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永城高考数学题目与答案呈现
一、单选题
1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},若B⊆A,则实数a的取值集合为()(2分)A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】集合A={1,2},当B⊆A时,B可能为空集,此时方程x^2-ax+1=0无实根,Δ=a^2-4<0,解得-2<a<2;当B={1}时,代入方程得a=2;当B={2}时,代入方程得a=4(舍去)综上,a的取值范围是-2,2]∪{2},即实数a的取值集合为{1,2}
2.函数fx=sin2x+φ在区间[0,π/2]上是增函数,则φ的取值范围是()(2分)A.[-π/2,π/2]B.[-π/4,π/4]C.[-3π/4,π/4]D.[-π/2,0]【答案】D【解析】函数fx=sin2x+φ在区间[0,π/2]上是增函数,则2x+φ在[φ,π+φ]上为增函数,即φ≤2x+φ≤π+φ在[0,π/2]上恒成立,解得-π/2≤φ≤
03.若复数z满足|z|=1,且z^2+z+1=0,则z=()(2分)A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】由z^2+z+1=0得z^3=1,结合|z|=1,得z=-i
4.等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_1=1,a_3=7,则S_9=()(2分)A.81B.108C.135D.162【答案】C【解析】由等差数列性质得a_3=a_1+2d=7,解得d=3,则S_9=9a_1+9×8d/2=9+9×8×3=
1355.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a^2+b^2-c^2=ab,则角C的大小为()(2分)A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2,解得C=60°
6.某校高三年级有1000名学生,为了解他们的视力情况,随机抽取了100名学生进行调查,调查结果显示有10名学生视力不良若用样本估计总体,则该校高三年级视力不良的学生约有()(2分)A.100人B.1000人C.100人D.90人【答案】A【解析】由样本估计总体,该校高三年级视力不良的学生约有1000×10/100=100人
7.执行如图所示的程序框图,若输入的x=3,则输出的y=()(2分)【答案】2【解析】当x=3时,满足条件x1,执行循环体,y=y+1=0+1=1,x=x/2=3/2,不满足条件x1,退出循环,输出y=
18.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的最大值与最小值分别为M和m,则M+m=()(2分)A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-6x,令fx=0得x=0或x=2,f-1=-4,f0=2,f2=-2,f4=18,故M=18,m=-4,M+m=
149.在直角坐标系xOy中,点A1,2,点B在直线l:x-y+1=0上,则|AB|的最小值为()(2分)A.√2B.√5C.2D.3【答案】A【解析】点A到直线l的距离d=|1-2+1|/√2=√2,即|AB|的最小值为√
210.若向量a=1,m,b=3,1,且a//b,则m=()(2分)A.3B.1/3C.1D.2【答案】B【解析】由向量平行条件得1×1=3×m,解得m=1/3
二、多选题(每题4分,共20分)
1.以下命题中,正确的是()A.底面是正方形的平行六面体是正方体B.若α是第二象限角,则tanα0C.函数y=|x|在区间[-1,1]上的最小值是0D.若直线l与平面α平行,则l与α内的所有直线都平行【答案】C【解析】A错误,底面是正方形的平行六面体不一定是正方体;B错误,第二象限角tanα0;C正确,函数y=|x|在区间[-1,1]上的最小值是0;D错误,直线l与平面α平行,则l与α内的直线可能相交或异面
2.下列函数中,在其定义域内是奇函数的是()A.y=x^3B.y=1/xC.y=|x|D.y=sinx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fxA选项,y=x^3,f-x=-x^3=-x^3=-fx,是奇函数;B选项,y=1/x,f-x=1/-x=-1/x=-fx,是奇函数;C选项,y=|x|,f-x=|-x|=|x|=fx,是偶函数;D选项,y=sinx,f-x=sin-x=-sinx=-fx,是奇函数
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a:b:c=3:4:5,则下列结论正确的是()A.sinA:sinB:sinC=3:4:5B.cosAcosBC.△ABC是直角三角形D.△ABC是锐角三角形【答案】A、C【解析】由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:4:5;由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=1/20,故A90°,△ABC是钝角三角形
4.函数fx=x^2-2ax+1在区间[1,3]上的最小值是-3,则实数a的取值范围是()A.a1B.a3C.a=2D.a=4【答案】A、B【解析】fx=x-a^2+1-a^2,对称轴x=a当a≤1时,fx在[1,3]上单调递增,最小值f1=-3,解得a=-1;当a≥3时,fx在[1,3]上单调递减,最小值f3=-3,解得a=5;当1a3时,最小值fa=-3,解得a=2√2综上,a1或a
35.在等比数列{a_n}中,a_1=1,a_4=16,则下列结论正确的是()A.a_3=8B.S_6=63C.a_5=32D.a_7=128【答案】A、C、D【解析】由等比数列性质得a_4=a_1q^3=16,解得q=2故a_3=a_1q^2=4,S_6=a_11-q^6/1-q=63,a_5=a_1q^4=16,a_7=a_1q^6=64
