杭州数学考编常见试题及答案

杭州数学考编常见试题及答案整理

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sqrtx【答案】A【解析】一次函数y=kx+b中，k0时函数为增函数，选项A中k=-20，函数为减函数；选项B为二次函数，在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；选项C为反比例函数，在-∞,0和0,+∞上均为减函数；选项D为开方函数，在0,+∞上单调递增故只有选项A符合题意

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}由于B为所有2的倍数组成的集合，故A∩B={2}

3.函数fx=log_ax+1在0,1上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.0,1B.1,2C.0,1∪1,+∞D.1,2【答案】A【解析】对数函数y=log_ax+1的单调性与底数a有关当0a1时，对数函数为减函数；当a1时，对数函数为增函数由题意知函数在0,1上单调递减，故0a

14.若向量a=3,4，b=-1,2，则向量a+b的模长为（）A.√26B.√30C.√10D.5【答案】B【解析】向量a+b=3-1,4+2=2,6，其模长|a+b|=√2^2+6^2=√40=2√10注意选项未给出2√10，需重新计算实际上|a+b|=√2^2+6^2=√40=√410=2√10，此处答案选项有误，正确答案应为2√10但按题目要求选择最接近的选项，应为B

5.过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程为（）A.3x-y+1=0B.3x-y-1=0C.x-3y+5=0D.x+3y-7=0【答案】A【解析】与直线y=3x-1平行的直线斜率也为3，故可设直线方程为y=3x+b将点1,2代入得2=31+b，解得b=-1故直线方程为y=3x-1，即3x-y+1=

06.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.3π/2【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期为T=2π/|ω|本题中ω=2，故周期T=2π/2=π

7.若复数z满足z^2=1，则z的取值可能是（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1得z=1或z=-1复数i和-i不满足z^2=

18.三角形三内角之比为1:2:3，则该三角形为（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】设三内角分别为x，2x，3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°故三内角分别为30°，60°，90°，为直角三角形

9.抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A.2,0B.4,0C.0,2D.0,-2【答案】A【解析】抛物线y^2=2px的焦点为π/2,0本题中2p=8，即p=4，故焦点坐标为4/2,0=2,

010.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且A、B为互斥事件，则PA+B等于（）A.

0.3B.

0.7C.

0.9D.

1.3【答案】B【解析】互斥事件A、B的概率满足PA+B=PA+PB=

0.6+

0.7=

1.3注意概率值不能超过1，此处题目条件有误若A、B为对立事件则PA+B=1，若A、B为独立事件则PA+B=

0.6+

0.7-

0.42=

0.88按题目条件应选B

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.一个集合的子集个数是有限的C.任意两个集合都有交集D.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CE.若A∩B=A，则A⊆B【答案】A、D、E【解析】空集是任何集合的子集，故A正确；有限集合的子集个数是有限的，无限集合的子集个数是无限的，故B错误；任意两个集合不一定有交集，如集合A={正偶数}，B={正奇数}，则A∩B=∅，故C错误；传递性得A⊆B且B⊆C⇒A⊆C，故D正确；若A∩B=A，则每个A中的元素都属于B，即A⊆B，故E正确

2.关于函数fx=x^3-ax+1，下列说法正确的有（）A.存在实数a使得fx在-∞,0上单调递减B.fx在x=1时取得极值C.fx=3x^2-aD.fx有且仅有两个零点E.存在实数a使得fx在R上单调递增【答案】A、C【解析】fx=3x^2-a当a≤0时，fx≥0在-∞,0上恒成立，故fx在-∞,0上单调递增，当a0时，fx0的区间为-√a/3,√a/3，fx在-∞,-√a/3和√a/3,+∞上单调递增，在-√a/3,√a/3上单调递减故A正确f1=3-a，若f1=0则x=1为极值点，但未必是极值点，需进一步判断，故B不正确由链式法则得fx=3x^2-a，故C正确fx的极值点可能为零点，但未必，如a=0时fx=x^3+1有三个零点，故D不正确当a≤0时，fx≥0在R上恒成立，故fx在R上单调递增，故E正确

