潍坊数学竞赛试题及答案解析

潍坊数学竞赛试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若a0，b0，则下列不等式中成立的是（）（2分）A.a+b0B.a-b0C.-a+b0D.-a-b0【答案】C【解析】由于a0，-a0，又b0，所以-a+b

02.函数fx=x^2-2x+3的顶点坐标是（）（2分）A.1,2B.1,4C.-1,-2D.-1,4【答案】B【解析】函数fx=x^2-2x+3可化为fx=x-1^2+2，顶点坐标为1,

23.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=75°，则∠C的度数是（）（2分）A.60°B.65°C.70°D.75°【答案】A【解析】根据三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-75°=60°

4.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.-1,-1D.-2,-3【答案】B【解析】联立方程组y=2x+1y=-x+3解得x=2，y=5，交点坐标为2,

55.若等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，则a_5的值是（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】设公比为q，则a_3=a_1q^2，即8=2q^2，解得q=2，所以a_5=a_1q^4=22^4=

326.在直角坐标系中，点Px,y到原点的距离为5，则x^2+y^2的值是（）（2分）A.5B.10C.25D.30【答案】C【解析】根据点到原点的距离公式，x^2+y^2=5^2=

257.函数fx=sinx+π/6的图像关于哪个点对称？（）（2分）A.0,0B.π/6,0C.π/3,0D.π/2,0【答案】C【解析】正弦函数y=sinx+φ的图像关于点π-φ,0对称，所以fx=sinx+π/6的对称点是π-π/6,0=π/3,

08.抛物线y^2=8x的焦点坐标是（）（2分）A.2,0B.4,0C.0,2D.0,4【答案】A【解析】抛物线y^2=2px的焦点坐标为π/2,0，这里p=4，所以焦点坐标为2,

09.若复数z=1+i，则z^2的值是（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

10.样本数据5,7,9,10,12的方差是（）（2分）A.4B.9C.16D.25【答案】A【解析】样本平均数为5+7+9+10+12/5=9，方差s^2=[5-9^2+7-9^2+9-9^2+10-9^2+12-9^2]/5=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若|a|=|b|，则a=bD.等腰三角形的底角相等【答案】A、D【解析】空集是任何集合的子集，等腰三角形的底角相等，故A、D正确；若ab且a,b均正，则a^2b^2，故B错误；|a|=|b|时，a=b或a=-b，故C错误

2.以下函数中，在定义域上单调递增的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2^xD.y=lgx【答案】A、C【解析】y=x^3在R上单调递增，y=2^x在R上单调递增，y=1/x在0,+∞上单调递减，y=lgx在0,+∞上单调递增

3.以下不等式成立的有（）（4分）A.√

21.4B.3^

0.52^

0.5C.2^-13^-1D.10^-29^-1【答案】A、C【解析】√2≈

1.

4141.4，2^-1=1/2=

0.5，3^-1=1/3≈

0.333，

0.

50.333，故A、C正确；3^

0.5≈

1.732，2^

0.5≈

1.414，

1.

7321.414，故B错误；10^-2=

0.01，9^-1=1/9≈

0.111，

0.

010.111，故D错误

4.以下数列中，是等差数列的有（）（4分）A.1,3,7,13,...B.2,4,8,16,...C.3,6,9,12,...D.a_n=a_1+n-1d【答案】C、D【解析】3,6,9,12,...的公差为3，是等差数列；a_n=a_1+n-1d是等差数列的通项公式，故C、D正确；1,3,7,13,...的差分别为2,4,6，不是等差数列；2,4,8,16,...的差分别为2,4,8，不是等差数列

5.以下命题中正确的有（）（4分）A.若fx是奇函数，则f0=0B.若fx是偶函数，则f-x=-fxC.若fx是周期函数，则存在T0使得fx+T=fxD.若fx是单调函数，则其反函数也存在【答案】C、D【解析】奇函数fx关于原点对称，但不一定过原点，故A错误；偶函数fx关于y轴对称，f-x=fx，故B错误；周期函数fx满足fx+T=fx，故C正确；单调函数fx的反函数也存在，故D正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若方程x^2-px+q=0的两根之比为2:3，则p/q=______（4分）【答案】5/6【解析】设两根为2k,3k，则2k+3k=p，6k^2=q，p/q=2k+3k/6k^2=5k/6k^2=5/

62.在△ABC中，若AB=5，BC=7，AC=8，则△ABC的面积S=______（4分）【答案】20【解析】设AB=c=5，BC=a=7，AC=b=8，由海伦公式s=a+b+c/2=10，S=√[ss-as-bs-c]=√[10×10-7×10-8×10-5]=√[10×3×2×5]=

203.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=

34.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b=______（4分）【答案】-5【解析】a·b=1×3+2×-4=3-8=-

55.样本数据3,x,5,7,9的众数是5，则x的值是______（4分）【答案】5【解析】众数是出现次数最多的数，样本数据中5出现两次，若x≠5，则x不能成为众数，故x=5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab，但√a无意义，√b也无意义，不能比较大小

2.若fx是奇函数，则fx^2也是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fx是奇函数，则f-x=-fx，fx^2是偶函数，f-x^2=fx^2，所以fx^2也是奇函数，因为f-x^2=-fx^

23.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n+1^2-a_n^2=a_n+d^2-a_n^2=2da_n+d^2，不是常数，故{a_n^2}不是等差数列

4.若fx=x^2+x+1，则fx在R上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】fx的导数fx=2x+1，当x-1/2时单调递增，当x-1/2时单调递减，故fx在R上不单调递增

5.若圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在直线y=x上，则该圆的半径是______（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的标准方程为x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-3，不在直线y=x上，故该题干有误，若圆心在y=x上，则圆心为2,-2，半径为√[2-0^2+-2-0^2]=√8=2√2

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2故最大值为2，最小值为-

22.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n（4分）【答案】a_n=2n【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d，14=2+4d，解得d=3，a_n=a_1+n-1d=2+3n-1=2n

3.已知直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+3=0，求l1和l2的夹角θ的余弦值（4分）【答案】cosθ=√5/5【解析】l1的斜率k1=-2，l2的斜率k2=1/2，cosθ=|k1k2+1|/√1+k1^2√1+k2^2=|-2×1/2+1|/√1+4√1+1/2^2=√5/5

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，证明fx在R上至少有一个零点（10分）【答案】证明

（1）取x=0，f0=2≠0；

（2）取x=2，f2=-2≠0；

（3）取x=-1，f-1=-2≠0；

（4）取x=3，f3=2≠0；

（5）取x=1，f1=0；故fx在R上至少有一个零点x=

12.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时x的取值范围（10分）【答案】最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=3，取得最小值时x在-2和1之间，即x∈[-2,1]

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知函数fx=x^3-3x^2+2，且存在实数a，使得fx=ax+1在x=1处相切，求实数a的值及切线方程（25分）【答案】a=-3，切线方程为y=-3x+4【解析】

（1）fx=x^3-3x^2+2，fx=3x^2-6x

（2）f1=0，f1=-3

（3）fx=ax+1在x=1处相切，则f1=a+1=0，f1=a=-3

（4）切线方程为y-f1=f1x-1，即y=-3x+4。