揭秘昆明自主招生试题及答案详情

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一、单选题（每题1分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，且f1=2，则（）A.a0,b=-2a,c=4a-2B.a0,b=-2a,c=4a-2C.a0,b=2a,c=4a-2D.a0,b=2a,c=4a-2【答案】A【解析】fx在x=1处取得极小值，则f1=0，即2ax+b|_{x=1}=0，解得b=-2a又f1=2，即a1^2+b1+c=2，代入b=-2a，得a-2a+c=2，解得c=4a-2因为极小值，a0故选A

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合是（）A.{1}B.{1,0}C.{0,1,-1}D.R【答案】C【解析】A={1,2}若A∪B=A，则B⊆A若B=∅，则a=0；若B≠∅，则B={1}或B={2}，解得a=1或a=1/2综合可得a∈{0,1,-1}

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=2c^2，则角C的取值范围是（）A.0,π/4B.π/4,π/2C.π/2,3π/4D.3π/4,π【答案】B【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2=2c^2，得c^2=c^2-2abcosC，即2abcosC=0因为ab≠0，所以cosC=0，即C=π/2但a^2+b^22c^2，矛盾，故C∈π/4,π/

24.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为

35.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】z^2=1+i^2=2i，代入得2i+ai+b=0，即a+2i+b=0由实部虚部为0，得a=-2,b=0故a+b=-

26.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=18，则a_9的值是（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】S_3=3a_1+a_2+a_3=9，即a_1+a_2+a_3=3S_6=6a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=18，即a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=3两式相减，得a_4+a_5+a_6=0又a_4+a_5+a_6=3a_4+a_5+a_6-3a_1+a_2+a_3=3a_4+a_5+a_6-9=0，解得a_4+a_5+a_6=3又a_4+a_5+a_6=3a_5，故a_5=1a_9=a_5+4d=1+4d由S_3=9，得3a_1+3d=9，即a_1+d=3a_5=a_1+4d=3d+3=1，解得d=-2/3故a_9=1+4-2/3=-5/

37.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x-y=0的距离是（）A.|a-b|B.√2|a-b|C.√2/2|a-b|D.|a+b|【答案】C【解析】点Pa,b到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax_0+By_0+C|/√A^2+B^2代入得d=|a-b|/√2=√2/2|a-b|

8.若函数fx=sinx+α在x=π/4处取得最大值，则α的值是（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】B【解析】sinx+α在x=π/4处取得最大值，即sinπ/4+α=1，解得π/4+α=2kπ+π/2，即α=2kπ+π/4取k=0，得α=π/

29.已知点A1,2，B3,0，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A.x+y=3B.x-y=1C.x+y=1D.x-y=3【答案】A【解析】AB中点为2,1，斜率为0-2/3-1=-1，垂直平分线斜率为1，方程为y-1=1x-2，即x-y=

110.若向量a=1,2，b=2,-1，则向量a+b的模长是（）A.√10B.√5C.3D.2√2【答案】A【解析】a+b=3,1，模长为√3^2+1^2=√

1011.若直线y=kx+b与圆x-1^2+y-2^2=1相切，则k的值是（）A.±1B.±√2C.1D.-1【答案】A【解析】圆心1,2，半径1直线到圆心的距离等于半径，即|k1-1+2|/√k^2+1=1，解得k=±

112.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值是（）A.15B.31C.63D.127【答案】B【解析】a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，a_5=2a_4+1=

3113.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】fx=3x^2-6x令fx=0，得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=0，f3=2最大值为max{f-1,f0,f2,f3}=

214.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5设a=3k，b=4k，c=5kc^2=25k^2a^2+b^2=25k^2，故△ABC为钝角三角形

15.若复数z=1-i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】D【解析】z^2=1-i^2=-2i，代入得-2i+ai+b=0，即a-2i+b=0由实部虚部为0，得a=2,b=0故a+b=

216.函数fx=e^x-x在区间[0,1]上的值域是（）A.[1,e]B.[0,e]C.[e-1,e]D.[0,e-1]【答案】D【解析】fx=e^x-1令fx=0，得x=0f0=1，f1=e-1fx在[0,1]上单调递增，故值域为[0,e-1]

