扬州数学面试拔高题目及答案解析

扬州数学面试拔高题目及答案解析

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=1/x【答案】A【解析】y=2x+1是一次函数，斜率为正，故单调递增

2.如果等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=7，a_5=13，则S_10的值为（）（2分）A.150B.180C.210D.240【答案】C【解析】由a_3和a_5可求公差d=13-7/2=3，进而a_1=1，S_10=10×1+45×3=

2103.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=2，则边c的长度为（）（2分）A.√3B.2√2C.2√3D.4【答案】C【解析】由正弦定理a/sinA=c/sinC，得c=asinC/sinA=2sin60°/sin45°=2√

34.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由绝对值三角不等式|u+v|≥|u|+|v|，当x=1/2时取等号，最小值为

25.某校组织抽签决定参赛选手，前两名中必须包含甲选手的概率为（）（2分）A.1/3B.1/2C.2/3D.1【答案】C【解析】总情况数为6，包含甲的情况数为4，故概率为4/6=2/

36.若复数z满足z²=1，则z的模长为（）（2分）A.0B.1C.√2D.2【答案】B【解析】z=±1，模长均为

17.抛物线y²=2px（p0）的焦点到准线的距离为（）（2分）A.pB.2pC.p/2D.2p²【答案】A【解析】焦距为p，即焦点到准线距离

8.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y+1=0的对称点为（）（2分）A.1,2B.2,1C.3,0D.0,3【答案】C【解析】设对称点Bx,y，解方程组得x=3,y=

09.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）```s=1foriinrange1,5:s=s+ii```A.55B.60C.65D.70【答案】A【解析】s=1+1²+2²+3²+4²=

5510.已知圆O的半径为2，弦AB的长为2√3，则圆心O到弦AB的距离为（）（2分）A.1B.2C.√3D.√7【答案】C【解析】由勾股定理r²=OA²=OD²+AD²，得OD=√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的真子集B.若ab，则a²b²C.若fx是奇函数，则f0=0D.等比数列中，任意两项之比相等E.三角形内心到三边的距离相等【答案】C、D、E【解析】A错误（空集是任何非空集合的真子集）；B错误（a=-2b=-3时反例）；C正确（奇函数图像过原点）；D正确（等比数列定义）；E正确（内心性质）

2.关于函数fx=sinωx+φ的下列说法中，正确的有（）A.周期为2π/|ω|B.图像关于直线x=π/2对称C.当φ=π/2时，图像向左平移π/ω个单位D.最大值为1，最小值为-1E.过点0,1时，φ=π/2【答案】A、C、D【解析】B错误（对称轴为x=π/2-φ/ω）；E错误（过0,1时sinφ=1，φ=π/2+2kπ）

3.在四边形ABCD中，下列条件中能推出它是平行四边形的有（）A.对角线互相平分B.一组对边平行且相等C.两组对边分别平行D.对角相等E.邻角互补【答案】A、B、C【解析】A、B、C是平行四边形判定定理；D、E不能单独推出平行四边形

4.关于样本数据{x₁,x₂,...,x_n}的下列说法中，正确的有（）A.样本方差S²=Σxᵢ-x²/nB.样本标准差是方差的平方根C.样本均值一定在样本数据中D.极差是最大值与最小值之差E.中位数是排序后中间位置的值【答案】A、D、E【解析】B错误（标准差是方差的算术平方根）；C错误（均值可能不在样本中）

5.执行以下程序段后，输出的结果为（）```deffx:ifx0:return1elifx==0:return0else:return-1printff-1```A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】f-1=-1，f-1=-1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线y=kx+3与圆x-2²+y-1²=4相切，则k的值为______【答案】-1或5【解析】圆心2,1到直线的距离等于半径2，解方程得k=-1或

52.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6的值为______【答案】486【解析】公比q=3，a_6=a_4q²=549=

4863.函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______【答案】8；-2【解析】f-2=120，f-1=-60，f1=-60，f2=120，端点值f-2=8，f-1=3，f1=-1，f2=2，最大8，最小-

24.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边BC=√2，则边AB的长度为______【答案】√3【解析】由正弦定理AB=BCsinB/sinA=√2sin45°/sin30°=√

35.若抛物线y²=4x的焦点为F，点Px₀,y₀在抛物线上，则点P到准线的距离为______【答案】x₀+1【解析】准线方程x=-1，距离为x₀--1=x₀+1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若|a||b|，则a²b²（）【答案】（×）【解析】反例a=-3b=1时，91不成立

2.函数y=cosx+π/2的图像与y=sinx的图像关于原点对称（）【答案】（×）【解析】y=cosx+π/2=-sinx，图像关于x轴对称

3.若四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直且相等，则它是正方形（）【答案】（×）【解析】可能是矩形或等腰梯形

4.样本容量为n的样本，其极差一定小于其方差（）【答案】（×）【解析】极差可能远大于方差

5.若函数fx在区间a,b上单调递增且连续，则fa是它的最小值（）【答案】（×）【解析】最小值可能是区间端点a或更小值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知fx=x²+px+q，若f1=0且fx在x=2时取得极值，求p、q的值【解】由f1=0得1+p+q=0

①，fx=2x+p，f2=4+p=0

②，解得p=-4，代入

①得q=

32.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和角C【解】由正弦定理b=asinB/sinA=√3√2/√3=√2，角C=180°-60°-45°=75°

3.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n【解】a_n+1+1=2a_n+1，a_n+1=2^n，a_n=2^n-1

六、分析题（每题12分，共24分）

1.证明等差数列中，任意三项a_m，a_n，a_kmnk满足a_n²=a_ma_k【证明】设首项为a₁，公差为d，则a_m=a₁+m-1d，a_n=a₁+n-1d，a_k=a₁+k-1d，a_n²=[a₁+n-1d]²=a₁²+2a₁n-1d+n-1²d²，a_ma_k=[a₁+m-1d][a₁+k-1d]=a₁²+m+k-2a₁d+m-1k-1d²，由m+k=2n得a_n²=a_ma_k

2.已知函数fx=x³-3x+1，讨论其单调性和极值【解】fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1，x=1，当x∈-∞,-1时fx0，单调递增；当x∈-1,1时fx0，单调递减；当x∈1,+∞时fx0，单调递增；极小值f1=-1，极大值f-1=3

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品可变成本为5元，售价为10元若销售量x件时，利润为y元，求

（1）y关于x的函数关系式；

（2）销售多少件时，工厂开始盈利；

（3）销售多少件时，工厂获得最大利润，最大利润是多少【解】

（1）y=10x-5x-1000=5x-1000；

（2）令y0，得5x-10000，x200，需销售超过200件；

（3）y=50，函数单调递增，最大利润在x趋于无穷大时无限增大

2.某班级组织一次活动，有A、B、C三种奖品，奖品数量分别为5件、8件、10件现要随机抽取3件奖品，求

（1）抽取的3件奖品中包含A、B、C各一件的概率；

（2）抽取的3件奖品中至少包含一件A奖品的概率【解】

（1）P1A,1B,1C=C5,1C8,1C10,1/C23,3=5810/1771≈

1.41%；

（2）P≥1A=1-P0A=1-C18,3/C23,3=1-816/1771≈

53.9%。