清华大学极限知识试题及答案汇总

清华大学极限知识试题及答案汇总

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列哪个数学概念不属于极限范畴？（）A.数列极限B.函数极限C.连续性D.微分【答案】D【解析】微分是微积分的基本概念之一，而极限是微积分的基础，微分涉及导数，而导数定义依赖于极限，但微分本身不属于极限范畴

2.极限ε-δ定义中，ε表示（）A.函数值的变化范围B.自变量的变化范围C.极限值D.任意小的正数【答案】D【解析】ε-δ定义中，ε是任意小的正数，用于描述函数值的变化范围

3.数列{a_n}收敛于L，记作lim_{n→∞}a_n=L，则下列说法正确的是（）A.a_n必须在第n项之后都等于LB.a_n必须在第n项之后无限接近LC.a_n必须严格单调D.a_n的极限唯一【答案】B【解析】数列收敛的定义是对于任意ε0，存在正整数N，当nN时，|a_n-L|ε，即a_n无限接近L

4.函数fx在点x₀处极限存在，则（）A.fx在x₀处连续B.fx在x₀处可导C.fx在x₀处有定义D.fx在x₀处左右极限存在且相等【答案】D【解析】函数在点x₀处极限存在的条件是左右极限存在且相等，连续性和可导性不是必要条件

5.极限lim_{x→0}sinx/x的值为（）A.1B.0C.-1D.不存在【答案】A【解析】根据极限的基本结论，lim_{x→0}sinx/x=

16.若函数fx在区间I上连续，则（）A.fx在区间I上可导B.fx在区间I上必有界C.fx在区间I上必有最大值和最小值D.fx在区间I上极限存在【答案】D【解析】根据连续函数的性质，连续函数在区间上的极限一定存在

7.极限lim_{x→∞}3x^2-2x+1/5x^2+4x-3的值为（）A.0B.1/5C.3/5D.不存在【答案】C【解析】分子分母同除以x^2，得lim_{x→∞}3-2/x+1/x^2/5+4/x-3/x^2=3/

58.极限lim_{x→0}e^x-1/x的值为（）A.1B.eC.0D.不存在【答案】A【解析】根据极限的基本结论，lim_{x→0}e^x-1/x=

19.函数fx=|x|在x=0处（）A.连续但不可导B.可导C.不连续D.左右极限不存在【答案】A【解析】函数fx=|x|在x=0处连续，但不可导，因为左右导数不相等

10.极限lim_{n→∞}1+1/n^n的值为（）A.eB.1C.0D.不存在【答案】A【解析】根据极限的基本结论，lim_{n→∞}1+1/n^n=e

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是极限的性质？（）A.唯一性B.局部有界性C.保号性D.夹逼定理【答案】A、C、D【解析】极限的唯一性、保号性和夹逼定理都是极限的性质，局部有界性不是极限的性质

2.以下哪些函数在x→0时极限存在？（）A.sinx/xB.x^2sin1/xC.e^x-1D.cosx/x【答案】A、B、C【解析】sinx/x、x^2sin1/x和e^x-1在x→0时极限存在，而cosx/x在x→0时极限不存在

3.以下哪些是连续函数的性质？（）A.局部有界性B.介值定理C.最大值最小值定理D.可导性【答案】A、B、C【解析】连续函数具有局部有界性、介值定理和最大值最小值定理的性质，但连续不一定可导

4.以下哪些是极限计算的常用方法？（）A.夹逼定理B.洛必达法则C.等价无穷小代换D.分解因式【答案】A、B、C、D【解析】夹逼定理、洛必达法则、等价无穷小代换和分解因式都是极限计算的常用方法

5.以下哪些是数列极限的定义？（）A.ε-δ定义B.ε-N定义C.柯西收敛准则D.数列收敛的几何意义【答案】B、C、D【解析】ε-N定义、柯西收敛准则和数列收敛的几何意义都是数列极限的定义，ε-δ定义是函数极限的定义

三、填空题（每题2分，共16分）

1.极限lim_{x→2}x^2-4/x-2的值为______【答案】4【解析】分子分母同除以x-2，得lim_{x→2}x+2=

42.极限lim_{x→0}1-cosx/x^2的值为______【答案】1/2【解析】利用等价无穷小，1-cosx≈x^2/2，所以lim_{x→0}1-cosx/x^2=1/

23.极限lim_{x→∞}x+sinx/x的值为______【答案】1【解析】分子分母同除以x，得lim_{x→∞}1+sinx/x=

14.极限lim_{n→∞}n^2+n/2n^2-3n+1的值为______【答案】1/2【解析】分子分母同除以n^2，得lim_{n→∞}1+1/n/2-3/n+1/n^2=1/

25.函数fx=x^2在x=1处连续，则lim_{x→1}fx=______【答案】1【解析】连续函数的极限等于函数值，所以lim_{x→1}fx=1^2=

16.极限lim_{x→0}tanx/x的值为______【答案】1【解析】根据极限的基本结论，lim_{x→0}tanx/x=

17.极限lim_{x→1}x^3-1/x-1的值为______【答案】3【解析】分子分母同除以x-1，得lim_{x→1}x^2+x+1=

38.极限lim_{x→∞}e^x+1/e^x-1的值为______【答案】1【解析】分子分母同除以e^x，得lim_{x→∞}1+e^-x/1-e^-x=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个数列的极限存在，它们的和的极限也存在（）【答案】（√）【解析】根据数列极限的性质，两个数列的极限存在，它们的和的极限也存在

