数学单招普高综合试题及答案展示

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一、单选题

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1}，则A∪B等于（）（1分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1}【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}，所以A∪B={1,2}

2.函数fx=√x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,1B.[1,+∞C.1,+∞D.-∞,1]【答案】C【解析】要使√x-1有意义，需x-1≥0，即x≥1，所以定义域为[1,+∞

3.直线y=2x+1与y轴的交点坐标是（）（1分）A.0,1B.1,0C.0,-1D.-1,0【答案】A【解析】令x=0，则y=2×0+1=1，所以交点坐标为0,

14.计算sin30°cos45°+cos30°sin45°的值是（）（2分）A.√2/2B.√3/2C.1D.√6/2【答案】C【解析】利用两角和的正弦公式sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，得sin30°cos45°+cos30°sin45°=sin30°+45°=sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2√3/2+√2/21/2=√6+√2/4≈

15.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）（2分）A.15πcm^2B.24πcm^2C.30πcm^2D.12πcm^2【答案】A【解析】圆锥侧面积公式S=πrl，其中r=3cm，l=5cm，所以S=π×3×5=15πcm^

26.若向量a=3,-1，b=-1,2，则向量a+b等于（）（2分）A.2,1B.4,-3C.1,3D.2,-3【答案】D【解析】向量加法分量对应相加a+b=3+-1,-1+2=2,

17.方程x^2+px+q=0有两个不相等的实根，则（）（1分）A.p^2-4q0B.p^2-4q0C.p^2=4qD.p^2+4q0【答案】B【解析】判别式Δ=p^2-4q，方程有两个不相等的实根需Δ0，即p^2-4q

08.函数y=1/x在区间-∞,0上是（）（2分）A.增函数B.减函数C.既增又减D.非单调函数【答案】A【解析】反比例函数y=1/x在每一区间上都是单调的，在-∞,0上y随x减小而增大，故为增函数

9.若直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则a的值是（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】两直线平行需斜率相等，即a/a+1=2/1，解得a=-

210.样本数据5,x,7,9的众数是7，则样本平均数是（）（2分）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】众数为7说明7出现次数最多，若x=7，则数据为5,7,7,9，平均数=5+7+7+9/4=8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.两个无理数的和一定是无理数D.等腰三角形的底角相等E.若x^2=9，则x=3【答案】A、C、D【解析】A.空集是任何集合的子集，正确；B.反例-2-1但-2^2-1^2，错误；C.无理数相加仍是无理数（除非互为相反数），正确；D.等腰三角形底角相等是定理，正确；E.若x^2=9，则x=±3，错误

2.关于函数fx=|x-1|，下列说法正确的有（）A.它的图像关于x=1对称B.它的最小值是0C.它在-∞,1上单调递减D.它是奇函数E.它的定义域是-∞,+∞【答案】A、B、C、E【解析】A.绝对值函数y=|x-a|图像关于x=a对称，正确；B.当x=1时，|x-1|=0，为最小值，正确；C.在-∞,1上，fx=1-x单调递减，正确；D.奇函数需f-x=-fx，而f-x=|-x-1|≠-|x-1|，错误；E.定义域为所有实数，正确

3.在△ABC中，下列条件能确定唯一三角形的有（）A.边a=3，边b=4，角C=60°B.边c=5，角A=45°，角B=60°C.边b=5，角A=30°，角C=90°D.边a=7，边b=8，边c=9E.角B=90°，边a=3，边b=4【答案】A、B、C、E【解析】A.使用正弦定理和余弦定理可确定三角形，正确；B.两角已知，第三角确定，再用正弦定理可确定三角形，正确；C.直角三角形已知两角和一边可确定，正确；D.三边长度满足三角形不等式，但无法确定唯一三角形（如旋转），错误；E.直角三角形已知斜边和一条直角边可确定，正确

4.关于抛物线y^2=2pxp0，下列说法正确的有（）A.它的焦点在x轴正半轴B.它的准线是x=-pC.它开口向右D.顶点在原点E.它的对称轴是y轴【答案】A、C、D【解析】A.标准抛物线y^2=2px焦点为p/2,0，正确；B.准线方程为x=-p/2，错误；C.开口方向由p决定，p0向右，正确；D.顶点为0,0，正确；E.对称轴是x轴，错误

5.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=√xD.y=|x|E.y=sinx【答案】A、B、E【解析】A.奇函数需f-x=-fx，x^3满足，正确；B.1/x是奇函数，正确；C.√x定义域0,+∞不关于原点对称，非奇函数；D.|x|是偶函数；E.sinx是奇函数，正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程3x^2-5x+k=0有两个相等的实根，则k=______【答案】25/12【解析】判别式Δ=-5^2-4×3×k=0，解得k=25/

122.在△ABC中，若角A=45°，角B=75°，则角C=______度【答案】60【解析】三角形内角和为180°，C=180°-45°-75°=60°

3.函数y=2sinπx/2+1的最大值是______，最小值是______【答案】3；-1【解析】sin函数范围[-1,1]，故y=2sinπx/2+1范围[2×-1+1,2×1+1]=[-1,3]

4.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量2a-3b的坐标是______【答案】-7,14【解析】2a=2,4，3b=9,-12，2a-3b=2-9,4--12=-7,

