杭州三模数学：探寻试题与答案踪迹

杭州三模数学探寻试题与答案踪迹

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数f′x的值域是（）（2分）A.-1,0B.0,1C.-∞,0D.0,∞【答案】B【解析】f′x=1/x+1，当x∈-1,0时，1/x+1∈0,

12.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{-1,3}D.{1,3}【答案】D【解析】A={1,2}，B为奇数集，A∩B={1,3}

3.已知向量a=1，√3，b=2cosθ，2sinθ，且a∥b，则θ的可能值是（）（2分）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】B【解析】由a∥b，得1×2sinθ=√3×2cosθ，即tanθ=√3，θ=π/

34.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】由z^2+z+1=0，得z=-1±√-3/2，又|z|=1，故z=i

5.已知某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积是（）（2分）（此处应有三视图图示，根据标准答案推断为圆锥体）A.πB.2πC.4πD.8π【答案】A【解析】由三视图可知为圆锥，底面半径为1，高为2，体积V=1/3πr^2h=π

6.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=1，则a+b+c的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f′x=3x^2-2ax+b，f′1=0，得3-2a+b=0；又f1=1，得1-a+b+c=1，联立解得a+b+c=

37.执行如图所示的程序框图（此处应有程序框图），若输入的n为正整数，则输出的S的值是（）（2分）（根据标准答案推断为累加1到n的和）A.nn+1/2B.n^2C.nn-1/2D.n+1^2【答案】A【解析】程序执行为1+2+…+n，即求前n项自然数和，S=nn+1/

28.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则cosB的值是（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】B【解析】由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB，代入数值解得cosB=√3/

29.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n，则a_5的值是（）（2分）A.25B.27C.29D.31【答案】D【解析】由a_n=a_{n-1}+2n，得a_n-a_{n-1}=2n，累加得a_n=1+22+3+…+n=1+2nn-1/2=n^2，a_5=

2510.已知直线l y=kx-1与圆C x^2+y^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的值是（）（2分）A.±√3/3B.±√3C.±√6/3D.±√2【答案】C【解析】圆心0,0到直线l的距离d=√4-√3^2=1，由d^2+\sqrt{3}^2=4，得k^2=6/3，k=±√6/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若fx是奇函数，则f0=0C.若△ABC是直角三角形，则其斜边上的高是斜边的一半D.若向量a=1，1，b=1，0，则a+b=2，1【答案】B、D【解析】A反例a=2，b=-1；C直角边长为1和√3的直角三角形斜边上的高为√3/

22.函数fx=√1-x^2在区间[-1，1]上的图象是（）（4分）A.半圆B.圆的一部分C.单调递减D.非奇非偶【答案】A、B【解析】定义域为[-1，1]，图象为上半单位圆

3.已知fx=x^2-2x+3，下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得最小值B.fx的图象开口向上C.fx的图象关于直线x=1对称D.fx在-∞，1上单调递减【答案】A、B、C【解析】fx=x-1^2+2，对称轴x=1，开口向上，顶点1，2为最小值

4.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的是（）（4分）A.a=3，b=4，c=5B.∠A=60°，a=1，b=2C.∠B=45°，∠C=75°，a=2D.∠C=90°，b=3，c=5【答案】A、C、D【解析】A满足勾股定理；B两边一对角不能确定三角形；C两角一边确定三角形；D直角三角形斜边和一直角边确定

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/n，则下列说法正确的有（）（4分）A.{a_n}是等差数列B.{a_n}是等比数列C.S_n=n^2D.a_n=n【答案】A、C、D【解析】由a_n=S_n/n，得S_n=na_n，代入递推关系解得a_n=n，S_n=n^2

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若函数fx=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-2，则a的值是______（4分）【答案】-3【解析】f′x=2x+2a，f′1=-2，解得a=-

32.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则cosA+cosB+cosC的值是______（4分）【答案】3/2【解析】cosA=3/4，cosB=√3/2，cosC=1/2，和为3/

23.已知fx=√x，x∈[1，16]，则fx的值域是______（4分）【答案】[1，4]【解析】取x=1和x=16时分别得最小值1和最大值

44.执行如图所示的程序框图（此处应有程序框图），若输入的n为5，则输出的S的值是______（4分）（根据标准答案推断为1+2+3+4+5=15）【答案】15【解析】程序执行为1+2+3+4+5，S=15

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则fx=ax^2+bx+c的图象开口方向一定向上（）（2分）【答案】（×）【解析】当a=0时，图象为直线

2.若复数z满足|z|=1，则z^2一定是纯虚数（）（2分）【答案】（×）【解析】z=1时，z^2=1，不是纯虚数

3.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x1x2∈I，都有fx1fx2（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义

4.若向量a=1，2，b=3，4，则a+b=4，6（）（2分）【答案】（√）【解析】向量加法分量对应相加

5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则{a_n}一定是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】代入递推关系验证成立

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的极值点（4分）【答案】x=1/2，x=2【解析】f′x=3x^2-6x+2，令f′x=0，解得x=1±√1/12，极值点为1/2和

22.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，求△ABC的面积（4分）【答案】√3/4【解析】cosB=√3/2，sinB=1/2，面积S=1/22√31/2=√3/

43.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n^2-S_{n-1}^2（n≥2），求a_5的值（4分）【答案】120【解析】由a_n=S_n^2-S_{n-1}^2，得a_n=S_n-S_{n-1}=a_{n-1}^2，递推求解得a_5=120

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间（10分）【答案】减区间-∞，1/2和2，+∞，增区间1/2，2【解析】f′x=3x^2-6x+2，令f′x=0，得x=1±√1/12，测试符号得单调区间

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n^2-S_{n-1}^2（n≥2），求证{a_n}是等比数列（10分）【答案】证明见解析【解析】由a_n=S_n^2-S_{n-1}^2，得a_n=S_n-S_{n-1}=a_{n-1}^2，递推关系a_n/a_{n-1}=a_{n-1}，是等比数列

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在区间[-2，3]上的最大值和最小值（25分）【答案】最大值2，最小值-16【解析】f′x=3x^2-6x+2，令f′x=0，得x=1±√1/12，测试端点和驻点得f-2=-16，f1/2=3/8，f2=0，最大值2，最小值-

162.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，求△ABC的内切圆半径r（25分）【答案】r=√3-1【解析】面积S=√3/4，周长s=2+√3+1/2，r=S/s=√3/4/3+√3/2=√3-1---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.B

4.C

5.A

6.C

7.A

8.B

9.D

10.C

二、多选题

1.B、D

2.A、B

3.A、B、C

4.A、C、D

5.A、C、D

三、填空题

1.-

32.3/

23.[1，4]

4.15

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.x=1/2，x=

22.√3/

43.120

六、分析题

1.减区间-∞，1/2和2，+∞，增区间1/2，

22.证明见解析

七、综合应用题

1.最大值2，最小值-

162.r=√3-1。