河南全国乙卷考试题目与答案解析

河南全国乙卷考试题目与答案解析

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列物质中，不属于纯净物的是（）（1分）A.氧气B.盐酸C.干冰D.碳酸钙【答案】B【解析】盐酸是氯化氢的水溶液，属于混合物，其他选项均为纯净物

2.函数fx=x³-3x+2的单调递增区间是（）（1分）A.-∞,-1B.-1,1C.1,+∞D.-∞,-1∪1,+∞【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx0，解得x1或x-1，故单调递增区间为1,+∞

3.已知集合A={x|x²-x-60}，B={x|2x4}，则A∩B=（）（1分）A.-∞,-2∪3,+∞B.-2,3C.2,4D.-2,-1∪3,4【答案】C【解析】A={x|x-2或x3}，A∩B=2,

44.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a,b∈R），则a+b=（）（1分）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】z²=-2i，代入方程得-2i+ai+b=0，即a+b=

05.已知点Px,y在圆x²+y²=4上，则点P到直线x+y-1=0的距离最大值为（）（1分）A.1B.√2C.2D.3【答案】D【解析】圆心0,0到直线的距离为d=|0+0-1|/√2=√2/2，最大距离为2+√2/2=

36.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，则a₇=（）（1分）A.9B.12C.15D.18【答案】C【解析】S₃=3a₁+3d=9，S₆=6a₁+15d=36，解得a₁=3，d=2，a₇=3+6×2=

157.已知函数fx=sinωx+φ（ω0，|φ|π/2），其最小正周期为π，且f0=1，则φ=（）（1分）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】A【解析】周期T=2π/ω=π，ω=2，f0=sinφ=1，故φ=π/

68.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+a+1y+4=0平行，则a=（）（1分）A.-2B.1C.-2或1D.0【答案】A【解析】两直线平行，斜率相等，即aa+1=2，解得a=-2或a=1，但需满足常数项不成比例，故a=-

29.已知三棱锥P-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，若将底面ABC扩大为2S，高变为h/2，则新三棱锥的体积为（）（1分）A.VB.2VC.V/2D.4V【答案】B【解析】新体积V=2S×h/2×1/3=V×

210.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值为（）（1分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是？（）（4分）A.若a²=b²，则a=bB.若ab，则a²b²C.若ab，则1/a1/bD.若a+b2，则a1或b1【答案】C、D【解析】A错误，如a=-1，b=1；B错误，如a=1，b=-2；C正确，a,b0时成立；D正确，反证法可证

2.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=（）（4分）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A、D【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=3，但需验证极值，a=3时fx=3x-1x+1，x=1为极值点；a=-2时fx=3xx-√2x+√2，x=1也为极值点

3.已知圆C₁:x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂:x²+y²+4x-6y+k=0相切，则k=（）（4分）A.-13B.13C.-15D.15【答案】A、C【解析】C₁:x-1²+y+2²=8，圆心1,-2，半径2√2；C₂:x+2²+y-3²=13+k，圆心-2,3，半径√13+k，两圆外切，|-2-1|²+3+2²=2√2+√13+k²，解得k=-13或k=-

154.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=7，S₆=63，则公比q=（）（4分）A.2B.3C.-2D.-3【答案】B、D【解析】S₃=a₁1-q³/1-q=7，S₆=a₁1-q⁶/1-q=63，S₆/S₃=1-q⁶/1-q³=9，1+q³=9，q³=8或q³=-8，故q=2或q=-

25.已知函数fx=eˣ-kx在0,+∞上单调递增，则k的取值范围是（）（4分）A.k≤0B.k≤1C.keD.k≤e【答案】C、D【解析】fx=eˣ-k，fx≥0在0,+∞上恒成立，即eˣ≥k，当x=0时，e⁰=1≥k，故k≤1，又eˣ随x增大而增大，k≤e

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=logₐ|x|在-∞,0上单调递减，则a的取值范围是______（4分）【答案】0a1【解析】fx=logₐ|x|在-∞,0上单调递减，需0a

12.已知三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3，b=4，c=5，则cosA=______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理，cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=4/

53.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁=1，S₃=5，则通项公式aₙ=______（4分）【答案】2n-1【解析】S₁=a₁=1，S₃=3a₁+3d=5，解得d=1，aₙ=a₁+n-1d=2n-

