整式的应用竞赛试题及权威答案

整式的应用竞赛试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若多项式x^2+mx+9能因式分解为x+3x+a，则m等于（）（2分）A.6B.5C.3D.-6【答案】A【解析】根据多项式乘法展开x+3x+a=x^2+a+3x+3a，与x^2+mx+9比较系数可得a+3=m，3a=9，解得a=3，m=

62.若x=2是方程x^2+px-6=0的一个根，则p的值是（）（2分）A.4B.2C.-4D.-2【答案】C【解析】将x=2代入方程得4+2p-6=0，解得p=1，但需注意题目问的是p值，不是方程根的值

3.多项式x-1^2+x^2-2x的值为（）（2分）A.2x^2-4x+1B.x^2-2x+1C.2x^2-2xD.x^2-2x+2【答案】C【解析】展开x-1^2得x^2-2x+1，代入原式得x^2-2x+1+x^2-2x=2x^2-4x+1，再化简得2x^2-2x

4.若a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值是（）（2分）A.11B.25C.29D.31【答案】D【解析】根据恒等式a+b^2=a^2+2ab+b^2，得5^2=a^2+2×6+b^2，即25=a^2+b^2+12，解得a^2+b^2=

135.若多项式x^3+ax^2+bx+1能被x-1整除，则a+b的值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由整除定理知f1=1+a+b+1=0，解得a+b=-

26.若x^2+x-6是多项式x^3-2x^2+mx+n的一个因式，则m-n的值是（）（2分）A.7B.8C.-7D.-8【答案】A【解析】设另一个因式为x-2，则x^3-2x^2+mx+n=x^2+x-6x-2=x^3-x^2-14x+12，比较系数得m=-14，n=12，m-n=-

267.若多项式x^2+px+q的根为2和3，则p+q的值是（）（2分）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】根据韦达定理x1+x2=-p，x1x2=q，得2+3=-p，6=q，p+q=-6+6=

78.若多项式x^3-3x^2+mx+n的根为1，2，3，则m+n的值是（）（2分）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】根据韦达定理x1+x2+x3=3，x1x2+x2x3+x3x1=m，x1x2x3=-n，得1+2+3=3，2+4+6=12，6=-n，m+n=12-6=

69.若多项式x^2+mx+n在x=1时的值为5，在x=-1时的值为9，则m+n的值是（）（2分）A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】代入得1+m+n=5，1-m+n=9，两式相加得2n=14，n=7，代入得m=8，m+n=

1510.若多项式x^3+px^2+qx+r的根为-1，2，-3，则p+q+r的值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】根据韦达定理x1+x2+x3=-p，x1x2+x2x3+x3x1=q，x1x2x3=-r，得-1+2-3=-p，-6=q，-6=-r，p+q+r=3-6+6=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于整式的说法正确的有（）（4分）A.单项式是整式B.多项式是整式C.分式不是整式D.整式一定是多项式【答案】A、B、C【解析】整式包括单项式和多项式，分式不是整式，整式不一定是多项式，如单独的常数项x^0=1也是整式

2.下列运算正确的有（）（4分）A.x+1x-1=x^2-1B.x+2^2=x^2+4C.x+1^2=x^2+2x+1D.x-1^2=x^2-2x+1【答案】A、C、D【解析】x+2^2=x^2+4x+4，故B错误

3.下列方程有整数根的有（）（4分）A.x^2-5x+6=0B.x^2+x-6=0C.x^2+x+1=0D.x^2-2x+1=0【答案】A、B、D【解析】C的判别式Δ=-30无实根，故无整数根

4.下列多项式能因式分解的有（）（4分）A.x^2+4x+4B.x^2-4x+4C.x^2-4D.x^2+4【答案】A、B、C【解析】D不能因式分解为实数系数多项式

5.下列关于整式根的叙述正确的有（）（4分）A.方程x^2-4=0的根是±2B.多项式x^2+x-6的根是2和-3C.若x=1是方程x^2+mx+n=0的根，则m+n=1D.若x=-1是方程x^2+mx+n=0的根，则m-n=0【答案】A、B、C【解析】D中x=-1时m+n=-2，故错误

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若多项式x^2+mx+6的根为2和3，则m=______（4分）【答案】1【解析】根据韦达定理2+3=-m，得m=-

52.若多项式x^3-2x^2+mx+n的根为-1，2，3，则m+n=______（4分）【答案】6【解析】根据韦达定理-1+2+3=2，-6=m，-6=n，m+n=-

123.若多项式x^2+px+q的根的平方和为10，则p^2+q^2=______（4分）【答案】22【解析】设根为x1，x2，则x1^2+x2^2=10，又x1+x2=-p，x1x2=q，得x1+x2^2-2x1x2=p^2-q=10，p^2+q^2=p^2-q+2q=10+2q=

224.若多项式x^3+px^2+qx+r的根为-1，2，-3，则p^2+q^2+r^2=______（4分）【答案】30【解析】根据韦达定理-1+2-3=-p，-6=q，-6=-r，p=4，q=6，r=6，p^2+q^2+r^2=16+36+36=

885.若多项式x^2+mx+n的根的立方和为9，则m^3+n^3=______（4分）【答案】-54【解析】设根为x1，x2，则x1^3+x2^3=x1+x2x1^2-x1x2+x2^2=-mx1^2+x2^2-6=m^2-6-m，由x1^2+x2^2=10，得x1^3+x2^3=10m^2-6m=9，m^3+n^3=m+nm^2-mn+n^2=-mm^2-6m=6m^2=54，m^3+n^3=54-54=

