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文本内容:
杭州三模数学探寻试题与答案踪迹
一、单选题(每题2分,共20分)
1.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数f′x的值域是()(2分)A.-1,0B.0,1C.-∞,0D.0,∞【答案】B【解析】f′x=1/x+1,当x∈-1,0时,1/x+1∈0,
12.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=2k+1,k∈Z},则A∩B等于()(2分)A.{1}B.{2}C.{-1,3}D.{1,3}【答案】D【解析】A={1,2},B为奇数集,A∩B={1,3}
3.已知向量a=1,√3,b=2cosθ,2sinθ,且a∥b,则θ的可能值是()(2分)A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】B【解析】由a∥b,得1×2sinθ=√3×2cosθ,即tanθ=√3,θ=π/
34.若复数z满足|z|=1,且z^2+z+1=0,则z等于()(2分)A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】由z^2+z+1=0,得z=-1±√-3/2,又|z|=1,故z=i
5.已知某几何体的三视图如下图所示,该几何体的体积是()(2分)(此处应有三视图图示,根据标准答案推断为圆锥体)A.πB.2πC.4πD.8π【答案】A【解析】由三视图可知为圆锥,底面半径为1,高为2,体积V=1/3πr^2h=π
6.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+c在x=1处取得极值,且f1=1,则a+b+c的值是()(2分)A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f′x=3x^2-2ax+b,f′1=0,得3-2a+b=0;又f1=1,得1-a+b+c=1,联立解得a+b+c=
37.执行如图所示的程序框图(此处应有程序框图),若输入的n为正整数,则输出的S的值是()(2分)(根据标准答案推断为累加1到n的和)A.nn+1/2B.n^2C.nn-1/2D.n+1^2【答案】A【解析】程序执行为1+2+…+n,即求前n项自然数和,S=nn+1/
28.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=2,b=√3,c=1,则cosB的值是()(2分)A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】B【解析】由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB,代入数值解得cosB=√3/
29.已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_1=1,a_n=a_{n-1}+2n,则a_5的值是()(2分)A.25B.27C.29D.31【答案】D【解析】由a_n=a_{n-1}+2n,得a_n-a_{n-1}=2n,累加得a_n=1+22+3+…+n=1+2nn-1/2=n^2,a_5=
2510.已知直线l y=kx-1与圆C x^2+y^2=4相交于A、B两点,且|AB|=2√3,则k的值是()(2分)A.±√3/3B.±√3C.±√6/3D.±√2【答案】C【解析】圆心0,0到直线l的距离d=√4-√3^2=1,由d^2+\sqrt{3}^2=4,得k^2=6/3,k=±√6/3
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列命题中,正确的有()(4分)A.若ab,则a^2b^2B.若fx是奇函数,则f0=0C.若△ABC是直角三角形,则其斜边上的高是斜边的一半D.若向量a=1,1,b=1,0,则a+b=2,1【答案】B、D【解析】A反例a=2,b=-1;C直角边长为1和√3的直角三角形斜边上的高为√3/
22.函数fx=√1-x^2在区间[-1,1]上的图象是()(4分)A.半圆B.圆的一部分C.单调递减D.非奇非偶【答案】A、B【解析】定义域为[-1,1],图象为上半单位圆
3.已知fx=x^2-2x+3,下列说法正确的有()(4分)A.fx在x=1处取得最小值B.fx的图象开口向上C.fx的图象关于直线x=1对称D.fx在-∞,1上单调递减【答案】A、B、C【解析】fx=x-1^2+2,对称轴x=1,开口向上,顶点1,2为最小值
4.在△ABC中,下列条件能确定△ABC的是()(4分)A.a=3,b=4,c=5B.∠A=60°,a=1,b=2C.∠B=45°,∠C=75°,a=2D.∠C=90°,b=3,c=5【答案】A、C、D【解析】A满足勾股定理;B两边一对角不能确定三角形;C两角一边确定三角形;D直角三角形斜边和一直角边确定
5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_n=S_n/n,则下列说法正确的有()(4分)A.{a_n}是等差数列B.{a_n}是等比数列C.S_n=n^2D.a_n=n【答案】A、C、D【解析】由a_n=S_n/n,得S_n=na_n,代入递推关系解得a_n=n,S_n=n^2
