海南高中竞赛题目精析及答案呈现

海南高中竞赛题目精析及答案呈现

一、单选题

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{0,2}【答案】D【解析】集合A={1,2}，当B为空集时，Δ=a^2-40，得a∈-2,2，此时a=0符合题意；当B非空时，Δ=a^2-4≥0，得a≥2或a≤-2，此时a=2符合题意综上，a∈{0,2}

2.函数fx=sinωx+φ（ω0，|φ|π/2）的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.0【答案】C【解析】由周期T=π得ω=2，fx=sin2x+φ图像关于x=π/4对称，则2×π/4+φ=kπ+π/2，得φ=kπ+π/4，因|φ|π/2，故φ=π/

43.已知复数z满足z^2=1+i，则|z|的值为（）（1分）A.√2B.1C.√3D.2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=1+i，展开得a^2-b^2+2abi=1+i，由实虚部相等得a^2-b^2=1，2ab=1，解得a=b=√2/2，故|z|=√√2/2^2+√2/2^2=√

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.3/4C.1/4D.1/3【答案】B【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/

45.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.15B.9C.8D.10【答案】B【解析】循环三次i=1时s=1；i=3时s=4；i=5时s=

96.若函数fx=x^3-3x+m在x=1处取得极值，则实数m的值为（）（2分）A.2B.1C.-1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令f1=0得3-3=0，满足；f1=60，fx在x=1处取极小值，f1=-1+m=0，得m=

17.某班级有60名学生，其中男生和女生人数之比为3:2，现用分层抽样的方法抽取一个样本，样本容量为15，则抽取的男生人数为（）（2分）A.9B.10C.8D.7【答案】A【解析】男生人数为60×3/3+2=36，抽样比例为15/60=1/4，抽取男生36×1/4=9人

8.执行以下程序段后，变量p的值为（）（2分）p=1;i=1;whilei=4dop=pi;i=i+1;endwhileA.24B.16C.4D.1【答案】A【解析】循环四次i=1时p=1；i=2时p=2；i=3时p=6；i=4时p=

249.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则a_10的值为（）（2分）A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】由a_5=a_1+4d得10=2+4d，解得d=2，故a_10=2+9×2=

2010.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）（2分）A.eB.e-1C.e+1D.1【答案】A【解析】fx=e^x-a，令f1=0得e-a=0，解得a=e

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若Δ0，则方程ax^2+bx+c=0无实根D.若|z|=1，则z的平方为1E.若fx是奇函数，则f0=0【答案】A、C【解析】A正确；B反例a=1，b=-2时ab但a^2b^2；C正确；D反例z=-1时|z|=1但z^2=1；E反例fx=x^3在x=0时f0=

02.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列条件中能确定△ABC的充分条件有（）A.a=3，b=4，c=5B.cosA=1/2C.b^2=a^2+c^2D.sinA/sinB=a/bE.a^2=b^2+c^2【答案】A、C、D【解析】A满足勾股定理，可确定△ABC；B只确定A=60°，不能确定△ABC；C满足勾股定理，可确定△ABC；D满足正弦定理，可确定△ABC；E满足勾股定理，可确定△ABC

3.关于函数fx=|x-1|+|x+2|，下列说法正确的有（）A.fx的最小值为3B.fx是偶函数C.fx的图像关于x=-

1.5对称D.fx在-∞,-2上单调递减E.fx在-2,1上单调递减【答案】A、C、D【解析】fx图像为V型，顶点1,3，故A正确；f-x=|-x-1|+|-x+2|=fx，故B正确；对称轴为x=-

1.5，故C正确；在-∞,-2上fx=-2x-1单调递减，故D正确；在-2,1上fx=3单调递增，故E错误

4.执行以下程序段后，变量s的值为（）（每空2分，共8分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+1;endwhileA.15B.9C.8D.10【答案】B【解析】循环三次i=1时s=1；i=3时s=4；i=5时s=

95.关于复数z=a+bi（a,b∈R），下列说法正确的有（）A.|z|^2=z^2B.若z^2为实数，则b=0C.若z^1/z^2为实数，则a^2=b^2D.若z^3为实数，则z为纯虚数E.若z与-z共轭，则z为纯虚数【答案】C【解析】A反例z=i时|z|^2=1但z^2=-1；B反例z=i时z^2=-1为实数但b=1；C正确；D反例z=1时z^3=1为实数但z为实数；E反例z=0时z与-z共轭但z为实数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=cos2x-π/3的最小正周期为______，单调递增区间为______【答案】π，[kπ-π/12，kπ+π/4]，k∈Z【解析】周期T=2π/2=π；令-π+2kπ≤2x-π/3≤π+2kπ，得x∈[kπ-π/12，kπ+π/4]

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为______【答案】3/4【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/

43.执行以下程序段后，变量s的值为______i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile【答案】9【解析】循环三次i=1时s=1；i=3时s=4；i=5时s=

94.若复数z=1+i，则|z|^2的值为______【答案】2【解析】|z|^2=1^2+1^2=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2时ab但a^2b^

22.若函数fx在x=x_0处取得极值，则fx_0=0（）【答案】（×）【解析】x=x_0处取得极值需要fx_0=0且不导数不存在，但题目未说明fx_0存在

3.若|z|=1，则z的平方为1（）【答案】（×）【解析】反例z=-1时|z|=1但z^2=

14.若fx是奇函数，则f0=0（）【答案】（×）【解析】反例fx=x^3在x=0时f0=0但题目未说明fx在x=0处定义

5.若ab，则a^2+b^2a^2-b^2（）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2时ab但a^2+b^2=5，a^2-b^2=5

五、简答题（每题4分，共12分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2；fx=6x-6，f0=-60，f2=60，故x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求cosA的值【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=7+9-4/2×√7×3=5/2√7=√7/

43.设复数z=1+i，求z^3的值【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i，z^3=z^2·z=2i1+i=-2+2i

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2；当x∈-∞,0时fx0，fx单调递增；当x∈0,2时fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时fx0，fx单调递增故fx在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减

2.已知函数fx=sin2x-π/3，求fx的最小正周期和单调递增区间【解析】fx的最小正周期T=2π/2=π；令-π+2kπ≤2x-π/3≤π+2kπ，得x∈[kπ-π/12，kπ+5π/12]，故fx的单调递增区间为[kπ-π/12，kπ+5π/12]，k∈Z

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求cosA、cosB、cosC的值【解析】cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=7+9-4/2×√7×3=√7/4；cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/4；cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=4+7-9/2×2×√7=√7/

142.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的所有极值点及对应的极值【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2；fx=6x-6，f0=-60，f2=60，故x=0为极大值点，f0=2；x=2为极小值点，f2=0标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、C、D

3.A、C、D

4.B

5.C

三、填空题

1.π，[kπ-π/12，kπ+π/4]，k∈Z

2.3/

43.

94.2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.cosA=√7/

43.z^3=-2+2i

六、分析题

1.fx在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减

2.最小正周期π，单调递增区间[kπ-π/12，kπ+5π/12]，k∈Z

七、综合应用题

1.cosA=√7/4，cosB=3/4，cosC=√7/

142.x=0为极大值点，极大值2；x=2为极小值点，极小值0。