2.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有界（）【答案】（×）【解析】连续函数不一定有界，例如fx=1/x在0,1上连续但无界

3.极限lim_{x→0}sin1/x不存在（）【答案】（√）【解析】sin1/x在x→0时振荡无界，所以极限不存在

4.若函数fx在点x₀处可导，则fx在x₀处连续（）【答案】（√）【解析】可导函数一定连续，这是微积分的基本定理之一

5.极限lim_{x→∞}1/x^2=0（）【答案】（√）【解析】根据极限的基本结论，lim_{x→∞}1/x^2=0

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述极限ε-δ定义【答案】对于函数fx的极限lim_{x→x₀}fx=A，如果对于任意ε0，存在δ0，当0|x-x₀|δ时，有|fx-A|ε，则称A是fx当x→x₀时的极限

2.简述数列极限的ε-N定义【答案】对于数列{a_n}的极限lim_{n→∞}a_n=L，如果对于任意ε0，存在正整数N，当nN时，有|a_n-L|ε，则称L是数列{a_n}的极限

3.简述连续函数的介值定理【答案】如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa与fb异号，则存在ξ∈a,b，使得fξ=

04.简述洛必达法则的适用条件【答案】洛必达法则适用于极限形式为0/0或∞/∞时，如果lim_{x→x₀}fx/gx是0/0或∞/∞形式，且fx和gx在x₀处可导，且gx≠0，则lim_{x→x₀}fx/gx=lim_{x→x₀}fx/gx

5.简述等价无穷小的概念【答案】如果当x→0时，fx和gx的比值趋近于1，即lim_{x→0}fx/gx=1，则称fx和gx是等价无穷小

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^2sin1/x在x→0时的极限【答案】分析当x→0时，x^2→0，sin1/x在-1和1之间振荡，但x^2是高阶无穷小，可以控制sin1/x的振荡解由于|sin1/x|≤1，所以|x^2sin1/x|≤x^2由于lim_{x→0}x^2=0，根据夹逼定理，lim_{x→0}x^2sin1/x=

02.分析函数fx=e^x-1-x/x^2在x→0时的极限【答案】分析当x→0时，e^x-1-x是x的高阶无穷小，可以用泰勒展开或洛必达法则求解解方法一利用泰勒展开，e^x=1+x+x^2/2+ox^2，所以e^x-1-x=x^2/2+ox^2因此，lim_{x→0}e^x-1-x/x^2=lim_{x→0}x^2/2+ox^2/x^2=1/2方法二利用洛必达法则，lim_{x→0}e^x-1-x/x^2=lim_{x→0}e^x-1/2x=lim_{x→0}e^x/2=1/2

七、综合应用题（每题20分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-1/x-1，求lim_{x→1}fx【答案】分析当x→1时，函数形式为0/0，可以用洛必达法则或分解因式求解解方法一洛必达法则，lim_{x→1}x^2-1/x-1=lim_{x→1}2x/1=2方法二分解因式，fx=x-1x+1/x-1=x+1（x≠1）因此，lim_{x→1}fx=lim_{x→1}x+1=2完整标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.B

4.D

5.A

6.D

7.C

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、C

3.A、B、C

4.A、B、C、D

5.B、C、D

三、填空题

1.

42.1/

23.

14.1/

25.

16.

17.

38.1

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.对于函数fx的极限lim_{x→x₀}fx=A，如果对于任意ε0，存在δ0，当0|x-x₀|δ时，有|fx-A|ε，则称A是fx当x→x₀时的极限

2.对于数列{a_n}的极限lim_{n→∞}a_n=L，如果对于任意ε0，存在正整数N，当nN时，有|a_n-L|ε，则称L是数列{a_n}的极限

3.如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa与fb异号，则存在ξ∈a,b，使得fξ=

04.洛必达法则适用于极限形式为0/0或∞/∞时，如果lim_{x→x₀}fx/gx是0/0或∞/∞形式，且fx和gx在x₀处可导，且gx≠0，则lim_{x→x₀}fx/gx=lim_{x→x₀}fx/gx

5.如果当x→0时，fx和gx的比值趋近于1，即lim_{x→0}fx/gx=1，则称fx和gx是等价无穷小

六、分析题

1.分析当x→0时，x^2→0，sin1/x在-1和1之间振荡，但x^2是高阶无穷小，可以控制sin1/x的振荡解由于|sin1/x|≤1，所以|x^2sin1/x|≤x^2由于lim_{x→0}x^2=0，根据夹逼定理，lim_{x→0}x^2sin1/x=

02.分析当x→0时，e^x-1-x是x的高阶无穷小，可以用泰勒展开或洛必达法则求解解方法一利用泰勒展开，e^x=1+x+x^2/2+ox^2，所以e^x-1-x=x^2/2+ox^2因此，lim_{x→0}e^x-1-x/x^2=lim_{x→0}x^2/2+ox^2/x^2=1/2方法二利用洛必达法则，lim_{x→0}e^x-1-x/x^2=lim_{x→0}e^x-1/2x=lim_{x→0}e^x/2=1/2

七、综合应用题

1.分析当x→1时，函数形式为0/0，可以用洛必达法则或分解因式求解解方法一洛必达法则，lim_{x→1}x^2-1/x-1=lim_{x→1}2x/1=2方法二分解因式，fx=x-1x+1/x-1=x+1（x≠1）因此，lim_{x→1}fx=lim_{x→1}x+1=2。