信息安全数学群课件

信息安全数学基础课程第一章信息安全与数学的关系:信息安全的定义与重要性数学在信息安全中的核心作用信息安全是指保护信息及信息系统免受未经授权的访问、使用、披数学为信息安全提供了理论基础和露、破坏、修改或销毁以提供完整实现工具从古典密码到现代公钥,性、保密性和可用性在数字化时密码系统,数学理论如数论、代数、代信息安全已成为国家安全、企业概率论等构成了密码算法设计、安,运营和个人隐私保护的核心基石全性证明和攻击分析的基石课程目标与学习路径信息安全的主要威胁与防护机制常见攻击类型安全防护机制窃听攻击未授权截获通信内容威胁信息保密性加密技术使用数学算法将明文转换为密文保护数据保密性:,:,篡改攻击恶意修改传输数据破坏信息完整性身份认证验证通信实体身份的真实性:,:伪造攻击冒充合法身份发送虚假信息危害认证机制完整性校验检测数据是否被篡改:,:重放攻击截获并重新发送有效数据包数字签名提供不可否认性和来源认证::拒绝服务消耗系统资源使服务不可用访问控制限制对资源的访问权限::第二章整数理论基础:010203整除性与最大公约数欧几里得算法扩展欧几里得算法整除是数论的基础概念若存在整数使得欧几里得算法是计算两个整数最大公约数的高扩展欧几里得算法不仅计算还能找k GCDa,b,则称整除最大公约数是能效方法基于性质到整数和使得这在求模a=bk,b aGCDa,b,GCDa,b=GCDb,a modx yax+by=GCDa,b同时整除和的最大正整数在密码学中用于判该算法时间复杂度为是等密逆元时至关重要是解密和数字签名的数学a b,b Ologn,RSA,RSA断互质性和密钥生成码算法的核心工具基础例题计算并求解的整数解:GCD252,105252x+105y=GCD252,105同余理论与模运算同余的定义模运算的基本性质密码学中的应用若两个整数和除以正整数的余数相模运算满足加法、减法和乘法的封闭性模运算是现代密码学的核心运算a bm RSA同,则称a与b模m同余,记作a≡b mod和结合律若a≡b mod m且c≡d加密中的幂模运算、Diffie-Hellman密m等价地,若m|a-b,则a≡b mod mod m,则a+c≡b+d modm和ac≡钥交换中的模指数运算、以及各类哈希同余关系具有自反性、对称性和传这些性质使得模运算可以函数都建立在模运算基础上模运算提m bd modm递性像普通算术一样进行计算供了有限域结构使得密码算法可以高效,实现模运算的直观理解模运算可以类比为时钟上的计时在小时制的时钟上点等同于点这就是模运算的体现这种循环特性在密码学中创建了有限的计算空间12,131,12,使得加密和解密操作可以在有限范围内进行同时保持数学运算的一致性,122562048时钟模数字节模数模数RSA标准时钟使用模运算计算机中常用模运算典型密钥长度位12256RSA第三章素数与素性检验:素数的定义与分布素数的关键角色素数是大于且只能被和自身整除的自然数素加密的基础11•RSA数是整数的基本构成单元每个大于的整数都可,1密钥交换•Diffie-Hellman以唯一分解为素数的乘积密码系统•ElGamal素数定理表明,小于n的素数个数约为n/lnn•数字签名算法尽管素数密度随着数值增大而降低但素数有无,素数生成器设计•穷多个大素数在密码学中扮演关键角色因为,大整数的素因数分解在计算上极其困难在密码学应用中通常需要生成数百位甚至上千,位的大素数这些大素数的乘积作为公钥密码系统的模数其安全性基于分解大合数的困难性,素性检验算法详解费马素性测试基于费马小定理:若p是素数,则对任意a有a^p-1≡1mod p选择随机a进行测试,若不满足则p必为合数但存在卡迈克尔数会通过所有费马测试却不是素数,因此该方法有局限性米勒拉宾测试-改进的概率素性测试算法将n-1写成2^s·d的形式,测试a^d modn和后续平方值该算法对任意合数,至少3/4的基数会判定其为合数进行k轮测试后,错误概率降至1/4^k实际应用策略在实践中,通常先用小素数试除法快速排除明显合数,再使用米勒-拉宾测试进行概率判定对于密码学应用,通常进行40-50轮测试,使错误概率小于2^-80,满足安全需求示例:检测n=561是否为素数

