探索高中试题及参考答案

探索高中经典试题及参考答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sqrtx【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为-2，在整个定义域内是单调递减的；y=x^2是二次函数，在-∞,0内单调递减，在0,+∞内单调递增；y=1/x是反比例函数，在-∞,0和0,+∞内都是单调递减的；y=sqrtx是开方函数，在0,+∞内是单调递增的只有A选项在整个定义域内是单调递增的

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={1,2,3,4},则集合A与B的关系是（）（1分）A.A⊂BB.A⊃BC.A=BD.A∩B=∅【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，显然A是B的子集

3.函数fx=ax^3+bx^2+cx+d的图象过点1,1，且f1=3，则（）（2分）A.a+b+c+d=4B.a+b+c+d=1C.a+b=2D.a+c=2【答案】D【解析】f1=a+b+c+d=1，fx=3ax^2+2bx+c，f1=3a+2b+c=3，联立两式解得a+c=

24.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_6=12，则该数列的公差d等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由等差数列性质得a_1+a_5=2a_3=10，a_2+a_6=2a_4=12，所以a_3-a_4=d=

25.已知点Px,y在直线l:3x+4y-12=0上，则|OP|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】|OP|的最小值即为原点到直线l的距离d=|Ax_0+By_0+C|/√A^2+B^2=|30+40-12|/√3^2+4^2=4/5，故最小值为

26.若sinα=-3/5，α在第三象限，则cosα的值为（）（2分）A.4/5B.-4/5C.3/5D.-3/5【答案】B【解析】由sin^2α+cos^2α=1得cosα=±√1-sin^2α=±√1-9/25=±4/5，又α在第三象限，cosα0，所以cosα=-4/

57.下列命题中，为真命题的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个真子集的并集一定是真子集D.若A∩B=A，则A⊆B【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题；并非任何集合都有补集，补集是相对于某个全集而言的；两个真子集的并集不一定是真子集；若A∩B=A，则A⊆B也是真命题，故A、D均正确

8.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,5:s=s+iprintsA.4B.10C.14D.20【答案】C【解析】当i=1时，s=0+1=1；当i=2时，s=1+2=3；当i=3时，s=3+3=6；当i=4时，s=6+4=10，所以最后s的值为

109.函数fx=e^x-1/x在x→0时的极限为（）（2分）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】B【解析】limx→0e^x-1/x=limx→01/xe^x-1=limx→0e^x-1/x=limx→0e^x=

110.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，得2bccosA=bc，所以cosA=1/2，故A=60°【答案】

一、单选题

1.A

2.A

3.D

4.B

5.B

6.B

7.A、D

8.B

9.B

10.C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则√a√bB.若ab，则a^2b^2C.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb【答案】C、D【解析】A选项当a=4，b=1时，√4=2√1=1成立，但当a=-1，b=-2时，√-1^2=1√-2^2=4不成立，所以A错误；B选项当a=1，b=-2时，1^2=1-2^2=4不成立，所以B错误；C选项当ab时，两边同时取倒数，不等号方向改变，所以1/a1/b成立；D选项当ab0时，ln函数是增函数，所以lnalnb成立考查不等式性质

2.以下关于圆的命题中，正确的有（）A.相切的两圆的切点到两圆心的连线互相垂直B.圆的内接四边形对角互补C.圆的外切四边形对边之和相等D.两圆相切时，它们的公切线有且只有一条【答案】A、B、C【解析】相切的两圆的切点到两圆心的连线是公共切线的垂线，所以A正确；圆的内接四边形对角互补是圆的性质之一，所以B正确；圆的外切四边形对边之和相等是圆外切四边形的性质，所以C正确；两圆外切时，有两条外公切线和一条内公切线；两圆内切时，有一条内公切线，所以D错误考查圆的性质

3.关于函数fx=|x-1|+|x+2|，下列说法正确的有（）A.函数的最小值为3B.函数的图像关于直线x=-

1.5对称C.函数在-∞,-2上是减函数D.函数在-2,1上是增函数【答案】A、C、D【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，为3--2+1-1=3，所以A正确；函数图像是两条射线组成的V型图像，顶点为-

0.5,3，对称轴为x=-

0.5，不是x=-

1.5，所以B错误；在-∞,-2上，fx=-x+1-x-2=-2x-1是减函数，所以C正确；在-2,1上，fx=x-1-x-2=-3是常数函数，不是增函数，所以D错误考查绝对值函数的性质

4.关于等比数列{a_n}，下列说法正确的有（）A.若a_10，q1，则{a_n}是递增数列B.若{a_n}的前n项和为S_n，则{S_n}一定是等比数列C.若a_n=a_{n-1}q，则{a_n}是等比数列D.若{a_n}是递增数列，则q1【答案】A、C【解析】若a_10，q1，则{a_n}=a_1q^n-1是递增数列，所以A正确；当q=1时，{a_n}=a_1q^n-1=a_1是常数数列，{S_n}=na_1不是等比数列，所以B错误；若a_n=a_{n-1}q，则{a_n}是等比数列，公比为q，所以C正确；若{a_n}是递增数列，q=1时也是递增数列，所以D错误考查等比数列的性质

5.关于圆锥曲线，下列说法正确的有（）A.椭圆的焦点到长轴两端的距离相等B.双曲线的焦点到渐近线的距离相等C.抛物线的焦点到准线的距离是p/2D.椭圆和双曲线都关于原点对称【答案】A、B、D【解析】椭圆的焦点到长轴两端的距离是短半轴长b，相等，所以A正确；双曲线的焦点到渐近线的距离是c/a，相等，所以B正确；抛物线的焦点到准线的距离是p/2，所以C正确；椭圆和双曲线都关于原点对称，即它们都是中心对称图形，所以D正确考查圆锥曲线的性质【答案】