145.直线x-2y+5=0的斜率是______，在y轴上的截距是______【答案】1/2；-5/2【解析】斜率k=系数y项/系数x项=1/2，令x=0得y=-5/

26.计算tan30°·cot60°=______【答案】√3/3【解析】tan30°=1/√3，cot60°=1/tan60°=1/√3，故tan30°·cot60°=1/√3×1/√3=1/

37.若圆x-a^2+y-b^2=r^2的圆心在直线y=x上，则a______b（填、或=）【答案】=【解析】圆心a,b在y=x上，故a=b

8.某班级有50名学生，其中男生占60%，则女生人数的标准差约为______（结果保留一位小数）【答案】

3.5【解析】男生30人，女生20人，标准差σ≈√[30×

0.6-

0.5^2+20×

0.4-

0.5^2/50]≈

3.5

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】反例a=-1b=-2，但√-1无意义，√-2也无意义，命题不成立

2.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）【答案】（√）【解析】相似三角形周长比等于相似比k，面积比等于k^2，正确

3.函数y=sinx是周期函数，且最小正周期是2π（）【答案】（√）【解析】sinx+2π=sinx，最小正周期为2π，正确

4.若A⊆B，则B⊆A不成立（）【答案】（×）【解析】若A⊆B，则B可能包含A之外的元素，故B⊆A不一定成立

5.抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为-b/2a,c-b^2/4a（）【答案】（√）【解析】顶点坐标公式x,y=-b/2a,c-b^2/4a，正确

6.若直线l1∥l2，直线l3⊥l1，则l3⊥l2（）【答案】（√）【解析】若l1∥l2，l3⊥l1，则l3与l2夹角为90°，即l3⊥l2，正确

7.若fx是偶函数，则fx的图像关于x轴对称（）【答案】（×）【解析】偶函数fx=f-x，图像关于y轴对称，错误

8.一个等差数列的前n项和Sn=na^2+bn，则它的公差为2a（）【答案】（√）【解析】Sn=na+n-1d/2=na+nn-1d/2，与题设对比得d=2a，正确

9.若三角形的三边长分别为5,12,13，则它是直角三角形（）【答案】（√）【解析】12^2+5^2=13^2，满足勾股定理，正确

10.函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数（）【答案】（√）【解析】cosx在[0,π]上单调递减，正确

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx的最小值和取得最小值时的自变量x的值【答案】最小值为-1，当x=2时取得【解析】fx=x-2^2-1，抛物线开口向上，顶点2,-1是最低点，故最小值为-1，x=

22.已知直线l1:2x+y-1=0与直线l2:ax-y+3=0垂直，求a的值【答案】a=-2【解析】l1斜率k1=-2，l2斜率k2=a，两直线垂直需k1k2=-1，即-2a=-1，解得a=-

23.计算不定积分∫x^2+1/xdx【答案】x^2+ln|x|+C【解析】∫x^2/x+x/xdx=∫xdx+∫1/xdx=x^2+ln|x|+C

4.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆心坐标和半径【答案】圆心2,-3，半径√10【解析】配方得x-2^2+y+3^2=√10^2，圆心2,-3，半径√

105.在等比数列{a_n}中，若a_1=3，a_4=24，求公比q【答案】q=2【解析】a_4=a_1q^3，24=3q^3，q^3=8，故q=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-a|+|x-1|，讨论fx在a=0,a=1,a=2时的最小值【答案】a=0时，fx=|x|+|x-1|，当0≤x≤1时，fx=1；x1时，fx=2x-1；x0时，fx=-2x+1最小值为1a=1时，fx=|x-1|+|x-1|=2|x-1|，最小值为0（x=1时）a=2时，fx=|x-2|+|x-1|，当1≤x≤2时，fx=1；x2时，fx=2x-3；x1时，fx=-2x+3最小值为

12.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c【答案】边b=asinB/sinA=√3√2/2/√3/2=√6边c=asinC/sinA，其中sinC=sin180°-60°-45°=sin75°=√6+√2/4，c=√3√6+√2/4=3+√2/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元若销售量x件，求

（1）利润函数Px的表达式；

（2）销售多少件产品时能盈利？

（3）销售100件时能盈利多少元？

（4）若要实现利润20万元，至少要销售多少件产品？【答案】

（1）Px=50x-20x-100000=30x-100000

（2）盈利需Px0，30x-1000000，x

3333.33，至少销售3334件

（3）P100=30×100-100000=-70000元，亏损7万元

（4）20=30x-100000，x=4000件

2.某城市为改善交通，计划修建一条环形公路经勘察，这条公路需要经过三个居民区A、B、C，其中A在B北偏东30°方向4km处，B在C北偏西20°方向6km处若要在三个居民区均匀分布布置环形公路，求

（1）A、B、C三点构成三角形的边长；

（2）环形公路的总长度；

（3）若每公里造价为8000元，修建这条公路需要多少费用？【答案】

（1）使用余弦定理计算边长设∠ABC=α，∠BCA=β，则∠BAC=180°-α-βcosα=6^2+4^2-AB^2/2×6×4，cosβ=4^2+AB^2-6^2/2×4×AB联立方程组解得AB≈

5.2km，BC≈

6.0km，AC≈

4.8km

（2）环形公路总长=2πR，其中R为外接圆半径R≈

5.4km，总长≈

33.9km

（3）费用=8000×

33.9=

271.2万元。