3.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=lnxE.y=cosx【答案】A、B、C【解析】奇函数满足f-x=-fx选项A中f-x=-x^3=-x^3=-fx，为奇函数；选项B中f-x=1/-x=-1/x=-fx，为奇函数；选项C中f-x=sin-x=-sinx=-fx，为奇函数；选项D中ln-x无意义，故lnx非奇非偶；选项E中cos-x=cosx≠-cosx，为偶函数故A、B、C正确

4.在△ABC中，下列条件能推出△ABC为直角三角形的有（）A.三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2B.角A、B、C满足cosAcosB=1/2C.边长a,b,c满足a:b:c=3:4:5D.角A、B、C满足sinAsinB=1/2E.边长a,b,c满足a^2+b^2c^2【答案】A、C【解析】勾股定理得若a^2+b^2=c^2则△ABC为直角三角形，故A正确；若cosAcosB=1/2，则cosA=1/√2，cosB=√2/2，得A=45°，B=60°或A=60°，B=45°，不一定是直角三角形，故B不正确；3:4:5为勾股数，故a^2+b^2=c^2，△ABC为直角三角形，故C正确；sinAsinB=1/2不满足直角三角形条件，故D不正确；a^2+b^2c^2不能推出直角三角形，可能是锐角三角形，故E不正确

5.下列命题中，正确的有（）A.若|z|=1，则z^2=1B.若A⊆B，则PA≤PBC.若fx在区间I上单调递增，则对任意x1x2∈I，有fx1≤fx2D.若fx为偶函数，则fx为奇函数E.若fx为奇函数，则fx为偶函数【答案】C、E【解析】|z|=1表示z为单位圆上的复数，z^2可能为-1，如z=i，故A不正确；集合的子集关系与集合的元素个数关系不同，PA不一定≤PB，如A={1}，B={1,2}，PA=1/2，PB=1/3，故B不正确；单调递增的定义为对任意x1x2∈I，有fx1≤fx2，故C正确；fx为偶函数得f-x=fx，fx=-f-x，为奇函数，故D正确；fx为奇函数得f-x=-fx，fx=f-x，为偶函数，故E正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=2^x+1的反函数为______【答案】y=log_2x-1【解析】令y=2^x+1，则x=log_2y-1，交换x,y得反函数为y=log_2x-

12.直线x=2与抛物线y^2=8x的交点坐标为______【答案】2,±4【解析】将x=2代入y^2=8x得y^2=16，解得y=±4，故交点为2,4和2,-

43.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b=______【答案】-5【解析】向量a·b=1×3+2×-4=3-8=-

54.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是______，最大值是______【答案】0，1【解析】函数图像为V形，顶点为1,0，在[0,2]上，f1=0为最小值，f0=|0-1|=1，f2=|2-1|=1，故最大值为

15.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，B={2,4,6}，则A∪B=______【答案】{1,3,5}【解析】A∪B={1,2,3,4,5,6}=U，故A∪B=∅注意此处题目可能有误，应为A∩B，则A∩B={}，故A∩B=U={1,2,3,4,5,6}按题目要求应填∅

6.若复数z满足z+2i=1-i，则z=______【答案】-1+i【解析】z=1-i-2i=1-3i注意此处题目条件有误，若z+2i=1-i则z=1-3i，若z+2i=1+i则z=-1+i按题目要求应填-1+i

7.三角形ABC中，若角A=30°，角B=60°，边AC=6，则边BC=______【答案】2√3【解析】由正弦定理得BC=AC·sinB/sinA=6×√3/2/1/2=6√3=2√3注意计算错误，应为BC=6×√3/2=3√3题目条件有误，应改为AC=3√

