数学新考法典型试题与详细答案解析

数学新考法典型试题与详细答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sqrtx【答案】D【解析】y=-2x+1是减函数，y=x^2在-∞,0上减，0,+∞上增，y=1/x在-∞,0和0,+∞上均为减函数，y=sqrtx在其定义域内为增函数

2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5等于（）A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】由等差中项性质，a_3+a_7=2a_5，故a_5=

63.若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα等于（）A.√3/2B.√2/2C.1/2D.-√3/2【答案】A【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cosα=√1-sin^2α=√3/

24.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

35.直线y=kx+3与圆x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）A.k1/2B.k1/2C.k2D.k2【答案】C【解析】圆心0,0到直线距离d=|3|/√k^2+12，解得|k|3/2，即k3/2或k-3/

26.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinπ/2-A等于（）A.1/2B.√3/2C.1/√2D.√2/2【答案】A【解析】sinπ/2-A=cosA=1/

27.某校组织篮球比赛，共有8支球队参加，比赛采用单循环赛制，则总共需要进行（）场比赛A.8B.15C.28D.56【答案】B【解析】单循环赛总场次为nn-1/2=87/2=28场

8.抛物线y^2=8x的焦点坐标是（）A.2,0B.0,2C.-2,0D.0,-2【答案】A【解析】焦点坐标为2p/4,p/2，即2,

09.若复数z=1+i，则z^2等于（）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i

10.样本数据5,x,7,9的平均数为6，则x的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】5+x+7+9/4=6，解得x=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a^2b^2B.若|a||b|，则abC.空集是任何集合的子集D.若sinα=sinβ，则α=βE.若AB=CD，则|AB|=|CD|【答案】C、E【解析】A反例a=2b=-3但a^2=4b^2=9；B反例a=-5b=-6但a-b；C正确；D反例α=π/6，β=5π/6；E正确

2.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=lnxE.y=cosx【答案】A、B、C【解析】y=lnx非奇非偶；y=cosx是偶函数

3.关于抛物线y^2=2pxp0，下列说法正确的有（）A.焦点在x轴正半轴B.准线方程是x=-pC.开口方向向右D.对称轴是y轴E.顶点在原点【答案】A、C、D、E【解析】准线方程是x=-p/

24.下列函数在其定义域内单调递增的有（）A.y=2^xB.y=1/xC.y=√xD.y=-x^2E.y=lgx【答案】A、C、E【解析】y=1/x在0,+∞上减，y=-x^2在-∞,0上增，0,+∞上减

5.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则（）A.a_3=18B.S_5=93C.q=3D.a_6=162E.q=-3【答案】A、C、D【解析】由a_4=a_2q^2得q=3，故a_3=a_2q=18，a_6=a_4q^2=162，S_5=81

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x^2-2x-3=0，则x^2+1/x的值是_________【答案】8【解析】x+1/x=2，故x^2+1/x=xx+1/x+1=2x+1=7，原式=7+1=

82.在△ABC中，若A=60°，a=√3，b=1，则角B的大小是_________弧度【答案】π/6【解析】由正弦定理sinB/b=sinA/a，得sinB=1/2，B=π/

63.函数y=3cos2x-π/4+1的振幅是_________，周期是_________【答案】3；π【解析】振幅为|3|=3，周期T=2π/|ω|=π

4.某班级有男生a名，女生b名，若从中选出4人参加活动，则选出的4人中恰有2名男生、2名女生的选法有_________种【答案】abC2【解析】Ca,2Cb,2=abC

25.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相切，则k的值是_________【答案】±√3/3【解析】由|1|/√k^2+1=1，得k=±√3/

36.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=_________【答案】20【解析】a_5+a_7=a_1+a_9=

207.复数z=1+i/1-i的实部是_________，虚部是_________【答案】0；1【解析】z=1+i^2/1-i1+i=1/2+1/2i

8.某校举行数学竞赛，共有100道选择题，答对一题得3分，答错或不答扣1分，某人得了200分，则他答错的题目数量是_________道【答案】50【解析】设答对x题，答错y题，x+y=100，3x-y=200，解得x=75，y=25

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则fx=ax^2+bx+c在x0时单调递增（）【答案】（×）【解析】需a0且b^2-4ac≥

02.若sinα=1/2，则α=π/6（）【答案】（×）【解析】α=π/6或5π/

63.任何三角形的三条高线交于一点（）【答案】（√）【解析】垂心性质

4.若复数z满足z^2=|z|^2，则z一定是实数（）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，则a^2-b^2+2abi=a^2+b^2，得b=

05.样本容量为n的样本，其方差S^2=Σx_i-μ^2/n，其中μ为样本均值（）【答案】（×）【解析】应为S^2=Σx_i-μ^2/n

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=|x-2|+|x+1|的最小值及取值范围【解析】分段函数y=-3-x,x-1-1,-1≤x≤2-x+3,x2最小值为-1，取值范围[-1,+∞

2.在△ABC中，若a=3，b=5，C=60°，求c的值【解析】余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+25-15=19，c=√

193.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求其通项公式【解析】a_n=a_1+n-1d，a_5=a_1+4d，d=2，a_n=2+2n-1=2n

4.求过点1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程【解析】垂直直线的斜率为-1/3，方程y-2=-1/3x-1，即x+3y-7=

05.已知复数z=1+i，求argz的值【解析】z在第一象限，argz=π/4

六、分析题（每题8分，共24分）

1.证明等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q【证明】a_m=a_1+m-1d，a_n=a_1+n-1d，a_p=a_1+p-1d，a_q=a_1+q-1d，a_m+a_n=2a_1+m+n-2d，a_p+a_q=2a_1+p+q-2d，由m+n=p+q，得a_m+a_n=a_p+a_q

2.已知函数fx=x^3-3x+1，求其极值点【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，fx=6x，f-1=-60，极小值；f1=60，极大值

3.某工厂生产某种产品，固定成本为a万元，每生产一件产品成本增加b元，售价为c元，若销售量为x件，求利润函数Lx的表达式【解析】Lx=收入-成本=xc-a+bx=xc-bx-a

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.某矩形花园的长比宽多4米，若花园的周长为20米，求花园的面积【解析】设宽x米，长x+4米，2x+x+4=20，x=3，面积=3x+4=37=21平方米

2.某班级组织春游，租用大巴车若干辆，每辆车限载40人，若每辆车坐35人，则有10人没有座位；若每辆车坐36人，则有一辆车不满载，求租用的车辆数量【解析】设车辆x辆，40x-35x=10，x=2，故需2辆车，但36x40x-10，x=3，租3辆车。