清华大学高分典型试题及答案解析

清华大学高分典型试题及答案解析

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（1分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=-x+5【答案】A【解析】y=2x+1是一次函数，其斜率为正，故在其定义域内单调递增

2.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）（1分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A与B的交集是两个集合共有的元素，即{2,3}

3.下列命题中，正确的是（）（1分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有无数个子集C.两个集合的并集一定是真子集D.两个集合的交集一定是空集【答案】A【解析】空集是任何集合的子集，这是集合论的基本性质

4.函数fx=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）（1分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】sinx在[0,π]上的最大值为

15.下列不等式中，正确的是（）（1分）A.3^22^3B.3^32^4C.2^43^3D.2^33^2【答案】B【解析】2716，故3^32^

46.下列方程中，有实数解的是（）（1分）A.x^2+4=0B.x^2-4=0C.x^2+1=0D.x^2-1=0【答案】B【解析】x^2-4=0可以分解为x-2x+2=0，解为x=2或x=-

27.下列函数中，是偶函数的是（）（1分）A.fx=xB.fx=x^2C.fx=x^3D.fx=x^4【答案】B【解析】fx=x^2满足f-x=fx，是偶函数

8.下列数列中，是等差数列的是（）（1分）A.1,3,5,7B.1,4,9,16C.1,3,7,13D.1,2,4,8【答案】A【解析】1,3,5,7的相邻项之差为2，是等差数列

9.下列几何体中，是正方体的是（）（1分）A.长方体B.正方体C.立方体D.棱柱【答案】B【解析】正方体的所有棱长都相等，所有面都是正方形

10.下列命题中，是假命题的是（）（1分）A.全等三角形对应边相等B.相似三角形对应角相等C.等腰三角形的底角相等D.直角三角形的斜边最长【答案】D【解析】直角三角形的斜边不一定最长，最长边取决于具体情况

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是集合论的基本概念？（）A.元素B.子集C.交集D.并集E.补集【答案】A、B、C、D、E【解析】元素、子集、交集、并集、补集都是集合论的基本概念

2.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=-x+5E.y=e^x【答案】A、D、E【解析】y=2x+

1、y=-x+

5、y=e^x在其定义域内单调递增

3.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有无数个子集C.两个集合的并集一定是真子集D.两个集合的交集一定是空集E.全等三角形对应边相等【答案】A、E【解析】空集是任何集合的子集，全等三角形对应边相等是真命题

4.以下哪些是三角函数的基本性质？（）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.对称性E.周期性【答案】A、B、C、D【解析】三角函数具有周期性、奇偶性、单调性和对称性

5.以下哪些是几何体的基本概念？（）A.点B.线C.面D.体E.棱【答案】A、B、C、D、E【解析】点、线、面、体、棱都是几何体的基本概念

三、填空题

1.若函数fx=ax+b，且f1=3，f2=5，则a=______，b=______（4分）【答案】2；1【解析】由f1=3，得a+b=3；由f2=5，得2a+b=5解得a=2，b=

12.若集合A={x|x0}，B={x|x5}，则A∩B=______（4分）【答案】0,5【解析】A与B的交集是两个集合共有的元素，即0x

53.若函数fx=sinx在区间[0,π]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】1；-1【解析】sinx在[0,π]上的最大值为1，最小值为-

14.若数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_2=5，则a_3=______（4分）【答案】8【解析】等差数列的公差为a_2-a_1=3，故a_3=a_2+3=

85.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则其面积=______（4分）【答案】6【解析】三角形ABC是直角三角形，面积=1/2×3×4=6

四、判断题

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.函数fx=cosx在区间[0,2π]上是单调递减的（）（2分）【答案】（×）【解析】cosx在[0,π/2]上单调递减，在[π/2,3π/2]上单调递增，在[3π/2,2π]上单调递减

3.集合A={x|x0}是实数集R的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】所有大于0的实数都属于集合A，故A是R的子集

4.函数fx=x^3是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-x^3=-x^3=-fx，是奇函数

5.等腰三角形的底角一定相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形的两腰相等，底角也相等

五、简答题

1.简述函数单调性的定义及其判断方法（5分）【答案】函数单调性定义若对于区间I内的任意两个数x1，x2，当x1x2时，总有fx1fx2，则称函数fx在区间I上单调递增；当x1x2时，总有fx1fx2，则称函数fx在区间I上单调递减判断方法

（1）利用导数若fx0，则fx单调递增；若fx0，则fx单调递减

（2）利用定义通过取任意x1，x2比较fx1与fx2的大小来判断

2.简述集合论中的基本概念及其关系（5分）【答案】集合论中的基本概念

（1）元素组成集合的基本单位

（2）子集若集合A中的所有元素都属于集合B，则A是B的子集

（3）交集两个集合共有的元素组成的集合

（4）并集两个集合的所有元素组成的集合

（5）补集在全集S中，不属于集合A的元素组成的集合关系

（1）子集与交集、并集的关系A⊆A∩B，A⊆A∪B

（2）交集与并集的关系A∩B⊆A，A∩B⊆B；A∪B⊇A，A∪B⊇B

3.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值（10分）【答案】求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，得x=1，x=-1在区间[-2,-1]上，fx0，函数单调递增；在区间[-1,1]上，fx0，函数单调递减；在区间[1,2]上，fx0，函数单调递增极值f-1=-1^3-3-1=2，为极大值；f1=1^3-31=-2，为极小值

2.分析集合A={x|x^2-4x+3=0}与集合B={x|x1}的交集和并集（10分）【答案】解方程x^2-4x+3=0，得x=1或x=3，故A={1,3}A∩B={x|x∈A且x1}={3}；A∪B={x|x∈A或x1}={1,2,3,4,5,...}

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂的盈亏平衡点（20分）【答案】设生产量为x件，总收入为R=80x，总成本为C=10000+50x盈亏平衡点R=C，即80x=10000+50x，解得x=200故盈亏平衡点为200件

2.某学生准备参加一场考试，每天学习时间为6小时，准备时间为30天若前10天每天学习时间为8小时，后20天每天学习时间为4小时，求该学生总共学习的时数（25分）【答案】前10天学习时数10×8=80小时；后20天学习时数20×4=80小时；总共学习时数80+80=160小时

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.B

8.A

9.B

10.D

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、D、E

3.A、E

4.A、B、C、D

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.2；

12.0,

53.1；-

14.

85.6

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。