06.若多项式x^3+px^2+qx+r的根为-2，1，3，则p^3+q^3+r^3=______（4分）【答案】-27【解析】根据韦达定理-2+1+3=-p，-6=q，-6=-r，p=-4，q=6，r=6，p^3+q^3+r^3=-64+216-216=-64

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若多项式x^2+mx+n的根为2和3，则m=5（）（2分）【答案】（×）【解析】根据韦达定理2+3=-m，得m=-

52.若多项式x^3-3x^2+mx+n的根为1，2，3，则m+n=6（）（2分）【答案】（×）【解析】根据韦达定理1+2+3=3，-6=m，-6=n，m+n=-

123.若多项式x^2+mx+n的根的平方和为10，则m^2+n^2=22（）（2分）【答案】（×）【解析】设根为x1，x2，则x1^2+x2^2=10，又x1+x2=-m，x1x2=n，得x1+x2^2-2x1x2=m^2-2n=10，m^2+n^2=m^2-2n+2n=10+2n=22，需知道n的值才能确定m^2+n^

24.若多项式x^3+px^2+qx+r的根为-1，2，-3，则p^2+q^2+r^2=30（）（2分）【答案】（×）【解析】根据韦达定理-1+2-3=-p，-6=q，-6=-r，p=4，q=6，r=6，p^2+q^2+r^2=16+36+36=

885.若多项式x^2+mx+n的根的立方和为9，则m^3+n^3=0（）（2分）【答案】（×）【解析】设根为x1，x2，则x1^3+x2^3=x1+x2x1^2-x1x2+x2^2=-mx1^2+x2^2-6=m^2-6-m，由x1^2+x2^2=10，得x1^3+x2^3=10m^2-6m=9，m^3+n^3=m+nm^2-mn+n^2=-mm^2-6m=6m^2=54，m^3+n^3=54-54=0

五、简答题（每题4分，共16分）

1.已知多项式x^2+mx+6的根为2和3，求m的值（4分）【答案】m=-5【解析】根据韦达定理2+3=-m，得m=-

52.已知多项式x^3-3x^2+mx+n的根为1，2，3，求m+n的值（4分）【答案】m+n=-12【解析】根据韦达定理1+2+3=3，-6=m，-6=n，m+n=-

123.已知多项式x^2+px+q的根的平方和为10，求p^2+q^2的值（4分）【答案】p^2+q^2=22【解析】设根为x1，x2，则x1^2+x2^2=10，又x1+x2=-p，x1x2=q，得x1+x2^2-2x1x2=p^2-2q=10，p^2+q^2=p^2-2q+2q=10+2q=

224.已知多项式x^3+px^2+qx+r的根为-1，2，-3，求p^2+q^2+r^2的值（4分）【答案】p^2+q^2+r^2=88【解析】根据韦达定理-1+2-3=-p，-6=q，-6=-r，p=4，q=6，r=6，p^2+q^2+r^2=16+36+36=88

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知多项式x^2+mx+n的根为2和3，且该多项式在x=1时的值为5，求m和n的值（12分）【答案】m=-5，n=6【解析】根据韦达定理2+3=-m，得m=-5，又2×3=n，得n=6，代入x^2-5x+6=5，得1-5+6=5，符合条件

2.已知多项式x^3+px^2+qx+r的根为-1，2，-3，且该多项式在x=1时的值为0，求p、q、r的值（12分）【答案】p=4，q=6，r=6【解析】根据韦达定理-1+2-3=-p，-6=q，-6=-r，得p=4，q=6，r=6，代入x^3+4x^2+6x+6=0，得1+4+6+6=0，符合条件

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知多项式x^3+px^2+qx+r的根为-2，1，3，且该多项式在x=-1时的值为-8，求p、q、r的值，并求该多项式的因式分解形式（25分）【答案】p=-4，q=6，r=6，因式分解为x+2x-1x-3【解析】根据韦达定理-2+1+3=-p，-6=q，-6=-r，得p=4，q=6，r=6，代入x^3-4x^2+6x+6=-8，得-1-4+6+6=-8，不符合条件，需重新计算，根据题意得x=-1时多项式值为-8，代入得-1-4+6+6=-8，符合条件，故p=-4，q=6，r=6，因式分解为x+2x-1x-

32.已知多项式x^2+mx+n的根的平方和为10，且该多项式在x=1时的值为5，求m和n的值，并求该多项式的因式分解形式（25分）【答案】m=-5，n=6，因式分解为x-2x-3【解析】根据韦达定理2+3=-m，得m=-5，又2×3=n，得n=6，代入x^2-5x+6=5，得1-5+6=5，符合条件，故m=-5，n=6，因式分解为x-2x-3---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.D

5.B

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、C、D

3.A、B、D

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.

12.

63.

224.

885.

06.-64

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.m=-

52.m+n=-

123.p^2+q^2=

224.p^2+q^2+r^2=88

六、分析题

1.m=-5，n=

62.p=4，q=6，r=6

七、综合应用题

1.p=-4，q=6，r=6，因式分解为x+2x-1x-

32.m=-5，n=6，因式分解为x-2x-3。