济南大学考研高数相关试题及答案

济南大学考研高数相关试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限中，存在的是（）（2分）A.limx→0sin1/xB.limx→∞x²/x+1C.limx→0e^1/xD.limx→1x²-1/x-1【答案】B【解析】选项A中，当x→0时，sin1/x在[-1,1]之间振荡，极限不存在；选项B中，limx→∞x²/x+1=∞，极限存在；选项C中，当x→0⁺时，e^1/x→+∞，当x→0⁻时，e^1/x→0，极限不存在；选项D中，limx→1x²-1/x-1=limx→1x+1=2，极限存在

2.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.0C.-2D.8【答案】D【解析】fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1，x=1计算f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=8故最大值为

83.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n²C.∑n=1to∞n/2^nD.∑n=1to∞1/lnn【答案】C【解析】选项A为调和级数，发散；选项B为p-级数，p=21，收敛；选项C为比值测试，|a_n+1/a_n|=n+1/2n→1/21，收敛；选项D为发散级数

4.微分方程y-4y=0的通解是（）（2分）A.y=C₁e²ˣ+C₂e⁻²ˣB.y=C₁sin2x+C₂cos2xC.y=C₁eˣ+C₂e⁻ˣD.y=C₁e³ˣ+C₂e⁻ˣ【答案】A【解析】特征方程r²-4=0，解得r=±2，通解为y=C₁e²ˣ+C₂e⁻²ˣ

5.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=∫[a,b]fxdxD.fξ=fξ【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b使得fξ=fb-fa/b-a

6.设fx是连续函数，Fx是fx的一个原函数，则下列等式成立的是（）（2分）A.∫[a,b]fxdx=Fb-FaB.∫[a,b]fxdx=FxC.∫[a,b]fxdx=Fx+CD.∫fxdx=Fx【答案】A【解析】根据牛顿-莱布尼茨公式，∫[a,b]fxdx=Fb-Fa

7.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,1,1,1,2,3,1,3,5D.1,1,0,1,0,1,0,1,1【答案】B【解析】选项A中，2,4,6=21,2,3，线性相关；选项B中，单位向量线性无关；选项C中，2,3,5=1,1,1+1,2,3，线性相关；选项D中，1,0,1+0,1,1=1,1,2，线性相关

8.设A为n阶方阵，若rA=n-1，则下列命题正确的是（）（2分）A.A的行列式|A|=0B.A的行列式|A|≠0C.A的秩rA=nD.A的秩rA=0【答案】A【解析】rA=n-1，说明A不满秩，必有|A|=

09.设函数fx在[a,b]上连续，则∫[a,b]fxdx的值（）（2分）A.必定大于0B.必定小于0C.必定等于0D.可正可负【答案】D【解析】∫[a,b]fxdx的值取决于fx在[a,b]上的符号和积分区间，可正可负

10.若函数fx在x=c处取得极值，则必有（）（2分）A.fc=0B.fc≠0C.fc=0D.fc≠0【答案】A【解析】根据费马引理，可导函数在极值点处导数为0，即fc=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间[0,1]上可积的有（）（4分）A.fx=1/xB.fx=sinxC.fx=|x|D.fx=1/x²-1【答案】B、C【解析】选项A在x=0处无定义，不可积；选项B在[0,1]上连续，可积；选项C在[0,1]上连续，可积；选项D在x=±1处无定义，不可积

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若limx→cfx=A，则limx→c|fx|=|A|B.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界C.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界D.若limx→cfx=A，则fx在c的去心邻域内连续【答案】A、C【解析】选项A成立；选项B不成立，如fx=1/x在[0,1]上不连续；选项C成立，根据可积准则；选项D不成立，极限存在不一定连续

3.下列级数中，绝对收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞-1ⁿ/nB.∑n=1to∞1/n²C.∑n=1to∞-1ⁿ/2n+1D.∑n=1to∞1/lnn【答案】B【解析】选项A条件收敛；选项B绝对收敛；选项C条件收敛；选项D发散

4.下列函数中，在x=0处可微的有（）（4分）A.fx=|x|B.fx=x²C.fx=x³D.fx=sinx【答案】B、C、D【解析】选项A在x=0处不可微；选项B在x=0处可微；选项C在x=0处可微；选项D在x=0处可微

5.下列向量组中，线性相关的有（）（4分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,1,1,2,2,2,3,3,3C.1,2,3,4,5,6,7,8,9D.1,0,1,0,1,1,1,1,2【答案】B、C、D【解析】选项A线性无关；选项B中，2,2,2=21,1,1，线性相关；选项C中，7,8,9=21,2,3+4,5,6，线性相关；选项D中，1,1,2=1,0,1+0,1,1，线性相关

三、填空题（每题4分，共32分）

1.设函数fx=√x+1，则fx=______（4分）【答案】1/2√x+

12.若函数fx在[a,b]上连续，则∫[a,b]fxdx的几何意义是______（4分）【答案】由曲线y=fx，直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

3.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和为______（4分）【答案】1-1/2^n

4.微分方程y+y=0的通解是______（4分）【答案】Ce⁻ˣ

5.设向量a=1,2,3，b=4,5,6，则a·b=______（4分）【答案】

326.若矩阵A=[1,2;3,4]，则|A|=______（4分）【答案】-

27.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的极小值是______（4分）【答案】-

28.若函数fx在[a,b]上可积，则______（4分）【答案】fx在[a,b]上必有界

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在x=c处取得极值，则必有fc=0（）（2分）【答案】（√）

