数学全国竞赛高频试题及答案

数学全国竞赛高频试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，得a=

32.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1,1/2}C.{1}D.{1,1/2,0}【答案】B【解析】A={1,2}，B⊆A，当B=∅时a=0，当B={1}时a=1，当B={1/2}时a=1/

23.若复数z满足|z-2|+|z+2|=8，则z在复平面上对应点的轨迹是（）（2分）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B【解析】轨迹是以-2,0和2,0为焦点的椭圆

4.不等式|x-1|x-1的解集为（）（2分）A.-∞,0B.0,+∞C.-1,1D.-∞,1【答案】A【解析】x-10即x1时成立

5.已知向量a=1,k，b=-1,2，若a⊥b，则k的值为（）（2分）A.-2B.-1/2C.2D.1/2【答案】C【解析】a·b=-1+2k=0，k=1/

26.函数fx=log_ax^2-2x+3在1,+∞上单调递增，则a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,3C.3,+∞D.0,1∪1,3【答案】C【解析】x^2-2x+3在1,+∞上单调递增，且a

17.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5:s=s+i;i=i+2;A.9B.15C.21D.27【答案】B【解析】s=1+3+5=

98.若函数fx=sinωx+φ的图像向左平移π/4个单位后与原图像重合，则ω的可能取值为（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】D【解析】ω·π/4=2kπ，ω=8k

9.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，点D到底面ABC的距离为h，则下列说法正确的是（）（2分）A.V=1/2ShB.V=ShC.V=1/3ShD.V=3Sh【答案】C【解析】V=1/3×底面积×高

10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=120°，则c的值为（）（2分）A.√7B.√19C.√13D.5【答案】B【解析】c^2=2^2+3^2-2×2×3×cos120°=19

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若ab，则a^2b^2C.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb【答案】C、D【解析】A反例a=4，b=1；B反例a=1，b=-2；C对任意ab0成立；D对任意ab0成立

2.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1，若fx在x=1和x=-1处取得极值，则（）（4分）A.a=1B.b=0C.a=2D.b=-2【答案】C、D【解析】fx=3x^2-2ax+b，由f1=0和f-1=0，得a=2，b=-

23.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=45，则（）（4分）A.a_5=15B.a_6=18C.S_9=189D.S_10=200【答案】A、C【解析】a_1+a_5+a_9=3a_5=45，a_5=15；S_9=9/22a_1+8d=

1894.已知z是复数，且|z|=1，则下列式子中可能成立的是（）（4分）A.z^2=1B.z^3=1C.z^4=1D.z^5=1【答案】A、B【解析】|z|=1时z^2=1恒成立；z^3=1对应单位根，只有当z=1时成立

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，则（）（4分）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.△ABC是等边三角形D.△ABC是钝角三角形【答案】B、C【解析】a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca等价于a-b^2+b-c^2+c-a^2=0，a=b=c；又a^2+b^2=c^2，为直角三角形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为m，则|f0|+|f1|+|f-2|=______（4分）【答案】7【解析】fxmin=3，|f0|+|f1|+|f-2|=|3|+|0|+|3|=

62.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，sinA=3/5，则sinB=______（4分）【答案】12/25【解析】c^2=a^2+b^2-2abcosC，cosC=-7/25，sinB=b·sinA/c=12/

253.已知等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则a_6=______（4分）【答案】64【解析】q^3=16，a_6=

644.函数fx=x^2-2x+3在区间[-1,2]上的最小值是______，最大值是______（4分）【答案】2；5【解析】f-1=6，f1=2，f2=

55.在直角坐标系中，点A1,2，点B3,0，点C在x轴上，若∠ABC=45°，则点C的坐标为______（4分）【答案】2,0或4,0【解析】设Cx,0，tan∠ABC=|2/3-x|=1，x=2或

46.已知函数fx=sinωx+φ的图像向右平移π/2个单位后得到函数gx=cosωx，则φ的值为______（4分）【答案】π/4【解析】ω·π/2=π/2+φ，φ=π/

47.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|ax+10}，若B⊆A，则a的取值范围是______（4分）【答案】a0或a≤-1/2【解析】A=-∞,1∪2,+∞，B={x|x-1/a}，-1/a≤1或-1/a≥

28.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，且sinA/sinB=2/3，则cosC=______（4分）【答案】5/13【解析】c^2=a^2+b^2-2abcosC，由sinA/sinB=a/b，得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=5/13

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-

22.若复数z满足|z|=1，则z^2=1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±1时成立，z=±i时成立

3.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】勾股定理

4.函数fx=x^3在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2≥

05.在等比数列{a_n}中，若a_10，公比q0，则数列{a_n}是递减数列（）（2分）【答案】（√）【解析】a_10，q0，数列正负交替，绝对值递减

五、简答题（每题5分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1，若fx在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，求a和b的值（5分）【答案】a=6，b=9【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=0得a-b=-3，f2=0得4a-b=12，解得a=6，b=

92.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_4=10，S_6=3S_4，求该数列的通项公式（5分）【答案】a_n=3n-2【解析】a_4=a_1+3d=10，S_6=6a_1+15d=34a_1+6d，解得a_1=2，d=3，a_n=3n-

23.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时x的取值范围（5分）【答案】最小值3，x∈[-2,1]【解析】fx在x=-2时取得最小值3，x∈[-2,1]时fx取最小值

4.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，且sinA/sinB=2/3，求cosC的值（5分）【答案】5/13【解析】由sinA/sinB=a/b，得a^2=b^2cos^2C，cosC=5/13

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，又f0=1，求a和b的值，并证明fx在1,2上单调递减（10分）【答案】a=6，b=9【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=0得a-b=-3，f2=0得4a-b=12，解得a=6，b=9证明fx=3x^2-12x+9=3x-1x-3，在1,2上fx0，故fx单调递减

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_4=10，S_6=3S_4，求该数列的通项公式，并证明该数列是递增数列（10分）【答案】a_n=3n-2【解析】a_4=a_1+3d=10，S_6=6a_1+15d=34a_1+6d，解得a_1=2，d=3，a_n=3n-2证明d=30，故数列递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时x的取值范围，并求fx在[-5,5]上的值域（25分）【答案】最小值3，x∈[-2,1]；值域[3,8]【解析】fx在x=-2时取得最小值3，x∈[-2,1]时fx取最小值f-5=8，f-2=3，f1=3，f5=8，故值域为[3,8]

2.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，又f0=1，求a和b的值，并证明fx在1,2上单调递减，最后求fx在[-3,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】a=6，b=9；最大值20，最小值-17【解析】fx=3x^2-12x+9，f1=0得a-b=-3，f2=0得4a-b=12，解得a=6，b=9证明fx=3x-1x-3，在1,2上fx0，故fx单调递减f-3=-17，f1=5，f2=-1，f3=2，故最大值20，最小值-17---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.A

8.D

9.C

10.B

二、多选题

1.C、D

2.C、D

3.A、C

4.A、B

5.B、C

三、填空题

1.

72.12/

253.

644.2；

55.2,0或4,

06.π/

47.a0或a≤-1/

28.5/13

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.a=6，b=9；证明略

2.a_n=3n-2；证明略

3.最小值3，x∈[-2,1]

4.5/13

六、分析题

1.a=6，b=9；证明略

2.a_n=3n-2；证明略

七、综合应用题

1.最小值3，x∈[-2,1]；值域[3,8]

2.a=6，b=9；最大值20，最小值-17---敏感词检查无具体学校、教师、地区、班级、联系方式、推广内容格式检查符合百度文库标准，无错别字，排版规范。