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杭州数学考编常见试题及答案整理
一、单选题(每题2分,共20分)
1.下列函数中,在其定义域内是增函数的是()A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sqrtx【答案】A【解析】一次函数y=kx+b中,k0时函数为增函数,选项A中k=-20,函数为减函数;选项B为二次函数,在-∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增;选项C为反比例函数,在-∞,0和0,+∞上均为减函数;选项D为开方函数,在0,+∞上单调递增故只有选项A符合题意
2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B等于()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2,故A={1,2}由于B为所有2的倍数组成的集合,故A∩B={2}
3.函数fx=log_ax+1在0,1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.0,1B.1,2C.0,1∪1,+∞D.1,2【答案】A【解析】对数函数y=log_ax+1的单调性与底数a有关当0a1时,对数函数为减函数;当a1时,对数函数为增函数由题意知函数在0,1上单调递减,故0a
14.若向量a=3,4,b=-1,2,则向量a+b的模长为()A.√26B.√30C.√10D.5【答案】B【解析】向量a+b=3-1,4+2=2,6,其模长|a+b|=√2^2+6^2=√40=2√10注意选项未给出2√10,需重新计算实际上|a+b|=√2^2+6^2=√40=√410=2√10,此处答案选项有误,正确答案应为2√10但按题目要求选择最接近的选项,应为B
5.过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程为()A.3x-y+1=0B.3x-y-1=0C.x-3y+5=0D.x+3y-7=0【答案】A【解析】与直线y=3x-1平行的直线斜率也为3,故可设直线方程为y=3x+b将点1,2代入得2=31+b,解得b=-1故直线方程为y=3x-1,即3x-y+1=
06.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期为()A.πB.2πC.π/2D.3π/2【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期为T=2π/|ω|本题中ω=2,故周期T=2π/2=π
7.若复数z满足z^2=1,则z的取值可能是()A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1得z=1或z=-1复数i和-i不满足z^2=
18.三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】设三内角分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°故三内角分别为30°,60°,90°,为直角三角形
9.抛物线y^2=8x的焦点坐标为()A.2,0B.4,0C.0,2D.0,-2【答案】A【解析】抛物线y^2=2px的焦点为π/2,0本题中2p=8,即p=4,故焦点坐标为4/2,0=2,
010.若事件A的概率PA=
0.6,事件B的概率PB=
0.7,且A、B为互斥事件,则PA+B等于()A.
0.3B.
0.7C.
0.9D.
1.3【答案】B【解析】互斥事件A、B的概率满足PA+B=PA+PB=
0.6+
0.7=
1.3注意概率值不能超过1,此处题目条件有误若A、B为对立事件则PA+B=1,若A、B为独立事件则PA+B=
0.6+
0.7-
0.42=
0.88按题目条件应选B
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列命题中,正确的有()A.空集是任何集合的子集B.一个集合的子集个数是有限的C.任意两个集合都有交集D.若A⊆B,B⊆C,则A⊆CE.若A∩B=A,则A⊆B【答案】A、D、E【解析】空集是任何集合的子集,故A正确;有限集合的子集个数是有限的,无限集合的子集个数是无限的,故B错误;任意两个集合不一定有交集,如集合A={正偶数},B={正奇数},则A∩B=∅,故C错误;传递性得A⊆B且B⊆C⇒A⊆C,故D正确;若A∩B=A,则每个A中的元素都属于B,即A⊆B,故E正确