1.计算560=2^4×

352.选择基数a=2,计算2^35mod

5613.依次计算平方序列

4.判定结果:561是卡迈克尔数伪素数第四章二次剩余与勒让德符号:二次剩余的定义重要性质对于奇素数p和整数a,若存在整数x使得x²≡a mod p,则称a是模p的二次剩余,否则称为二次非剩余欧拉判别法:a/p≡a^p-1/2modp乘性:ab/p=a/pb/p模p的二次剩余恰好有p-1/2个判定一个数是否为二次剩余在某些密码算法如Rabin加密中至关重要二次互反律:联系两个不同素数的勒让德符号勒让德符号勒让德符号a/p定义为:当a是模p的二次剩余时为1,是二次非剩余时为-1,当p|a时为0第五章群论基础:群的定义群是一个集合G及其上的二元运算·,满足四个公理:封闭性a·b∈G、结合律1a·b·c=a·b·c、存在单位元存在e使a·e=a、存在逆元对每个a存在a⁻¹使a·a⁻¹=e群的常见例子2整数加法群ℤ,+,模n乘法群ℤₙ*,×,椭圆曲线点群,置换群等密码学中最常用的是有限阿贝尔群,其运算满足交换律子群与生成元3子群是群的子集且本身构成群生成元g是群中的元素,其幂次可以生成整个群或子群在密码学中,选择合适的生成元对系统安全性至关重要群的阶与元素的阶4群的阶是群中元素的个数元素a的阶是使a^n=e成立的最小正整数n拉格朗日定理指出,元素的阶整除群的阶,这在密码分析中有重要应用群在密码学中的应用离散对数问题原根与生成元协议Diffie-Hellman在群中给定和求的问题称为模乘法群ℤ的生成元称为原根若是密钥交换利用离散对数问题实现安全密G,g h=g^x,x pₚ*g DH离散对数问题对于精心选择的群模的原根则的幂次遍钥协商双方在公开信道上交换和DLP p,g g¹,g²,...,g^p-1g^a如大素数的乘法群在计算上是困难历所有非零模剩余类原根的存在性和各自计算共享密钥而窃听者,DLP pg^b,g^ab,的这是许多公钥密码系统的安全基础查找算法在密钥生成中应用广泛无法从和高效计算,g^a g^b g^ab密钥交换流程Diffie-Hellman初始化1通信双方Alice和Bob公开选择大素数p和生成元g2私钥生成Alice随机选择私钥a,Bob随机选择私钥b,保密公钥交换3Alice计算A=g^a modp并发送给Bob;Bob计算B=g^b modp并发送给Alice4共享密钥Alice计算K=B^a modp;Bob计算K=A^b modp;双方获得相同的共享密钥K=g^ab modp该协议的安全性基于计算Diffie-Hellman问题CDH:已知g,g^a,g^b,计算g^ab是困难的这比离散对数问题更弱但仍被认为是困难的第六章环与域基础:环的定义与性质域的定义及重要性环是配备两个运算的集合构成阿贝尔群乘法满足结合律域是特殊的交换幺环其中每个非零元素都有乘法逆元换言R,+,·:R,+,,F,+,·,且乘法对加法满足分配律若乘法可交换则称为交换环若存在乘法单之域是既可以进行加减乘除运算的代数结构,,位元则称为幺环域的例子:常见的环:有理数域ℚ•整数环ℤ•,+,×实数域ℝ•模整数环ℤ•nₙ,+,×复数域ℂ•多项式环•R[x]有限域域•Galois GFp^n矩阵环•MₙR域为密码算法提供了完整的代数运算环境使得加密解密操作可以自由,进行有限域的构造与运算素域扩域GFp GFp^n当是素数时模整数环ℤ构成域元素个数为的有限域其中是素p,pₚ,p^n,p称为素域加法和乘法都是模数不能直接用模整数构造GFp,n≥2p^n,运算素域是最简单的有限域元素需要使用多项式环商环结构元素可p,个数为表示为次多项式系数在p n-1,GFp中不可约多项式构造需要一个次不可约多项式在中进行多项式运算并GFp^n nfx GFp[x]/模得到的结构就是不可约多项式的选择影响运算效率fx,GFp^n应用实例加密算法使用即个元素的有限域字节运算通过多:AES GF2^8,256项式表示使用不可约多项式进行模运算,x^8+x^4+x^3+x+1第七章椭圆曲线密码学:ECC椭圆曲线密码学是现代公钥密码学的重要分支提供与相当的安全性但密钥长度,RSA更短计算效率更高,椭圆曲线定义点加法运算椭圆曲线在有限域上的一般椭圆曲线上定义了点的加法通过两GFp:形式为其中点的连线与曲线的第三个交点的对y²=x³+ax+b,保证曲线非奇异称点得到和特别地点与自身相4a³+27b²≠0,P曲线上的点加上无穷远点构成一加称为倍点运算这些运算满足群O个阿贝尔群公理形成椭圆曲线群,的安全优势ECC位密钥提供与位相当的安全性位相当于位160ECC1024RSA,256ECC3072更短的密钥意味着更快的计算速度、更少的存储需求和更低的带宽消耗RSA,特别适合资源受限的设备椭圆曲线上的群结构点的运算规则点加法P+Q:

1.若P=O,则P+Q=Q

2.若Q=O,则P+Q=P

3.若P=x,y且Q=x,-y,则P+Q=O

4.否则,计算斜率λ,求第三交点R,则P+Q=-R倍点运算2P:使用切线斜率λ=3x²+a/2y,计算方式类似点加法标量乘法kP:计算点P的k倍,使用二进制展开和重复倍点算法高效实现,时间复杂度Olog k问题ECDLP椭圆曲线离散对数问题:给定椭圆曲线上的点P和Q=kP,求k这个问题比普通离散对数问题更难,没有亚指数时间算法,因此ECC可以使用更短的密钥应用示例:ECDSA数字签名、ECDH密钥交换、比特币和以太坊等区块链系统都采用椭圆曲线密码学,标准曲线如secp256k1和Curve25519被广泛使用第八章概率论基础与信息熵:概率基本概念信息熵的定义熵在密码学中的意义概率空间由样本空间、事件集合和概香农熵度量随机变量密钥空间的熵直接关系到密码系统的安全强Ω,F,P HX=-Σpxlog₂px X率测度组成条件概率PA|B=PA∩B/PB的不确定性熵越大,信息量越大,不确定性越度一个n位密钥的熵最多为n比特弱密码、描述在发生条件下的概率独立性、贝叶斯高对于个等概率结果熵是可预测的随机数生成器会降低实际熵削弱系统B An,HX=log₂n,定理等是密码分析的重要工具信息论的核心概念安全性高熵是密码安全的必要条件信息理论与安全性刻画010203熵与不确定性完美保密性定义香农定理信息熵量化了不确定性在密码学中密文的熵应香农定义的完美保密密文不泄露任何关于明文香农证明要达到完美保密密钥空间的熵必须不,:C:,该足够大使得攻击者无法从密文推断明文联合的信息即等价于小于消息空间的熵即这揭示了完,M,IM;C=0,PM|C=PM,HK≥HM熵、条件熵和互信息描述一次一密是唯一的完美保密密码系统但要美保密的代价在实践中只能追求计算安全性而非HX,Y HX|Y IX;Y OTP,,了变量间的信息关系求密钥长度不小于明文且密钥只用一次信息论安全性理论启示虽然现代密码系统如、不具有完美保密性但通过增加计算复杂度使得攻击在实际时间内不可行实现了计算安全性:AES RSA,,,第九章经典密码算法数学原理:算法数学基础RSARSA是最著名的公钥密码系统,由Rivest、Shamir和Adleman于1977年提出,其安全性基于大整数分解的困难性密钥生成选择两个大素数p和q,计算n=pq和φn=p-1q-1选择公钥指数e,满足1加密过程明文M0≤M解密过程接收方使用私钥d解密:M≡C^dmodn正确性基于欧拉定理:M^ed≡M^kφn+1≡M modn只有持有私钥d的人能够解密,保证了通信的机密性算法安全性分析RSA大数分解难题选择合适的密钥长度RSA安全性的核心假设是:分解大整数n=pq在计算上是困难的已知最快的分解算法如数域筛法时间复杂度为亚指数1024位:已不再推荐,可能被攻破级,对于2048位的n,分解需要数十亿年2048位:当前标准,预计安全至2030年量子计算机上的Shor算法可在多项式时间内分解大整数,这对RSA构成潜在威胁,推动了后量子密码学的研究3072位:长期安全推荐4096位:最高安全级别,但计算开销大123小指数攻击共模攻击时序攻击若e很小如3且消息M也小,M^e可能小于n,此时C=M^e,直接开方即可破不同用户共享模数n但使用不同的e,d,可能导致攻击防御:每个用户使用通过测量解密时间推断私钥信息防御:使用恒定时间算法或添加随机延解防御:使用填充方案如OAEP独立的n迟第十章数字签名与认证:数字签名是公钥密码学的重要应用,提供消息认证、完整性保护和不可否认性,是电子商务和法律文件的安全基础数字签名的数学模型数字签名方案包含三个算法:密钥生成Gen、签名Sign和验证Verify签名者使用私钥sk对消息m生成签名σ=Signsk,m,任何人都可以用公钥pk验证Verifypk,m,σ=true/false安全性要求:不可伪造性即使看到多个有效签名,攻击者也无法伪造新消息的签名签名方案RSA使用与RSA加密相同的密钥对n,e,d签名过程:σ≡m^dmodn;验证过程:检查m≡σ^e