17.若向量a=1,2，b=2,-1，则向量a·b的值是（）A.0B.3C.-3D.5【答案】D【解析】a·b=1×2+2×-1=

518.若直线y=kx+b与圆x-1^2+y-2^2=4相切，则k的值是（）A.±1B.±2C.1D.-2【答案】B【解析】圆心1,2，半径2直线到圆心的距离等于半径，即|k1-1+2|/√k^2+1=2，解得k=±

219.若数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n-1，则a_5的值是（）A.19B.20C.21D.22【答案】B【解析】a_2=3a_1-1=5，a_3=3a_2-1=14，a_4=3a_3-1=41，a_5=3a_4-1=

12020.函数fx=sinx+α在x=π/4处取得最小值，则α的值是（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】C【解析】sinx+α在x=π/4处取得最小值，即sinπ/4+α=-1，解得π/4+α=2kπ-π/2，即α=2kπ-3π/4取k=0，得α=-3π/4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）A.y=x^2B.y=e^xC.y=lnxD.y=1/xE.y=x^3【答案】A、B、C、E【解析】y=x^2在0,+∞上单调递增，y=e^x在0,+∞上单调递增，y=lnx在0,+∞上单调递增，y=1/x在0,+∞上单调递减，y=x^3在0,+∞上单调递增

2.下列命题中，正确的是（）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若a^2b^2，则|a||b|E.若ab0，则a^2b^2【答案】C、D、E【解析】若ab，则a^2b^2当a,b同号时成立，若异号则不一定成立，如a=-1,b=0若a^2b^2，则|a||b|成立若ab0，则a^2b^2成立

3.下列数列中，是等差数列的是（）A.a_n=n^2B.a_n=2n+1C.a_n=3n-2D.a_n=2^nE.a_n=nn+1/2【答案】B、C【解析】a_n=2n+1是等差数列，公差为2a_n=3n-2是等差数列，公差为3a_n=n^2不是等差数列a_n=2^n不是等差数列a_n=nn+1/2不是等差数列

4.下列函数中，是奇函数的是（）A.y=x^3B.y=sinxC.y=x^2D.y=|x|E.y=1/x【答案】A、B、E【解析】y=x^3是奇函数，y=sinx是奇函数，y=x^2是偶函数，y=|x|是偶函数，y=1/x是奇函数

5.下列不等式中，成立的是（）A.e^xx+1x0B.x^2xx1C.lnxx-1x0D.1/xxx1E.x^3x^2x1【答案】A、B、E【解析】e^xx+1对x0成立x^2x对x1成立lnxx-1对x0不一定成立，如x=1/21/xx对x1不成立x^3x^2对x1成立

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，且f1=2，则b=______，c=______【答案】-2a；4a-2【解析】f1=0，即2ax+b|_{x=1}=0，解得b=-2af1=2，即a1^2+b1+c=2，代入b=-2a，得a-2a+c=2，解得c=4a-

22.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合是______【答案】{0,1,-1}【解析】A={1,2}若A∪B=A，则B⊆A若B=∅，则a=0；若B≠∅，则B={1}或B={2}，解得a=1或a=1/2综合可得a∈{0,1,-1}

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=2c^2，则cosC=______【答案】1/2【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2=2c^2，得c^2=c^2-2abcosC，即2abcosC=0因为ab≠0，所以cosC=0，即C=π/2但a^2+b^22c^2，矛盾，故C∈π/4,π/2，cosC=1/

24.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为

35.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则|z|的值是______【答案】√2【解析】z^2=1+i^2=2i，代入得2i+ai+b=0，即a+2i+b=0由实部虚部为0，得a=-2,b=0z=1+i，|z|=√1^2+1^2=√

26.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=18，则a_9的值是______【答案】6【解析】S_3=3a_1+a_2+a_3=9，即a_1+a_2+a_3=3S_6=6a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=18，即a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=3两式相减，得a_4+a_5+a_6=0又a_4+a_5+a_6=3a_4+a_5+a_6-3a_1+a_2+a_3=3a_4+a_5+a_6-9=0，解得a_4+a_5+a_6=3又a_4+a_5+a_6=3a_5，故a_5=1a_9=a_5+4d=1+4d由S_3=9，得3a_1+3d=9，即a_1+d=3a_5=a_1+4d=3d+3=1，解得d=-2/3故a_9=1+4-2/3=-5/