三、填空题(每空2分,共16分)
1.若函数fx=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-2,则a的值是______(4分)【答案】-3【解析】f′x=2x+2a,f′1=-2,解得a=-
32.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=2,b=√3,c=1,则cosA+cosB+cosC的值是______(4分)【答案】3/2【解析】cosA=3/4,cosB=√3/2,cosC=1/2,和为3/
23.已知fx=√x,x∈[1,16],则fx的值域是______(4分)【答案】[1,4]【解析】取x=1和x=16时分别得最小值1和最大值
44.执行如图所示的程序框图(此处应有程序框图),若输入的n为5,则输出的S的值是______(4分)(根据标准答案推断为1+2+3+4+5=15)【答案】15【解析】程序执行为1+2+3+4+5,S=15
四、判断题(每题2分,共10分)
1.若ab,则fx=ax^2+bx+c的图象开口方向一定向上()(2分)【答案】(×)【解析】当a=0时,图象为直线
2.若复数z满足|z|=1,则z^2一定是纯虚数()(2分)【答案】(×)【解析】z=1时,z^2=1,不是纯虚数
3.若函数fx在区间I上单调递增,则对任意x1x2∈I,都有fx1fx2()(2分)【答案】(√)【解析】单调递增的定义
4.若向量a=1,2,b=3,4,则a+b=4,6()(2分)【答案】(√)【解析】向量加法分量对应相加
5.若数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2),则{a_n}一定是等差数列()(2分)【答案】(√)【解析】代入递推关系验证成立
五、简答题(每题4分,共12分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x,求fx的极值点(4分)【答案】x=1/2,x=2【解析】f′x=3x^2-6x+2,令f′x=0,解得x=1±√1/12,极值点为1/2和
22.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=2,b=√3,c=1,求△ABC的面积(4分)【答案】√3/4【解析】cosB=√3/2,sinB=1/2,面积S=1/22√31/2=√3/
43.已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_1=1,a_n=S_n^2-S_{n-1}^2(n≥2),求a_5的值(4分)【答案】120【解析】由a_n=S_n^2-S_{n-1}^2,得a_n=S_n-S_{n-1}=a_{n-1}^2,递推求解得a_5=120
六、分析题(每题10分,共20分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x,求fx的单调区间(10分)【答案】减区间-∞,1/2和2,+∞,增区间1/2,2【解析】f′x=3x^2-6x+2,令f′x=0,得x=1±√1/12,测试符号得单调区间
2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_1=1,a_n=S_n^2-S_{n-1}^2(n≥2),求证{a_n}是等比数列(10分)【答案】证明见解析【解析】由a_n=S_n^2-S_{n-1}^2,得a_n=S_n-S_{n-1}=a_{n-1}^2,递推关系a_n/a_{n-1}=a_{n-1},是等比数列
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x,求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值(25分)【答案】最大值2,最小值-16【解析】f′x=3x^2-6x+2,令f′x=0,得x=1±√1/12,测试端点和驻点得f-2=-16,f1/2=3/8,f2=0,最大值2,最小值-
162.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=2,b=√3,c=1,求△ABC的内切圆半径r(25分)【答案】r=√3-1【解析】面积S=√3/4,周长s=2+√3+1/2,r=S/s=√3/4/3+√3/2=√3-1---标准答案
一、单选题
1.B
2.D
3.B
4.C
5.A
6.C
7.A
8.B
9.D
10.C
二、多选题
1.B、D
2.A、B
3.A、B、C
4.A、C、D
5.A、C、D
三、填空题
1.-
32.3/
23.[1,4]
4.15
四、判断题
1.(×)
2.(×)
3.(√)
4.(√)
5.(√)
五、简答题
1.x=1/2,x=
22.√3/
43.120
六、分析题
1.减区间-∞,1/2和2,+∞,增区间1/2,
22.证明见解析
七、综合应用题
1.最大值2,最小值-
162.r=√3-1。
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