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】如∑-1^n/n条件收敛，但∑|-1^n/n|发散

3.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）

4.若向量组a,b,c线性无关，则向量组a,b,c的任意线性组合也线性无关（）（2分）【答案】（×）【解析】如a,b,c中有一个向量是其他两个的线性组合，则向量组线性相关

5.若函数fx在x=c处可导，则fx在c的去心邻域内连续（）（2分）【答案】（√）

6.若矩阵A可逆，则|A|≠0（）（2分）【答案】（√）

7.若函数fx在[a,b]上可积，则∫[a,b]fxdx的值必定大于0（）（2分）【答案】（×）【解析】∫[a,b]fxdx的值可正可负

8.若函数fx在[a,b]上单调递增，则fx在[a,b]上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数不一定连续，如狄利克雷函数

9.若向量组a,b,c线性无关，则向量组a,b,c的秩为3（）（2分）【答案】（√）

10.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数在某点处可导的几何意义（4分）【答案】函数在某点处可导的几何意义是曲线在该点处存在切线，且切线的斜率等于函数在该点的导数值

2.简述级数收敛的必要条件（4分）【答案】级数收敛的必要条件是通项a_n趋于0，即limn→∞a_n=

03.简述向量组线性相关的定义（4分）【答案】向量组线性相关是指存在不全为0的数k₁,k₂,...,k_m，使得k₁a₁+k₂a₂+...+k_ma_m=

04.简述矩阵可逆的充分必要条件（4分）【答案】矩阵可逆的充分必要条件是矩阵为方阵且行列式不为

05.简述定积分的几何意义（4分）【答案】定积分的几何意义是由曲线y=fx，直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1，x=1f-2=-90，f-1=0，f-

0.50，f

0.50，f1=0，f2=90故在-2,-1和1,2上单调递增，在-1,1上单调递减f-1=2，f1=-2故极大值为2，极小值为-

22.分析向量组a=1,2,3，b=4,5,6，c=7,8,9的线性相关性（10分）【答案】设k₁a+k₂b+k₃c=0，即k₁1,2,3+k₂4,5,6+k₃7,8,9=0,0,0，得方程组k₁+4k₂+7k₃=02k₁+5k₂+8k₃=03k₁+6k₂+9k₃=0第三个方程为第一个方程的3倍，故方程组有非零解，向量组线性相关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，证明存在ξ∈a,b，使得∫[a,b]fxdx=fξb-a（25分）【答案】令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fa=0，Fb=∫[a,b]ftdt根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得Fξ=Fb-Fa/b-a=∫[a,b]ftdt/b-a由于Fx=fx，故∫[a,b]ftdt=fξb-a

2.设函数fx在[a,b]上连续，且fx0，证明存在ξ∈a,b，使得∫[a,b]lnfxdx=ln∫[a,b]fxdx（25分）【答案】令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fa=0，Fb=∫[a,b]ftdt根据Jensen不等式，对于凸函数lnx，有lnFb/Fa≤Fb-Fa/Fa即ln∫[a,b]ftdt/0≤∫[a,b]ftdt-0/0由于fx0，故存在ξ∈a,b，使得lnfξ≤fξ-fa/fa两边积分得∫[a,b]lnfxdx=ln∫[a,b]fxdx---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.C

4.A

5.B

6.A

7.B

8.A

9.D

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、C

3.B

4.B、C、D

5.B、C、D

三、填空题

1.1/2√x+

12.由曲线y=fx，直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

3.1-1/2^n

4.Ce⁻ˣ

5.

326.-

27.-

28.fx在[a,b]上必有界

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

6.（√）

7.（×）

8.（×）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.函数在某点处可导的几何意义是曲线在该点处存在切线，且切线的斜率等于函数在该点的导数值

2.级数收敛的必要条件是通项a_n趋于0，即limn→∞a_n=

03.向量组线性相关是指存在不全为0的数k₁,k₂,...,k_m，使得k₁a₁+k₂a₂+...+k_ma_m=

04.矩阵可逆的充分必要条件是矩阵为方阵且行列式不为

05.定积分的几何意义是由曲线y=fx，直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

六、分析题

1.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1，x=1f-2=-90，f-1=0，f-

0.50，f

0.50，f1=0，f2=90故在-2,-1和1,2上单调递增，在-1,1上单调递减f-1=2，f1=-2故极大值为2，极小值为-

22.向量组a=1,2,3，b=4,5,6，c=7,8,9的线性相关性设k₁a+k₂b+k₃c=0，即k₁1,2,3+k₂4,5,6+k₃7,8,9=0,0,0，得方程组k₁+4k₂+7k₃=02k₁+5k₂+8k₃=03k₁+6k₂+9k₃=0第三个方程为第一个方程的3倍，故方程组有非零解，向量组线性相关

七、综合应用题

1.设函数fx在[a,b]上连续，证明存在ξ∈a,b，使得∫[a,b]fxdx=fξb-a令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fa=0，Fb=∫[a,b]ftdt根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得Fξ=Fb-Fa/b-a=∫[a,b]ftdt/b-a由于Fx=fx，故∫[a,b]ftdt=fξb-a

2.设函数fx在[a,b]上连续，且fx0，证明存在ξ∈a,b，使得∫[a,b]lnfxdx=ln∫[a,b]fxdx令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fa=0，Fb=∫[a,b]ftdt根据Jensen不等式，对于凸函数lnx，有lnFb/Fa≤Fb-Fa/Fa即ln∫[a,b]ftdt/0≤∫[a,b]ftdt-0/0由于fx0，故存在ξ∈a,b，使得lnfξ≤fξ-fa/fa两边积分得∫[a,b]lnfxdx=ln∫[a,b]fxdx。