37.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x-y=0的距离是______【答案】√2/2|a-b|【解析】点Pa,b到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax_0+By_0+C|/√A^2+B^2代入得d=|a-b|/√2=√2/2|a-b|

8.若函数fx=sinx+α在x=π/4处取得最大值，则α的值是______【答案】π/2【解析】sinx+α在x=π/4处取得最大值，即sinπ/4+α=1，解得π/4+α=2kπ+π/2，即α=2kπ+π/4取k=0，得α=π/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=-1,b=0，则a^2=1,b^2=0，a^2b^2不成立

3.若a^2b^2，则ab（）【答案】（×）【解析】如a=-2,b=1，则a^2=4,b^2=1，a^2b^2但ab

4.若ab0，则a^3b^3（）【答案】（√）【解析】由ab0，则a^3b^3成立

5.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值是4（）【答案】（√）【解析】fx=3x^2-6x令fx=0，得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=0，f3=2最大值为max{f-1,f0,f2,f3}=2

五、简答题（每题3分，共12分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数设首项为a_1，公差为d，则通项公式为a_n=a_1+n-1d

2.简述等比数列的定义及其通项公式【答案】等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数设首项为a_1，公比为q，则通项公式为a_n=a_1q^n-

13.简述直线与圆相切的几何条件【答案】直线与圆相切的条件是直线到圆心的距离等于圆的半径

4.简述函数单调性的定义【答案】函数单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之增大（单调递增）或随之减小（单调递减）的性质

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x令fx=0，得x=0或x=2fx在-∞,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增f0=2为极大值，f2=0为极小值

2.分析复数z=a+bi的模长和辐角的意义【答案】复数z=a+bi的模长|z|表示z对应向量在复平面上的长度，即|z|=√a^2+b^2辐角argz表示z对应向量与正实轴的夹角，满足tanargz=b/a模长表示复数的大小，辐角表示复数的方向

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1时取得极值，求a,b的值，并判断极值的类型【答案】fx=3x^2-2ax+b由f1=0和f-1=0，得3-2a+b=0和3+2a+b=0解得a=0,b=-3fx=6x-2af1=60，f-1=-60f1=0为极小值，f-1=-4为极大值

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_n的通项公式，并证明之【答案】a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，观察发现a_n=2^n-1用数学归纳法证明

①n=1时，a_1=1=2^1-1成立

②假设n=k时成立，即a_k=2^k-1则a_{k+1}=2a_k+1=22^k-1+1=2^{k+1}-1故n=k+1时也成立综上所述，a_n=2^n-1---标准答案---

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.C

5.C

6.B

7.C

8.B

9.A

10.A

11.A

12.B

13.C

14.C

15.D

16.D

17.D

18.B

19.B

20.C

二、多选题

1.A、B、C、E

2.C、D、E

3.B、C

4.A、B、E

5.A、B、E

三、填空题

1.-2a；4a-

22.{0,1,-1}

3.1/

24.

35.√

26.

67.√2/2|a-b|

8.π/2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数设首项为a_1，公差为d，则通项公式为a_n=a_1+n-1d

2.等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数设首项为a_1，公比为q，则通项公式为a_n=a_1q^n-

13.直线与圆相切的条件是直线到圆心的距离等于圆的半径

4.函数单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之增大（单调递增）或随之减小（单调递减）的性质

六、分析题

1.fx=3x^2-6x令fx=0，得x=0或x=2fx在-∞,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增f0=2为极大值，f2=0为极小值

2.复数z=a+bi的模长|z|表示z对应向量在复平面上的长度，即|z|=√a^2+b^2辐角argz表示z对应向量与正实轴的夹角，满足tanargz=b/a模长表示复数的大小，辐角表示复数的方向

七、综合应用题

1.fx=3x^2-2ax+b由f1=0和f-1=0，得3-2a+b=0和3+2a+b=0解得a=0,b=-3fx=6x-2af1=60，f-1=-60f1=0为极小值，f-1=-4为极大值

2.a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，观察发现a_n=2^n-1用数学归纳法证明

①n=1时，a_1=1=2^1-1成立

②假设n=k时成立，即a_k=2^k-1则a_{k+1}=2a_k+1=22^k-1+1=2^{k+1}-1故n=k+1时也成立综上所述，a_n=2^n-1。