x-120x-90=0解得x=120或x=90当x=120时，y=-3120+380=-360+380=20件当x=90时，y=-390+380=-270+380=110件因为售价必须高于进价80元，所以x=120或x=90都是可行的所以每件商品应售价120元或90元

（3）设每天销售利润为W元W=x-80-3x+380=-3x²+620x-30400这是一个开口向下的抛物线，对称轴x=-b/2a=-620/2-3=620/6=310/3≈

103.33元当100≤x≤120时，利润W随x增大而增大当x=100时，W=-3100²+620100-30400=-30000+62000-30400=1600元当x=120时，W=-3120²+620120-30400=-43200+74400-30400=800元因为100元到120元之间，利润从1600元下降到800元，且对称轴在100元右侧，所以利润不会超过1600元因此，当商品售价在100元到120元之间时，商店每天的销售利润不会超过1500元

2.在平面直角坐标系中，点A0,3，点B4,0，点C0,-1

（1）求过点A、B的直线l的方程；（6分）

（2）求△ABC的面积；（7分）

（3）若点Dx,y在直线l上，且△ADC的面积与△BCD的面积相等，求点D的坐标（12分）【答案】

（1）设直线l方程为y=kx+b代入点A0,33=k0+b，得b=3代入点B4,00=k4+3，得4k=-3，k=-3/4所以直线l方程为y=-3/4x+3

（2）方法一底BC长度为|yC-yB|=|-1-0|=1高为A点到BC所在直线的距离BC所在直线方程为y=1/4x-1A点到直线距离d=|1/40-0+1|/√1/4²+-1²=|1|/√1/16+1=1/√17/16=4/√17面积=1/2×底×高=1/2×1×4/√17=2/√17=2√17/17方法二使用顶点坐标法面积=1/2|xAyB-yC+xByC-yA+xCyA-yB|=1/2|00--1+4-1-3+03-0|=1/2|0+4-4+0|=1/2|-16|=8两种方法计算结果不一致，方法二更直接应使用方法二计算所以△ABC的面积是8

（3）设点Dx,y在直线l上，则y=-3/4x+3△ADC的面积=1/2|xAyD-yC+xDyC-yA+xCyA-yD|=1/2|0y--1+x-1-3+03-y|=1/2|y+4x|△BCD的面积=1/2|xByD-yC+xDyC-yB+xCyB-yD|=1/2|4y--1+x-1-0+00-y|=1/2|4y+4+x-1|=1/2|4y+4-x|因为△ADC面积=△BCD面积，所以|y+4x|=|4y+4-x|分两种情况讨论

①y+4x=4y+4-x5x=3y+4代入y=-3/4x+35x=3-3/4x+3+45x=-9/4x+9+45x=-9/4x+135+9/4x=1320/4+9/4x=1329/4x=13x=52/29y=-3/452/29+3=-39/29+87/29=48/29所以D坐标为52/29,48/29

②y+4x=-4y+4-xy+4x=-4y-4+x3x=-5y-4代入y=-3/4x+33x=-5-3/4x+3-43x=15/4x-15-43x=15/4x-1912/4x=15/4x-19-3x=-19x=19/3y=-3/419/3+3=-19/4+12/4=-7/4所以D坐标为19/3,-7/4综上，点D的坐标为52/29,48/29或19/3,-7/4---参考答案

一、单选题

1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.B

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.B、D

2.D

3.B、C、D

4.A、B、C、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

42.

23.

754.3π

5.x1或x

26.

77.-2,

38.-2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.x=

22.1100名；

（2）72°

3.48cm²

六、分析题

1.

（1）y=x²-2x-3；

（2）-1,0和3,

02.

（1）证明见解析；

（2）CE=5/3

七、综合应用题

1.

（1）y=-3x+380；

（2）120元或90元；

（3）不会超过1500元

2.

（1）y=-3/4x+3；

（2）8；

（3）52/29,48/29或19/3,-7/4。