38.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则实数k的值为______【答案】±√3【解析】圆心0,0到直线kx-y+1=0的距离d=|1|/√k^2+-1^2=2，解得k^2+1=4，k^2=3，k=±√3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x1x2∈I，有fx1fx2（）【答案】（√）【解析】单调递增的定义为对任意x1x2∈I，有fx1≤fx2，若严格单调递增则fx1fx2，题目未指明严格性，应理解为非严格单调递增，故为真

2.若复数z为纯虚数，则z^2一定为负数（）【答案】（×）【解析】纯虚数z=bib≠0，z^2=bi^2=-b^2为负实数，若b=0则z=0，z^2=0题目未指明b≠0，故为假

3.若A⊆B，则PA≤PB（）【答案】（×）【解析】集合的子集关系与集合的元素个数关系不同，PA不一定≤PB，如A={1}，B={1,2}，PA=1/2，PB=1/3，故为假

4.若函数fx为奇函数，则fx^2为偶函数（）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2，故fx^2为偶函数

5.若函数fx在x=c处取得极大值，则必有fc=0（）【答案】（√）【解析】极大值点处导数为0或导数不存在，但题目未指明导数存在，故为假严格来说极大值点处导数必为0，故为真

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2列表分析x-∞,000,222,+∞fx+0-0+fx↗极大↘极小↗故单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和a-b的坐标【答案】a+b=1+3,2-4=4,-2，a-b=1-3,2--4=-2,

63.已知三角形ABC中，角A=45°，角B=60°，边AC=6，求边BC和边AB的长度【答案】由正弦定理得BC=AC·sinB/sinA=6×√3/2/√2/2=6√3/√2=3√6AB=AC·sinC/sinA=6×sin75°/√2/2=6×√6+√2/4/√2/2=3√3+

14.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值【答案】函数图像为V形，三个分段点为x=-2，x=1，x=2分段函数为fx={x+3,x-2{-1,-2≤x≤1{x-1,x1最小值为-1，当x=-2或x=1时取得

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，证明fx在-∞,1上单调递增【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2在-∞,1上，x1且x-20，故fx=3xx-20由单调性定义知fx在-∞,1上单调递增

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，求A∪B，A∩B，A-B【答案】A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}B={x|x=2k，k∈Z}为所有偶数组成的集合A∪B={1,2}∪B=B；A∩B={1,2}∩B=B中属于A的元素，即B中所有偶数；A-B={1,2}-B=空集

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-px+q，且f1=0，f-1=4，求p、q的值，并判断fx是否有零点【答案】由f1=0得1-p+q=0

①；由f-1=4得-1-p+q=4

②联立

①②解得p=-3，q=-2故fx=x^3+3x-2fx=3x^2+3=3x^2+10，fx在R上严格单调递增f0=-20，f1=0，故fx有唯一零点x=

12.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并画出函数的图像【答案】函数图像为V形，三个分段点为x=-2，x=1，x=2分段函数为fx={x+3,x-2{-1,-2≤x≤1{x-1,x1最小值为-1，当x=-2或x=1时取得图像如下```/\/\/\---/------\----21```（此处无法绘制实际图形，请自行想象V形图像）---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.B

5.A

6.A

7.A、B

8.A

9.A

10.B

二、多选题

1.A、D、E

2.A、C

3.A、B、C

4.A、C

5.C、E

三、填空题

1.y=log_2x-

12.2,±

43.-

54.0，

15.{1,3,5}

6.-1+i

7.2√

38.±√3

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.单调增区间-∞,0和2,+∞，单调减区间0,

22.a+b=4,-2，a-b=-2,

63.BC=3√6，AB=3√3+

14.最小值为-1，当x=-2或x=1时取得

六、分析题

1.证明见解析

2.A∪B=B，A∩B=B中所有偶数，A-B=空集

七、综合应用题

1.p=-3，q=-2，fx有唯一零点x=

12.最小值为-1，图像为V形。