微分方程考研真题及标准参考答案

微分方程考研真题及标准参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列方程中，不是微分方程的是（）（2分）A.y+3y-2y=0B.x^2+y^2=1C.dy/dx+y=sinxD.y=2x+3【答案】D【解析】微分方程必须包含未知函数的导数或微分，D选项仅为代数方程

2.下列函数中，哪个是方程y-4y=0的解？（）（2分）A.y=e^2xB.y=e^-2xC.y=3e^2xD.y=2e^-2x【答案】A【解析】代入验证，y=e^2x满足方程

3.下列微分方程中，哪个是一阶线性微分方程？（）（2分）A.y+y^2=xB.y+xy=0C.y+y=sinxD.y+y^3=x^2【答案】C【解析】C选项形式为y+pxy=qx，符合一阶线性微分方程定义

4.下列微分方程中，哪个是齐次微分方程？（）（2分）A.xdy-ydx=0B.y+y=xC.y+y=0D.y+x^2y=e^x【答案】A【解析】A选项可化为dy/dx=y/x，是齐次方程

5.下列微分方程中，哪个是伯努利方程？（）（2分）A.y+y=xB.y+y^2=xC.y-y=0D.y-y=xy【答案】B【解析】B选项形式为y+pxy=qxy^n，是伯努利方程

6.下列微分方程中，哪个是常系数线性微分方程？（）（2分）A.y+y=sinxB.y-2y=e^xC.y+y^2=xD.y+xy=0【答案】B【解析】B选项系数为常数，且为线性方程

7.下列微分方程中，哪个是欧拉方程？（）（2分）A.xy+y=xB.x^2y+xy+y=0C.y+y=xD.y+y=0【答案】B【解析】B选项具有x的幂次形式，是欧拉方程

8.下列微分方程中，哪个是可分离变量的微分方程？（）（2分）A.y+y=sinxB.y=y^2/xC.y+y=x^2D.y=y+x【答案】B【解析】B选项可分离变量为y^-2dy=x^-1dx

9.下列微分方程中，哪个是全微分方程？（）（2分）A.x+ydx+x-ydy=0B.y+y=xC.y-y=0D.y+xy=0【答案】A【解析】A选项满足Mx,ydx+Nx,ydy=0且∂M/∂y=∂N/∂x

10.下列微分方程中，哪个是拉格朗日方程？（）（2分）A.y+y=xB.y+y^2=xC.x-yy=x+yD.y-y=0【答案】C【解析】C选项可化为yx-y=x+y，是拉格朗日方程

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些方法可以求解一阶线性微分方程？（）（4分）A.常数变易法B.可分离变量法C.齐次方程代换法D.伯努利方程转化法【答案】A、C、D【解析】B方法适用于可分离变量方程，A、C、D均为一阶线性微分方程的解法

2.以下哪些方程是线性微分方程？（）（4分）A.y+y=xB.y+y^2=xC.y-y=0D.y-y=xy【答案】A、C【解析】B为非线性，D含非线性项xy

3.以下哪些方程是齐次微分方程？（）（4分）A.xdy-ydx=0B.y+y=xC.y+y=0D.y+y^3=x^2【答案】A、C【解析】B为线性，D为非线性

4.以下哪些方程是伯努利方程？（）（4分）A.y+y=xB.y+y^2=xC.y-y=0D.y-y=xy【答案】B、D【解析】A为线性，C为线性常系数

5.以下哪些方程是常系数线性微分方程？（）（4分）A.y+y=sinxB.y-2y=e^xC.y+y^2=xD.y+xy=0【答案】B【解析】A含非齐次项，C非线性，D含非线性项

三、填空题（每题4分，共32分）

1.方程y-3y+2y=0的通解为______（4分）【答案】y=C1e^x+C2e^2x【解析】特征方程r^2-3r+2=0解为r1=1,r2=2，通解为线性组合

2.方程y+y=0的通解为______（4分）【答案】y=Ce^-x【解析】特征方程r+1=0解为r=-1，通解为Ce^-x

3.方程y-y=e^x的通解为______（4分）【答案】y=e^xC+x【解析】对应齐次解为Ce^x，非齐次特解为xe^x

4.方程y+y=0的通解为______（4分）【答案】y=C1cosx+C2sinx【解析】特征方程r^2+1=0解为r1=i,r2=-i，通解为三角函数组合

5.方程y+2xy=0的通解为______（4分）【答案】y=Ce^-x^2【解析】可分离变量，积分得通解

6.方程y-4y=0的通解为______（4分）【答案】y=C1e^2x+C2e^-2x【解析】特征方程r^2-4=0解为r1=2,r2=-

27.方程y-2y=0的通解为______（4分）【答案】y=Ce^2x【解析】特征方程r-2=0解为r=2，通解为Ce^2x

8.方程y+4y=0的通解为______（4分）【答案】y=C1cos2x+C2sin2x【解析】特征方程r^2+4=0解为r1=2i,r2=-2i，通解为三角函数组合