modn实际应用中先对消息做哈希hm,再对哈希值签名,避免直接对长消息签名RSA签名的安全性等价于RSA加密的安全性,都依赖于大整数分解的困难性电子签名的法律效力数字签名提供不可否认性:签名者无法否认自己签署了消息配合时间戳和证书机制,数字签名在许多国家具有与手写签名同等的法律效力,广泛应用于电子合同、数字证书、软件分发等场景第十一章离散对数密码系统:离散对数问题在循环群中给定生成元和元素求整数使得这就是离散对数问1G,g h,x g^x=h,题在精心选择的群中如大素数模的乘法群或椭圆曲线群被认DLP,DLP为是计算困难的加密算法ElGamal基于的公钥加密方案密钥生成选择群、生成元、私钥计算公钥2DLP:G gx,加密随机选择计算解密每h=g^x:r,c₁,c₂=g^r,h^r·m:m=c₂/c₁^x次加密使用新的随机数相同明文产生不同密文具有概率性r,,安全性与效率的安全性基于决策假设比稍弱但仍被3ElGamal Diffie-Hellman DDH,DLP认为困难密文长度是明文的两倍效率低于但具有语义安全性即概,RSA,率加密广泛应用于、等加密工具PGP GPG第十二章密码学中的复杂性理论:计算复杂性基础问题与密码学NP复杂性理论研究问题的计算难度时间复杂性类包括:许多密码学困难问题如大整数分解、离散对数不是已知的NP完全问题,但被认为是困难的密码系统的安全性建立在这些问题的平均情况困难性上,而非最坏情况P类:可在多项式时间内解决的问题NP类:解可在多项式时间内验证的问题NP完全:NP中最难的问题NP困难:至少与NP完全问题一样难P=NP是计算机科学的重大未解问题,对密码学有深远影响单向函数难题假设易于计算但难于求逆的函数f,即给定x易于计算fx,但给定fx难以找到原像x单向函密码学依赖于一些未证明的困难性假设,如整数分解困难假设、离散对数困难假设、数的存在是现代密码学的基础假设,尽管尚未被严格证明RSA假设等密码系统的安全性归约到这些假设,构成了密码学的理论基础第十三章密码学中的数学难题:离散对数问题大整数分解问题在群中求解在一般群中与整数分G g^x=h给定合数找到其素因数分解对于两个大n,解类似困难但在某些特殊群如椭圆曲线群,素数的乘积已知最优算法需要亚指数时,上更难和的安全Diffie-Hellman ElGamal间安全性的基础RSA基础格问题椭圆曲线离散对数最短向量问题和最近向量问题在椭圆曲线群上的比一般更难没SVP CVPDLP,DLP,等格困难问题被认为能抵抗量子攻击是有亚指数算法允许使用更短密钥达到相同,后量子密码学的候选基础安全强度是现代密码学的重要工具,这些数学难题构成了密码学安全性的基石选择合适的困难问题和参数对于设计安全高效的密码系统至关重要第十四章现代密码学发展趋势:后量子密码学量子计算对密码学的挑战新兴数学工具与算法量子计算机威胁现有公钥密码系统正在算法能在多项式时间内分解大整数和求解同态加密允许在密文上直接计算零知识证明实NIST Shor,标准化后量子密码算法包括基于格的密码、基离散对数威胁、、等经典算现隐私保护验证多方安全计算支持协作计算而,,RSA DHECDSA,于编码的密码、基于哈希的签名等这些算法法算法加速对称密码的暴力破解需不泄露私有数据这些前沿技术为云计算、区Grover,被认为能抵抗量子攻击将逐步取代和要加倍密钥长度密码学界正在积极应对量子块链、隐私保护提供了新的解决方案,RSA威胁ECC实验与案例分析数学工具在实现中的应用典型密码算法代码示例•大整数运算库GMP,OpenSSL#Python示例:欧几里得算法求GCDdef