数学高考知名典籍相关试题及答案

数学高考知名典籍相关试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∪B等于（）（2分）A.{1,2}B.{-3,2}C.{-3,1,2}D.{-3,-2,1}【答案】C【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，解方程x²+x-6=0得x=-3或x=2，故A∪B={-3,1,2}

2.函数fx=log₃x+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-∞,+∞D.-2,+∞【答案】A【解析】x+10⇒x-1，故定义域为-1,+∞

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】由正弦定理得b=asinB/sinA=√3√2/√3=√

24.直线y=kx+1与圆x-1²+y²=1相切，则k的值为（）（2分）A.±√3/3B.±√2/2C.±1D.0【答案】A【解析】圆心1,0到直线的距离d=|k1+11-1|/√k²+1=1⇒|k+1|/√k²+1=1⇒k=√3/3或k=-√3/

35.抛物线y²=2pxp0的焦点到准线的距离是（）（2分）A.pB.2pC.p/2D.2p²【答案】A【解析】焦点坐标为p/2,0，准线方程为x=-p/2，故距离为p+p/2=p

6.若复数z=1+i，则z²的共轭复数是（）（2分）A.2B.-2C.1-iD.-1+i【答案】D【解析】z²=1+i²=2i，其共轭复数为-2i，即-1+i

7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n=a_n-1+2，则a₅的值为（）（2分）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】数列为等差数列，公差d=2，a₅=1+5-12=

118.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+iA.5B.10C.15D.20【答案】C【解析】s=1+2+3+4+5=

159.在直角坐标系中，点Px,y到直线3x+4y-12=0的距离为2，则点P的轨迹方程是（）（2分）A.3x+4y=6B.3x+4y=18C.3x+4y=±6D.3x+4y=±18【答案】C【解析】由点到直线距离公式得|3x+4y-12|/5=2⇒3x+4y=18或3x+4y=-

610.若函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）（2分）A.1B.-2C.2D.±2【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，故f-1=-f1=-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若sinα=sinβ，则α=βD.若A∩B=A，则A⊆B【答案】A、D【解析】A对，空集是任何集合的子集；B错，如a=1b=-2；C错，sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ；D对，A∩B=A⇒A⊆B

2.以下函数中，在区间0,1上单调递减的有（）（4分）A.y=3-xB.y=1/xC.y=x²D.y=√x【答案】A、B【解析】A为一次函数，斜率为-1，递减；B为反比例函数，在第一象限递减；C为二次函数，开口向上，在0,1递减；D为幂函数，开口向上，在0,1递增

3.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的条件的有（）（4分）A.边a=2，边b=3，角C=60°B.边a=3，边b=4，边c=5C.边a=4，边b=5，角A=45°D.边a=2，角A=30°，角B=60°【答案】A、B、D【解析】A满足SAS，B满足SSS，D满足ASA，均能确定△ABC；C不满足边角关系，不能确定

4.以下不等式成立的有（）（4分）A.-2³-1⁴B.2√23C.log₂3log₂4D.2⁻¹3⁻¹【答案】B、D【解析】A错，-2³=-8-1⁴=1；B对，2√2≈

2.8283；C错，log₂3≈

1.585log₂4=2；D对，2⁻¹=1/21/3=3⁻¹

5.以下命题中，真命题的有（）（4分）A.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称B.若fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称C.若fx是周期函数，则存在T0使fx+T=fxD.若fx是单调函数，则fx存在反函数【答案】A、B、C【解析】A对，偶函数定义f-x=fx；B对，奇函数定义f-x=-fx；C对，周期函数定义fx+T=fx；D错，单调函数不一定存在反函数，如fx=x³在R上单调递增，但定义域-∞,+∞与值域-∞,+∞不一一对应

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线y=kx+3与圆x-2²+y²=4相切，则k的值为_________（4分）【答案】±√3【解析】圆心2,0到直线的距离d=|2k+3|/√k²+1=2⇒|2k+3|=2√k²+1⇒k=±√

32.已知函数fx=x²-2x+3，则fx在区间[-1,3]上的最小值是_________（4分）【答案】2【解析】fx=x-1²+2，对称轴x=1∈[-1,3]，最小值为f1=

23.在△ABC中，若边a=3，边b=2，角C=120°，则边c的长度是_________（4分）【答案】√7【解析】由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=9+4-232-1/2=13⇒c=√

134.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n，则a₅的值为_________（4分）【答案】11【解析】a₅=S₅-S₄=25²-35-24²-34=

115.若复数z=2+3i，则z/1+i的值是_________（4分）【答案】5/2-1/2i【解析】z/1+i=2+3i1-i/2=5/2-1/2i

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4b=1，但√4=2≯√1=

12.若fx是奇函数，且f0存在，则f0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】f-0=-f0⇒f0=-f0⇒2f0=0⇒f0=

03.若A⊆B，则A∪B=B（）（2分）【答案】（√）【解析】A的所有元素都在B中，故并集就是B

4.若fx是周期函数，则它的周期是唯一的（）（2分）【答案】（√）【解析】周期函数定义fx+T=fx，若存在T₁≠T₂满足，则T₁-T₂/2也是周期，与T₁最小矛盾

5.若fx是定义在R上的增函数，且fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-fx且fx递增⇒f-x=-fx递减⇒图像关于原点对称

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为8，最小值为-2【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=2，故最大值为max{f-2,f-1,f1,f2}=8，最小值为min{...}=-

22.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，求a₅的值（5分）【答案】31【解析】数列{a_n+1}是等比数列，公比q=2，首项a₁+1=2，a₅=22⁴=

313.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+a+1y+4=0垂直，求a的值（5分）【答案】-2【解析】两直线垂直⇒a1+a+12=0⇒3a+2=0⇒a=-2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明理由（10分）【答案】最小值为3【解析】fx分段函数为fx={3-x,x-2x+3,-2≤x≤1x-1,x1}在各段上均递增，故最小值在x=-2处取得，f-2=1+2=

32.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求证{a_n}是等差数列（10分）【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n-1，故a_n-a_{n-1}=2n-1-[2n-1-1]=2，与n无关，故是等差数列

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工程队计划修建一条长为L的公路，若单独修建，则需t天完成由于工期紧迫，现增加n个工人，且每个工人工作效率相同，结果提前了m天完成任务求每个工人每天的工作效率（25分）【解析】设每个工人每天工作效率为k，则原效率为L/t，增加n个工人后效率为L/t-m，故L/t+nk=L/t-m⇒nk=L/t-m-L/t=Lt-Lt-m/tt-m=mL/tt-m⇒k=mL/nt-mt

2.已知函数fx=x³-px+q，若fx在x=1和x=-1处取得极值，求p、q的值，并讨论fx的单调性（25分）【解析】fx=3x²-p，在x=1和x=-1处取得极值⇒f1=0且f-1=0⇒31²-p=0且3-1²-p=0⇒p=3，f1=1-3q=极值，f-1=-1+3q=极值⇒1-3q和-1+3q为极值，矛盾，故无解。