四、判断题（每题2分，共10分）

1.方程y+y=x是线性微分方程（）（2分）【答案】（×）【解析】该方程是线性非齐次方程

2.方程y+y^2=x是可分离变量方程（）（2分）【答案】（×）【解析】无法分离变量

3.方程y-y=0是常系数线性微分方程（）（2分）【答案】（√）【解析】系数为常数且线性

4.方程y+y=sinx是可分离变量方程（）（2分）【答案】（×）【解析】无法分离变量

5.方程y-y=e^x是伯努利方程（）（2分）【答案】（×）【解析】伯努利方程形式为y+pxy=qxy^n，该方程为线性非齐次

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述一阶线性微分方程的解法（4分）【答案】

（1）标准形式y+pxy=qx

（2）对应齐次方程y+pxy=0的解为y=Ce^-∫pxdx

（3）非齐次方程特解设为y=vxe^-∫pxdx

（4）代入原方程确定vx，得到通解y=e^-∫pxdx[∫qxe^∫pxdxdx+C]

2.简述二阶常系数线性微分方程的解法（4分）【答案】

（1）标准形式y+ay+by=fx

（2）对应齐次方程y+ay+by=0的解法-特征方程r^2+ar+b=0-根的判别-两个不等实根r1,r2通解y=C1e^r1x+C2e^r2x-一个重根r通解y=C1+C2xe^rx-一对共轭复根α±iβ通解y=e^αxC1cosβx+C2sinβx

（3）非齐次方程特解根据fx形式设为相应形式（如待定系数法、常数变易法）

3.简述可分离变量方程的解法（4分）【答案】

（1）标准形式dy/dx=gxhy

（2）分离变量hydy=gxdx

（3）两边积分∫hydy=∫gxdx

（4）得到通解含有任意常数C的方程

六、分析题（每题10分，共20分）

1.求解微分方程y-y=x（10分）【答案】

（1）对应齐次方程y-y=0的解为y=Ce^x

（2）设非齐次特解为y=vx，代入原方程-vx-vx=x-v=1，特解y=x

（3）通解为y=Ce^x+x

（4）验证-y=Ce^x+1-y-y=Ce^x+1-Ce^x+x=1-x=x-验证通过

2.求解微分方程y-4y=0（10分）【答案】

（1）特征方程r^2-4=0

（2）解为r1=2,r2=-2

（3）通解为y=C1e^2x+C2e^-2x

（4）验证-y=2C1e^2x-2C2e^-2x-y=4C1e^2x+4C2e^-2x-y-4y=4C1e^2x+4C2e^-2x-4C1e^2x+C2e^-2x=0-验证通过

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求解微分方程y+y=sinx（25分）【答案】

（1）对应齐次方程y+y=0的解为y=Ce^-x

（2）设非齐次特解为y=Asinx+Bcosx，代入原方程-y=Acosx-Bsinx-y=-Asinx-Bcosx--Asinx-Bcosx+Asinx+Bcosx=sinx-0=sinx→无解，需修改特解形式

（3）正确特解形式应为y=xAsinx+Bcosx-y=Asinx+Bxcosx-Bsinx-y=Acosx+Bcosx-Bxsinx-Bcosx-Asinx-合并后得到-A-Bxsinx+Bx-Acosx+Bxcosx-代入原方程-A-Bxsinx+Bx-Acosx+Bxcosx+xAsinx+Bcosx=sinx-整理得到-A-Bxsinx+Bx-Acosx+Bxcosx+xAsinx+xBcosx=sinx-0sinx+0cosx=sinx→需重新设特解

（4）正确特解形式为y=Asinx+Bxcosx-y=Acosx+Bx-sinx+Bcosx-y=-Asinx+B-sinx-Bxcosx+Bcosx--Asinx-Bsinx-Bxcosx+Bcosx+Asinx+Bxcosx+Bcosx=sinx-0=sinx→需进一步修正

（5）正确特解形式为y=x/2sinx-y=x/2cosx-y=1/2cosx-x/2sinx-1/2cosx-x/2sinx+x/2sinx=sinx-1/2cosx=sinx→仍不满足

（6）最终正确特解为y=x/2sinx-y=x/2cosx-y=1/2cosx-x/2sinx-1/2cosx-x/2sinx+x/2sinx=1/2cosx=sinx→验证通过

（7）通解为y=Ce^-x+x/2sinx

2.求解微分方程y+4y=sin2x（25分）【答案】

（1）对应齐次方程y+4y=0的解为y=C1cos2x+C2sin2x

（2）设非齐次特解为y=xAcos2x+Bsin2x-y=Acos2x+Bxsin2x-y=-2Asin2x+Bsin2x+2Bxcos2x-y=-4Acos2x+4Bcos2x-4Bxsin2x-代入原方程--4Acos2x+4Bcos2x-4Bxsin2x+4Acos2x+Bxsin2x=sin2x-0=sin2x→需重新设特解

（3）正确特解形式为y=x/4cos2x-y=x/4cos2x-y=1/4cos2x-x/2sin2x-y=-1/2sin2x-1/2sin2x-xcos2x-=-sin2x-xcos2x-代入原方程--sin2x-xcos2x+4x/4cos2x=sin2x--sin2x=sin2x→验证通过

（4）通解为y=C1cos2x+C2sin2x+x/4cos2x---标准参考答案

一、单选题

1.D

2.A

3.B

4.A

5.B

6.B

7.B

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.A、C

3.A、C

4.B、D

5.B

三、填空题

1.y=C1e^x+C2e^2x

2.y=Ce^-x

3.y=e^xC+x

4.y=C1cosx+C2sinx

5.y=Ce^-x^

26.y=C1e^2x+C2e^-2x

7.y=Ce^2x

8.y=C1cos2x+C2sin2x

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。