数学方程式竞赛试题及权威答案

数学方程式竞赛试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若方程x²-mx+1=0有两个相等的实根，则m的值为（）（2分）A.-2B.0C.1D.2【答案】D【解析】方程有两个相等的实根，则判别式Δ=m²-4=0，解得m=±2，故选D

2.解方程组$$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$$其解为（）（2分）A.x=3,y=2B.x=2,y=1C.x=1,y=0D.x=4,y=2【答案】B【解析】由x-y=1得x=y+1，代入2x+3y=8得2y+1+3y=8，解得y=2，x=4，故选B

3.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3，故选C

4.已知等差数列{a_n}中，a₁=5，d=-2，则a₅的值为（）（2分）A.-3B.-1C.1D.3【答案】B【解析】a₅=a₁+4d=5+4-2=-3，故选B

5.若sinα=\\frac{3}{5}\，α在第二象限，则cosα的值为（）（2分）A.\\frac{4}{5}\B.\-\frac{4}{5}\C.\\frac{3}{5}\D.\-\frac{3}{5}\【答案】B【解析】由sin²α+cos²α=1得cosα=±\\sqrt{1-\left\frac{3}{5}\right^2}\=±\\frac{4}{5}\，又α在第二象限，cosα0，故选B

6.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数是偶数的概率为（）（2分）A.\\frac{1}{2}\B.\\frac{1}{3}\C.\\frac{1}{4}\D.\\frac{1}{6}\【答案】A【解析】偶数有3个（

2、

4、6），总情况6种，故概率为\\frac{3}{6}\=\\frac{1}{2}\，故选A

7.不等式|x|3的解集为（）（2分）A.-3,3B.-∞,-3∪3,+∞C.-∞,3D.-3,+∞【答案】A【解析】|x|3即-3x3，故解集为-3,3，故选A

8.若函数gx=x²-kx+4在x=2处取得最小值，则k的值为（）（2分）A.4B.2C.-4D.-2【答案】A【解析】gx=x-\\frac{k}{2}\²+4-\\frac{k²}{4}\，对称轴x=\\frac{k}{2}\，由x=2得k=4，故选A

9.若复数z=1+2i的模为|z|，则|z|的值为（）（2分）A.1B.2C.\\sqrt{5}\D.3【答案】C【解析】|z|=\\sqrt{1²+2²}\=\\sqrt{5}\，故选C

10.已知圆心为C1,2，半径为r=2的圆，则圆上任意一点P到直线x+y=0的距离的最大值为（）（2分）A.1B.2C.\\sqrt{5}\D.3【答案】D【解析】圆心C到直线x+y=0的距离d=\\frac{|1+2|}{\sqrt{1²+1²}}\=\\sqrt{2}\，最大值为d+r=\\sqrt{2}\+2，故选D

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的有？（）（4分）A.y=x²B.y=2xC.y=\\frac{1}{x}\D.y=log₂x【答案】B、D【解析】y=2x是正比例函数，为增函数；y=log₂x是对数函数，底数大于1，为增函数故选B、D

2.若函数fx=ax²+bx+c在x=1时取得最大值，则（）（4分）A.a0B.a0C.b=-2aD.b=2a【答案】B、C【解析】二次函数开口向下时取得最大值，故a0；对称轴x=-\\frac{b}{2a}\=1，解得b=-2a，故选B、C

3.下列命题中，正确的有？（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若a²b²，则abC.若ab，则\\frac{1}{a}\\\frac{1}{b}\D.若ab0，则\\sqrt{a}\\\sqrt{b}\【答案】D【解析】对于A，反例a=1,b=-2；对于B，反例a=-2,b=-1；对于C，反例a=1,b=-2；对于D，由于ab0，开方后不等号方向不变，故正确故选D

4.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的值可能为（）（4分）A.1B.2C.\\frac{1}{2}\D.0【答案】A、B、C【解析】A={1,2}，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则B={1}或B={2}，对应a=1或a=\\frac{1}{2}\或a=\\frac{1}{2}\，故选A、B、C

5.下列不等式成立的有？（）（4分）A.\\sqrt{2}\+\\sqrt{3}\\\sqrt{5}\B.2³3²C.\\log_2{3}\\\log_2{4}\D.\\sin{30°}\\\sin{45°}\【答案】A、D【解析】A.\\sqrt{2}\+\\sqrt{3}\²=5+2\\sqrt{6}\5，故\\sqrt{2}\+\\sqrt{3}\\\sqrt{5}\；B.89，错误；C.\\log_2{3}\2=\\log_2{4}\，错误；D.\\sin{30°}\=\\frac{1}{2}\，\\sin{45°}\=\\frac{\sqrt{2}}{2}\，\\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\，正确故选A、D