14.已知函数fx=sin2x+φ的图像关于y轴对称，则φ=______（|φ|π/2）（4分）【答案】π/2【解析】fx=sin2x+φ关于y轴对称，需2x+φ=kπ+π/2，φ=kπ+π/2，|φ|π/2，故φ=π/

25.已知直线l₁:ax+3y-1=0与直线l₂:3x+by+4=0垂直，则ab=______（4分）【答案】9【解析】l₁与l₂垂直，斜率乘积为-1，即a×3/b=-1，ab=

96.已知圆C:x²+y²-4x+6y-3=0，则圆心坐标为______，半径为______（4分）【答案】2,-3；4【解析】圆心为-b/2a,-c/2a，即2,-3，半径为√[2²+-3²--3]=

47.已知函数fx=x²-2x+3，则fx在区间[-1,3]上的最小值为______，最大值为______（4分）【答案】2；6【解析】fx在[-1,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，f-1=6，f1=2，f3=6，故最小值为2，最大值为

68.已知复数z=1+i，则z²的实部为______，虚部为______（4分）【答案】0；2【解析】z²=1+i²=1+2i-1=2i，实部为0，虚部为2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，ab但a²b²

2.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上无极值点（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数的极大值点为左端点，极小值点为右端点，如fx=x在-∞,+∞上单调递增，x=0为极小值点

3.若向量a=1,2，b=3,4，则a与b共线（）（2分）【答案】（×）【解析】向量a与b共线，需存在λ使得a=λb，即1,2=λ3,4，解得λ=1/3，1≠3λ，故不共线

4.若三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a²+b²=c²，则∠C=90°（）（2分）【答案】（√）【解析】由勾股定理逆定理，a²+b²=c²，则∠C=90°

5.若函数fx=|x|在-1,1上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=|x|在-1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故-1,1上单调递减

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x³-3x+2的极值点（4分）【解析】fx=3x²-3=3x-1x+1，令fx=0，得x=-1,1，fx=6x，f-1=-60，f1=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点

2.求圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标和半径（4分）【解析】x²-4x+y²+6y=3，x-2²-4+y+3²-9=3，x-2²+y+3²=16，圆心2,-3，半径

43.求不等式|2x-1|3的解集（4分）【解析】-32x-13，-22x4，-1x2，解集为-1,

24.求极限limx→∞x²+1/3x-2的值（4分）【解析】limx→∞x²+1/3x-2=limx→∞x²/x/3x/x-2/x=limx→∞x/3-2/x=∞

5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，求a₇的值（4分）【解析】S₃=3a₁+3d=9，S₆=6a₁+15d=36，解得a₁=3，d=2，a₇=a₁+6d=3+12=15

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x+1，求fx的单调区间（10分）【解析】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，令fx=0，得x=1±√3/3，fx0当x1-√3/3或x1+√3/3，fx0当1-√3/3x1+√3/3，故fx在-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞上单调递增，在1-√3/3,1+√3/3上单调递减

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离|1--2|=3，取得最小值时x在[-2,1]之间，如x=-

0.5时fx=3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值，并判断极值是极大值还是极小值（25分）【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=3，fx=3x-1x+1，fx=6x，f1=60，故x=1为极小值点，a=

32.已知圆C₁:x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂:x²+y²+4x-6y+k=0相切，求k的值，并判断是内切还是外切（25分）【解析】C₁:x-1²+y+2²=8，圆心1,-2，半径2√2；C₂:x+2²+y-3²=13+k，圆心-2,3，半径√13+k，两圆外切，|-2-1|²+3+2²=2√2+√13+k²，解得k=-13或k=-15，外切时k=-13标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.B

5.D

6.C

7.A

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.C、D

2.A、D

3.A、C

4.B、D

5.C、D

三、填空题

1.0a

12.4/

53.2n-

14.π/

25.

96.2,-3；

47.2；

68.0；2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.极大值点x=-1，极小值点x=

12.圆心2,-3，半径

43.解集-1,

24.极限值为∞

5.a₇=15

六、分析题

1.单调递增区间-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞，单调递减区间1-√3/3,1+√3/

32.最小值为3，取得最小值时x在[-2,1]之间

七、综合应用题

1.a=3，极小值

2.k=-13，外切。