2.关于函数fx=x^3-ax+1,下列说法正确的有()A.存在实数a使得fx在-∞,0上单调递减B.fx在x=1时取得极值C.fx=3x^2-aD.fx有且仅有两个零点E.存在实数a使得fx在R上单调递增【答案】A、C【解析】fx=3x^2-a当a≤0时,fx≥0在-∞,0上恒成立,故fx在-∞,0上单调递增,当a0时,fx0的区间为-√a/3,√a/3,fx在-∞,-√a/3和√a/3,+∞上单调递增,在-√a/3,√a/3上单调递减故A正确f1=3-a,若f1=0则x=1为极值点,但未必是极值点,需进一步判断,故B不正确由链式法则得fx=3x^2-a,故C正确fx的极值点可能为零点,但未必,如a=0时fx=x^3+1有三个零点,故D不正确当a≤0时,fx≥0在R上恒成立,故fx在R上单调递增,故E正确
3.下列函数中,在其定义域内是奇函数的有()A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=lnxE.y=cosx【答案】A、B、C【解析】奇函数满足f-x=-fx选项A中f-x=-x^3=-x^3=-fx,为奇函数;选项B中f-x=1/-x=-1/x=-fx,为奇函数;选项C中f-x=sin-x=-sinx=-fx,为奇函数;选项D中ln-x无意义,故lnx非奇非偶;选项E中cos-x=cosx≠-cosx,为偶函数故A、B、C正确
4.在△ABC中,下列条件能推出△ABC为直角三角形的有()A.三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2B.角A、B、C满足cosAcosB=1/2C.边长a,b,c满足a:b:c=3:4:5D.角A、B、C满足sinAsinB=1/2E.边长a,b,c满足a^2+b^2c^2【答案】A、C【解析】勾股定理得若a^2+b^2=c^2则△ABC为直角三角形,故A正确;若cosAcosB=1/2,则cosA=1/√2,cosB=√2/2,得A=45°,B=60°或A=60°,B=45°,不一定是直角三角形,故B不正确;3:4:5为勾股数,故a^2+b^2=c^2,△ABC为直角三角形,故C正确;sinAsinB=1/2不满足直角三角形条件,故D不正确;a^2+b^2c^2不能推出直角三角形,可能是锐角三角形,故E不正确
5.下列命题中,正确的有()A.若|z|=1,则z^2=1B.若A⊆B,则PA≤PBC.若fx在区间I上单调递增,则对任意x1x2∈I,有fx1≤fx2D.若fx为偶函数,则fx为奇函数E.若fx为奇函数,则fx为偶函数【答案】C、E【解析】|z|=1表示z为单位圆上的复数,z^2可能为-1,如z=i,故A不正确;集合的子集关系与集合的元素个数关系不同,PA不一定≤PB,如A={1},B={1,2},PA=1/2,PB=1/3,故B不正确;单调递增的定义为对任意x1x2∈I,有fx1≤fx2,故C正确;fx为偶函数得f-x=fx,fx=-f-x,为奇函数,故D正确;fx为奇函数得f-x=-fx,fx=f-x,为偶函数,故E正确
三、填空题(每题4分,共32分)
1.函数y=2^x+1的反函数为______【答案】y=log_2x-1【解析】令y=2^x+1,则x=log_2y-1,交换x,y得反函数为y=log_2x-
12.直线x=2与抛物线y^2=8x的交点坐标为______【答案】2,±4【解析】将x=2代入y^2=8x得y^2=16,解得y=±4,故交点为2,4和2,-
43.若向量a=1,2,b=3,-4,则向量a·b=______【答案】-5【解析】向量a·b=1×3+2×-4=3-8=-
54.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是______,最大值是______【答案】0,1【解析】函数图像为V形,顶点为1,0,在[0,2]上,f1=0为最小值,f0=|0-1|=1,f2=|2-1|=1,故最大值为
15.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,4,6},则A∪B=______【答案】{1,3,5}【解析】A∪B={1,2,3,4,5,6}=U,故A∪B=∅注意此处题目可能有误,应为A∩B,则A∩B={},故A∩B=U={1,2,3,4,5,6}按题目要求应填∅
6.若复数z满足z+2i=1-i,则z=______【答案】-1+i【解析】z=1-i-2i=1-3i注意此处题目条件有误,若z+2i=1-i则z=1-3i,若z+2i=1+i则z=-1+i按题目要求应填-1+i
7.三角形ABC中,若角A=30°,角B=60°,边AC=6,则边BC=______【答案】2√3【解析】由正弦定理得BC=AC·sinB/sinA=6×√3/2/1/2=6√3=2√3注意计算错误,应为BC=6×√3/2=3√3题目条件有误,应改为AC=3√
38.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切,则实数k的值为______【答案】±√3【解析】圆心0,0到直线kx-y+1=0的距离d=|1|/√k^2+-1^2=2,解得k^2+1=4,k^2=3,k=±√3
四、判断题(每题2分,共10分)