三、填空题（每题4分，共20分）

1.方程x³-3x+2=0的实根个数为______（4分）【答案】2【解析】fx=3x²-3=3x-1x+1，f-2=-8,f0=2,f1=0,f2=0，故有2个实根

2.已知等比数列{a_n}中，a₁=1，q=2，则a₅的值为______（4分）【答案】16【解析】a₅=a₁q⁴=1×2⁴=

163.在直角坐标系中，点P3,-4到原点的距离为______（4分）【答案】5【解析】|OP|=\\sqrt{3²+-4²}\=

54.函数fx=sinx+\\frac{π}{6}\的最小正周期为______（4分）【答案】2π【解析】sin函数的周期为2π，故fx的周期为2π

5.若复数z=2+3i的共轭复数为\\bar{z}\，则\\bar{z}\的模为______（4分）【答案】\\sqrt{13}\【解析】\\bar{z}\=2-3i，|\\bar{z}\|=\\sqrt{2²+-3²}\=\\sqrt{13}\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2,b=-2，a²=b²但a≠b

2.函数y=cosx在整个定义域内是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】cosx在[2kπ,2k+1π]（k∈Z）内减，在[2k-1π,2kπ]（k∈Z）内增

3.若事件A和事件B互斥，则PA∪B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】根据互斥事件的概率加法公式

4.若直线l₁:ax+by+c=0与直线l₂:mx+ny+p=0平行，则\\frac{a}{m}\=\\frac{b}{n}\（）（2分）【答案】（√）【解析】平行直线斜率相等，即\\frac{a}{m}\=\\frac{b}{n}\且\\frac{a}{m}\≠\\frac{c}{p}\

5.若函数fx在区间[1,2]上单调递增，则f1f2（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义即为fx₂fx₁（x₂x₁），故f1f2

五、简答题（每题4分，共20分）

1.解方程x²-5x+6=0（4分）【答案】x²-5x+6=0x-2x-3=0x₁=2,x₂=

32.求函数fx=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值（4分）【答案】fx=3x²-3=3x-1x+1f-2=-8,f0=2,f1=0,f2=2最大值为2，最小值为-

83.已知等差数列{a_n}中，a₁=3，d=2，求S₁₀的值（4分）【答案】S₁₀=\\frac{10}{2}\×[2a₁+10-1d]=5×[6+18]=

1204.求过点P1,2且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程（4分）【答案】原直线斜率k₁=1/2，垂直直线斜率k₂=-2y-2=-2x-12x+y=

45.若复数z=a+bi，且|z|=5，argz=\\frac{π}{3}\，求a和b的值（4分）【答案】|z|=\\sqrt{a²+b²}\=5a²+b²=25argz=\\frac{π}{3}\，tan\\frac{π}{3}\=\\frac{b}{a}\=\\sqrt{3}\a=5/2,b=5\\sqrt{3}\/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-mx+1在x=1时取得最小值，求f2的值（10分）【答案】fx=x-\\frac{m}{2}\²+1-\\frac{m²}{4}\对称轴x=\\frac{m}{2}\，由x=1得m=2fx=x-1²f2=2-1²=

12.已知圆C₁:x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂:x²+y²+4x-6y+9=0，求两圆的公共弦所在直线的方程（10分）【答案】C₁+C₂:2x²+2y²+2x-2y+6=0x²+y²+x-y+3=0C₁-C₂:6x-10y-12=03x-5y-6=0公共弦方程为3x-5y-6=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并求取得最小值时x的取值范围（25分）【答案】分段函数fx=\\begin{cases}-2x-1,x-2\\3,-2\leqx\leq1\\2x+1,x1\end{cases}\最小值为3，取得最小值时x的取值范围是[-2,1]

2.已知等差数列{a_n}中，a₁=2，d=3，另有一等比数列{b_n}中，b₁=1，q=2，求满足a_m=b_n的最小的m和n的值，并求此时a_m+b_n的值（25分）【答案】a_m=2+3m-1=3m-1b_n=1×2^n-13m-1=2^n-1令m=1,3×1-1=2,n-1=1,n=2a₁+b₂=2+4=6最小的m=1,n=2a_m+b_n=6

八、完整标准答案（最后一页）

一、单选题

1.D

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.C

10.D

二、多选题

1.B、D

2.B、C

3.D

4.A、B、C

5.A、D

三、填空题

1.

22.

163.

54.2π

5.\\sqrt{13}\

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.x₁=2,x₂=

32.最大值2，最小值-

83.S₁₀=

1204.2x+y=

45.a=5/2,b=5\\sqrt{3}\/2

六、分析题

1.f2=

12.公共弦方程为3x-5y-6=0

七、综合应用题

1.最小值3，x∈[-2,1]

2.m=1,n=2,a_m+b_n=6。