gcda,b:while b:a,b=b,a%b return a#扩展欧几里得算•模幂运算优化算法法def extended_gcda,b:if b==0:returna,1,0gcd,x1,y1=extended_gcdb,a%b•素数生成与测试x=y1y=x1-a//b*y1return gcd,x,y#模逆元计算def mod_inversea,m:gcd,x,y=•有限域运算实现extended_gcda,m ifgcd!=1:return Nonereturn x%m+m%m•椭圆曲线点运算实验建议:建议学生使用Python、SageMath或Racket等工具实现基础密码算法,通过编程加深对数学原理的理解注意:教学实现不能用于生产环境,实际应用应使用经过安全审计的标准库课程总结与知识体系回顾整数论代数结构整除性、同余、素数理论、欧几里得算法群、环、域、有限域、椭圆曲线群前沿发展密码算法后量子密码、同态加密、零知识证明、、、数字签名RSA ElGamalECC信息论复杂性理论熵、完美保密性、香农定理计算困难问题、单向函数、安全归约信息安全数学为密码学提供了坚实的理论基础从经典的数论和代数到现代的复杂性理论和量子计算数学始终是密码学发展的核心驱动力掌握,,这些数学工具才能深入理解密码系统的设计原理、安全性证明和攻击分析,参考书目与资源推荐中文教材英文经典在线资源•《信息安全数学基础》第二版,陈恭亮等,•Introduction toModern•Coursera密码学课程Dan Boneh,高等教育出版社Cryptography,Jonathan KatzStanford•《现代密码学理论与实践》,毛文波,电子Yehuda Lindell•MIT OpenCourseWare密码学课程工业出版社•Handbook ofApplied Cryptography,•GitHub开源密码学项目和教程•《密码编码学与网络安全》,William AlfredMenezes etal.•IACR国际密码学研究协会论文库Stallings著,电子工业出版社•A Coursein NumberTheory and•NIST后量子密码标准化项目•《应用密码学:协议、算法与C源程Cryptography,Neal Koblitz序》,Bruce Schneier著,机械工业出版社•Cryptography:Theory andPractice,Douglas Stinson信息安全数学基础知识结构图本课程涵盖了从基础数论到前沿密码技术的完整知识体系核心内容包括:数学基础层整数论、同余理论、素数理论代数结构层群论、环论、域论、椭圆曲线密码应用层公钥密码、数字签名、密钥交换理论支撑层复杂性理论、信息论、安全性证明前沿研究层后量子密码、同态加密、零知识证明这些知识层层递进,共同构成了现代信息安全的数学理论体系,为设计安全可靠的密码系统提供了科学依据致谢与问答感谢聆听联系方式与资源获取感谢各位同学参与本课程的学习信息安全数学是一门理论性强、应用广30泛的学科,希望通过本课程的学习,大家能够:•掌握密码学所需的数学基础知识课程章节•理解现代密码算法的数学原理•具备分析密码系统安全性的能力系统完整的知识体系•为后续深入研究打下坚实基础密码学是一个不断发展的领域,希望大家保持学习热情,关注最新研究动态,100+在信息安全领域做出自己的贡献数学定理密码学核心理论10+密码算法经典与现代算法课程资源:•课件PPT和讲义PDF•习题集与参考答案•算法实现代码示例•扩展阅读材料欢迎随时提问,祝大家学习进步!Questions。