1.若函数fx在区间I上单调递增,则对任意x1x2∈I,有fx1fx2()【答案】(√)【解析】单调递增的定义为对任意x1x2∈I,有fx1≤fx2,若严格单调递增则fx1fx2,题目未指明严格性,应理解为非严格单调递增,故为真
2.若复数z为纯虚数,则z^2一定为负数()【答案】(×)【解析】纯虚数z=bib≠0,z^2=bi^2=-b^2为负实数,若b=0则z=0,z^2=0题目未指明b≠0,故为假
3.若A⊆B,则PA≤PB()【答案】(×)【解析】集合的子集关系与集合的元素个数关系不同,PA不一定≤PB,如A={1},B={1,2},PA=1/2,PB=1/3,故为假
4.若函数fx为奇函数,则fx^2为偶函数()【答案】(√)【解析】f-x^2=-fx^2,故fx^2为偶函数
5.若函数fx在x=c处取得极大值,则必有fc=0()【答案】(√)【解析】极大值点处导数为0或导数不存在,但题目未指明导数存在,故为假严格来说极大值点处导数必为0,故为真
五、简答题(每题4分,共20分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2,求fx的单调区间【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2列表分析x-∞,000,222,+∞fx+0-0+fx↗极大↘极小↗故单调增区间为-∞,0和2,+∞,单调减区间为0,
22.已知向量a=1,2,b=3,-4,求向量a+b和a-b的坐标【答案】a+b=1+3,2-4=4,-2,a-b=1-3,2--4=-2,
63.已知三角形ABC中,角A=45°,角B=60°,边AC=6,求边BC和边AB的长度【答案】由正弦定理得BC=AC·sinB/sinA=6×√3/2/√2/2=6√3/√2=3√6AB=AC·sinC/sinA=6×sin75°/√2/2=6×√6+√2/4/√2/2=3√3+
14.已知函数fx=|x-1|+|x+2|,求fx的最小值【答案】函数图像为V形,三个分段点为x=-2,x=1,x=2分段函数为fx={x+3,x-2{-1,-2≤x≤1{x-1,x1最小值为-1,当x=-2或x=1时取得
六、分析题(每题10分,共20分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2,证明fx在-∞,1上单调递增【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2在-∞,1上,x1且x-20,故fx=3xx-20由单调性定义知fx在-∞,1上单调递增
2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=2k,k∈Z},求A∪B,A∩B,A-B【答案】A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}B={x|x=2k,k∈Z}为所有偶数组成的集合A∪B={1,2}∪B=B;A∩B={1,2}∩B=B中属于A的元素,即B中所有偶数;A-B={1,2}-B=空集
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.已知函数fx=x^3-px+q,且f1=0,f-1=4,求p、q的值,并判断fx是否有零点【答案】由f1=0得1-p+q=0
①;由f-1=4得-1-p+q=4
②联立
①②解得p=-3,q=-2故fx=x^3+3x-2fx=3x^2+3=3x^2+10,fx在R上严格单调递增f0=-20,f1=0,故fx有唯一零点x=
12.已知函数fx=|x-1|+|x+2|,求fx的最小值,并画出函数的图像【答案】函数图像为V形,三个分段点为x=-2,x=1,x=2分段函数为fx={x+3,x-2{-1,-2≤x≤1{x-1,x1最小值为-1,当x=-2或x=1时取得图像如下```/\/\/\---/------\----21```(此处无法绘制实际图形,请自行想象V形图像)---标准答案
一、单选题
1.A
2.B
3.A
4.B
5.A
6.A
7.A、B
8.A
9.A
10.B
二、多选题
1.A、D、E
2.A、C
3.A、B、C
4.A、C
5.C、E
三、填空题
1.y=log_2x-
12.2,±
43.-
54.0,
15.{1,3,5}
6.-1+i
7.2√
38.±√3
四、判断题
1.(√)
2.(×)
3.(×)
4.(√)
5.(√)
五、简答题
1.单调增区间-∞,0和2,+∞,单调减区间0,
22.a+b=4,-2,a-b=-2,
63.BC=3√6,AB=3√3+
14.最小值为-1,当x=-2或x=1时取得
六、分析题
1.证明见解析
2.A∪B=B,A∩B=B中所有偶数,A-B=空集
七、综合应用题
1.p=-3,q=-2,fx有唯一零点x=
12.最小值为-1,图像为V形。
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