清华大学极限课后试题及答案解析

清华大学极限课后试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.极限ε-δ定义中，ε表示（）（2分）A.函数增量B.自变量增量C.任意正数D.极限值【答案】C【解析】ε-δ定义中，ε是任意给定的正数，用来表示函数值与极限值之间的接近程度

2.下列极限计算正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞1/x^2=0C.limx→01/x=1D.limx→1x^2-1/x-1=1【答案】B【解析】A选项极限不存在；C选项极限不存在；D选项极限为

23.函数fx在x=x₀处连续的必要条件是（）（2分）A.limx→x₀fx存在B.fx₀存在C.limx→x₀^+fx=limx→x₀^-fxD.A、B、C都是【答案】D【解析】函数在某点连续需要满足左极限等于右极限且等于该点函数值

4.若fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处（）（2分）A.连续B.可微C.可积D.A、B、C都是【答案】D【解析】可导的函数一定连续且可微，也可积

5.以下说法正确的是（）（2分）A.若limx→x₀gx=∞，则limx→x₀fx/gx不存在B.若fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处可微C.若limx→x₀gx=0，则limx→x₀fxgx=0D.若limx→x₀gx=0，则limx→x₀fx/gx=0【答案】B【解析】A、C、D选项均错误，只有B选项正确

6.以下函数在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^3C.fx=x^2D.fx=√x【答案】A【解析】绝对值函数在x=0处不可导

7.函数fx=x^2在区间[0,1]上的平均变化率为（）（2分）A.1B.2C.1/2D.3【答案】B【解析】平均变化率=f1-f0/1-0=

28.函数fx=e^x在x=0处的线性近似为（）（2分）A.xB.1C.x+1D.1+x【答案】D【解析】线性近似为fx≈f0+f0x-0=1+x

9.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b上（）（2分）A.必有最大值和最小值B.无最大值和最小值C.可能有极值D.A、B、C都不对【答案】C【解析】连续函数在开区间内可能有极值，但未必有最值

10.以下极限计算正确的是（）（2分）A.limx→0sinx/x=0B.limx→∞x/x+1=1C.limx→01/x=1D.limx→1x^2-1/x-1=1【答案】B【解析】A、C、D选项极限计算错误

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于极限的描述正确的有（）（4分）A.极限ε-δ定义中，δ依赖于εB.极限ε-δ定义中，ε可以任意小C.函数在某点连续的充要条件是该点极限存在且等于函数值D.若fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处连续【答案】A、B、C、D【解析】四个选项均正确

2.以下函数在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=|x|D.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】绝对值函数在x=0处不可导

3.以下关于导数的描述正确的有（）（4分）A.导数是函数在某点处的变化率B.导数是函数图像在某点处切线的斜率C.导数是函数在某点处函数值的增量D.若fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处连续【答案】A、B、D【解析】C选项错误，导数是函数值的增量与自变量增量的比值

4.以下极限计算正确的有（）（4分）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞1/x=0C.limx→01/x=1D.limx→1x^2-1/x-1=2【答案】A、B、D【解析】C选项极限不存在

5.以下关于函数连续性的描述正确的有（）（4分）A.连续函数的图像是连续不断的B.若fx在x=x₀处连续，则limx→x₀fx存在C.若fx在x=x₀处连续，则fx₀存在D.若fx在x=x₀处连续，则limx→x₀^+fx=limx→x₀^-fx【答案】A、B、C、D【解析】四个选项均正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若limx→x₀fx=A，则称fx在x=x₀处______，A称为fx在x=x₀处的______（4分）【答案】极限存在；极限

2.函数fx在x=x₀处可导的几何意义是函数在点x₀,fx₀处______（4分）【答案】存在切线

3.函数fx=x^2在区间[1,2]上的平均变化率为______（4分）【答案】

34.函数fx=e^x在x=1处的线性近似为______（4分）【答案】e+x-

15.若函数fx在[a,b]上连续，则根据介值定理，对于任意λ属于______，至少存在一个ξ属于______，使得fξ=λ（4分）【答案】[minfa,maxfb]；[a,b]

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若limx→x₀gx=∞，则limx→x₀fx/gx不存在（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=gx=x，则极限为

12.若fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处可微（）（2分）【答案】（√）【解析】可导的函数一定可微

3.若limx→x₀gx=0，则limx→x₀fxgx=0（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/gx，则极限可能不存在

4.若limx→x₀gx=0，则limx→x₀fx/gx=0（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=gx，则极限为

15.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（×）【解析】开区间上连续函数未必有最值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述极限ε-δ定义的内涵（5分）【答案】极限ε-δ定义的内涵是对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当自变量x与x₀的差的绝对值小于δ时，函数值fx与极限值A的差的绝对值小于ε，即|fx-A|ε这描述了函数值与极限值无限接近的过程

2.简述导数的几何意义（5分）【答案】导数的几何意义是函数在某点处切线的斜率如果函数fx在点x₀处可导，那么fx₀就是函数fx在点x₀,fx₀处的切线斜率

3.简述函数在一点处连续的三个条件（5分）【答案】函数在一点处连续的三个条件是

①函数在该点处有定义；

②函数在该点处的极限存在；

③函数在该点处的极限值等于函数值即limx→x₀fx=fx₀

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^2在区间[0,2]上的单调性（10分）【答案】函数fx=x^2在区间[0,2]上是单调递增的因为fx=2x，在区间[0,2]上，fx≥0，所以函数在该区间上单调递增

2.分析函数fx=e^x在x=0处的线性近似（10分）【答案】函数fx=e^x在x=0处的线性近似为1+x因为f0=1，fx=e^x，所以f0=1，根据线性近似公式，fx≈f0+f0x-0=1+x

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x+2，求函数在区间[-2,2]上的最大值和最小值（25分）【答案】首先求导数fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1计算f-2=-10，f-1=5，f1=-1，f2=0所以最大值为5，最小值为-

102.已知函数fx=sinx，求函数在x=0处的线性近似（25分）【答案】函数fx=sinx在x=0处的线性近似为x因为f0=0，fx=cosx，所以f0=1，根据线性近似公式，fx≈f0+f0x-0=x。