二、多选题

1.C、D

2.A、B、C

3.A、C、D

4.A、C

5.A、B、D

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数fx=2cos2x+π/3-1的最小正周期是______（4分）【答案】π【解析】函数fx=2cos2x+π/3-1的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π

2.在等比数列{a_n}中，若a_4=8，a_6=32，则公比q=______（4分）【答案】2【解析】由等比数列性质得a_6=a_4q^2，所以q^2=32/8=4，解得q=

23.直线l过点1,2，且与直线y=3x-1平行，则直线l的方程为______（4分）【答案】y=3x-1【解析】两直线平行，斜率相等，所以直线l的斜率为3，方程为y=3x+b，代入点1,2得2=31+b，解得b=-1，所以直线l的方程为y=3x-

14.若tanα=√3，α在第二象限，则cosα+π/6的值为______（4分）【答案】-√3/2【解析】由tanα=√3得α=2π/3，所以cosα+π/6=cos2π/3+π/6=cos5π/6=-√3/

25.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a:b:c=3:4:5，则cosB的值为______（4分）【答案】-3/5【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/235=16/30=8/15=-3/

56.函数fx=lnx^2-2x+3的定义域是______（4分）【答案】-∞,1∪1,+∞【解析】由x^2-2x+30得x-1^2+20，解得x∈-∞,1∪1,+∞【答案】

三、填空题

1.π

2.

23.y=3x-

14.-√3/

25.-3/

56.-∞,1∪1,+∞

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx是奇函数，则其图像一定关于原点对称（）【答案】（√）【解析】奇函数fx满足f-x=-fx，其图像关于原点对称是奇函数的性质

2.若ab0，则lnalnb（）【答案】（√）【解析】ln函数在0,+∞上是增函数，所以当ab0时，lnalnb

3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3=5（）【答案】（√）【解析】由等差数列性质得a_1+a_5=2a_3=10，所以a_3=

54.若x^2+y^2=1，则x+y=1（）【答案】（×）【解析】x^2+y^2=1表示单位圆，x+y=1是直线方程，直线与圆可能有交点，也可能没有交点，所以x+y=1不一定成立

5.若fx是偶函数，则fx的图像一定关于y轴对称（）【答案】（√）【解析】偶函数fx满足f-x=fx，其图像关于y轴对称是偶函数的性质【答案】

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2计算端点和驻点的函数值f-1=-1^3-3-1^2+2=-1-3+2=-2f0=0^3-30^2+2=2f2=2^3-32^2+2=8-12+2=-2f3=3^3-33^2+2=27-27+2=2所以最大值为2，最小值为-

22.求等比数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=2，q=3（4分）【答案】当q=1时，S_n=na_1=2n当q≠1时，S_n=a_11-q^n/1-q=21-3^n/1-3=3^n-1所以S_n=3^n-

13.求直线l:2x-y+1=0与圆C:x-1^2+y+2^2=4的交点坐标（4分）【答案】将直线方程代入圆方程得x-1^2+2x+1+2^2=4x^2-2x+1+2x+3^2=4x^2-2x+1+4x^2+12x+9=45x^2+10x+6=0x^2+2x+1=0x+1^2=0x=-1代入直线方程得y=-1，所以交点坐标为-1,-

14.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1当-2≤x≤1时，fx=3，此时fx取得最小值

35.求过点1,2且与抛物线y^2=8x相切的直线方程（4分）【答案】设切点为x_0,y_0，则y_0^2=8x_0，切线方程为yy_0=4x+x_0代入点1,2得2y_0=41+x_0，解得x_0=1/2，y_0=±2√2所以切线方程为y=±√2x+1/2，即y=±√2x±√2/2【答案】

五、简答题

1.最大值为2，最小值为-

22.S_n=3^n-

13.交点坐标为-1,-

14.最小值为3，取得最小值时的x值在[-2,1]内

5.切线方程为y=±√2x±√2/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间（10分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2将定义域-∞,+∞分为三个区间-∞,0，0,2，2,+∞在-∞,0上，fx0，函数单调递增；在0,2上，fx0，函数单调递减；在2,+∞上，fx0，函数单调递增所以函数的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值及取得最小值时的x值，并画出函数的图像（10分）【答案】当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1当-2≤x≤1时，fx=3，此时fx取得最小值3函数的图像是两条射线组成的V型图像，顶点为-

0.5,3，对称轴为x=-

0.5图像如下```||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\3+-----------------+-21```【答案】

六、分析题

1.函数的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.最小值为3，取得最小值时的x值在[-2,1]内图像为两条射线组成的V型图像，顶点为-

0.5,3，对称轴为x=-

0.5

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点，并画出函数的图像（25分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2将定义域-∞,+∞分为三个区间-∞,0，0,2，2,+∞在-∞,0上，fx0，函数单调递增；在0,2上，fx0，函数单调递减；在2,+∞上，fx0，函数单调递增所以函数在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值计算极值f0=0^3-30^2+2=2f2=2^3-32^2+2=8-12+2=-2函数的图像如下```||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\3+-----------------+-21```【答案】

七、综合应用题

1.函数在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-2图像为三次函数图像，有一个极大值点和一个极小值点（完）。