三、填空题(每题4分,共32分)
1.已知集合A={x|0x2},B={x|x^2-3x+20},则A∪B=______(4分)【答案】0,
22.若复数z=3+i/1-i,则|z|=______(4分)【答案】√
103.等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_1=2,d=3,则S_10=______(4分)【答案】
1554.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=3,b=4,c=5,则cosB=______(4分)【答案】3/
55.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为______(4分)【答案】e-
16.某校高三年级有10个班级,每个班级有50名学生,为了解他们的身高情况,随机抽取了2个班级的所有学生进行调查,这种抽样方法称为______抽样(4分)【答案】分层
7.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的最大值与最小值分别为M和m,则M-m=______(4分)【答案】
208.在直角坐标系xOy中,点A1,2,点B在直线l:x-y+1=0上,则|AB|的最大值为______(4分)【答案】√10
四、判断题(每题2分,共20分)
1.若ab,则a^2b^2()【答案】(×)【解析】反例如a=1,b=-2,则ab,但a^2=1,b^2=4,a^2b^
22.函数y=cosx+π/2是奇函数()【答案】(√)【解析】y=cosx+π/2=-sinx,-sin-x=sinx,满足f-x=-fx,是奇函数
3.若向量a=1,1,b=1,-1,则a+b=2,0()【答案】(√)【解析】a+b=1,1+1,-1=2,
04.若直线l与平面α平行,则l与α内的所有直线都平行()【答案】(×)【解析】直线l与平面α平行,则l与α内的直线可能相交或异面
5.等比数列{a_n}中,若a_1=a,q≠1,则S_n=a1-q^n/1-q()【答案】(√)【解析】等比数列前n项和公式为S_n=a1-q^n/1-q
6.三角形的三条高线交于一点,该点称为三角形的垂心()【答案】(√)【解析】三角形的三条高线交于一点,该点称为三角形的垂心
7.函数y=x^2在区间[-1,1]上是减函数()【答案】(×)【解析】函数y=x^2在区间[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数
8.样本容量越大,样本估计总体的误差越小()【答案】(√)【解析】样本容量越大,样本估计总体的误差越小
9.若ab,则log_ablog_ba()【答案】(×)【解析】反例如a=1/2,b=1/4,则ab,但log_1/21/4=-2,log_1/41/2=-1/2,log_ablog_ba
10.圆的切线与过切点的半径垂直()【答案】(√)【解析】圆的切线与过切点的半径垂直
五、简答题(每题5分,共15分)
1.已知函数fx=x^2-2x+3,求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值【答案】fx在区间[1,3]上的最大值为4,最小值为2【解析】fx=x-1^2+2,对称轴x=1当x=1时,fx取最小值2;当x=3时,fx取最大值
42.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_1=2,d=3,求a_10【答案】a_10=35【解析】a_n=a_1+n-1d=2+10-1×3=
353.已知函数fx=sin2x+φ在区间[0,π/2]上是增函数,求φ的取值范围【答案】φ的取值范围是[-π/2,π/2]【解析】函数fx=sin2x+φ在区间[0,π/2]上是增函数,则2x+φ在[φ,π+φ]上为增函数,即φ≤2x+φ≤π+φ在[0,π/2]上恒成立,解得-π/2≤φ≤0
六、分析题(每题10分,共20分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2,求fx的极值点【答案】fx的极大值点为x=1,极小值点为x=2【解析】fx=3x^2-6x,令fx=0得x=0或x=2当x0时,fx0,fx单调递增;当0x2时,fx0,fx单调递减;当x2时,fx0,fx单调递增故x=1为极大值点,x=2为极小值点
2.已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a:b:c=3:4:5,求cosA和cosB的值【答案】cosA=3/5,cosB=4/5【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=3/5,cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/2×3×5=4/5
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.某工厂生产一种产品,已知该产品的成本函数为Cx=1000+50x,收入函数为Rx=80x-
0.02x^2,其中x为产品产量(单位件)求该产品的边际成本、边际收入和边际利润【答案】边际成本为50,边际收入为80-
0.04x,边际利润为30-
0.04x【解析】边际成本为成本函数的导数,即Cx=50;边际收入为收入函数的导数,即Rx=80-
0.04x;边际利润为边际收入减去边际成本,即80-
0.04x-50=30-
0.04x
2.某班级有50名学生,为了解他们的视力情况,随机抽取了10名学生进行调查,调查结果显示有2名学生视力不良若用样本估计总体,则该班级视力不良的学生约有多少人?这种抽样方法是什么?【答案】该班级视力不良的学生约有10人,这种抽样方法是简单随机抽样【解析】由样本估计总体,该班级视力不良的学生约有50×2/10=10人这种抽样方法是简单随机抽样,因为每个学生被抽到的概率相等。
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