矩阵测试典型试题及答案解析

矩阵测试典型试题及答案解析

一、单选题

1.若矩阵A是3×2矩阵，矩阵B是2×4矩阵，则矩阵AB是（）（2分）A.3×4矩阵B.2×3矩阵C.4×2矩阵D.6×6矩阵【答案】A【解析】矩阵乘法的规则要求，左矩阵的列数等于右矩阵的行数矩阵A的列数为2，矩阵B的行数为2，因此可以相乘结果矩阵的行数等于左矩阵的行数，即3，列数等于右矩阵的列数，即4所以矩阵AB是3×4矩阵

2.下列哪个矩阵是单位矩阵？（）（1分）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}$【答案】A【解析】单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素都是1，其余元素都是0选项A符合这一条件，而其他选项不符合

3.若矩阵A可逆，且A的转置矩阵记为A^T，则A^T^-1等于（）（2分）A.A^-1B.A^-1^TC.AD.A^T【答案】B【解析】根据矩阵的性质，若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆，且A^T^-1等于A^-1^T

4.矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的行列式值是（）（1分）A.-2B.2C.5D.6【答案】A【解析】矩阵的行列式计算公式为ad-bc，对于矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，行列式值为1×4-2×3=-

25.下列哪个矩阵是奇异矩阵？（）（2分）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}50\\05\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$【答案】B【解析】奇异矩阵是指行列式为零的方阵计算各选项矩阵的行列式，发现只有选项B的行列式值为0，即2×6-3×4=

06.若矩阵A是4×3矩阵，矩阵B是3×2矩阵，则矩阵BA是（）（1分）A.4×2矩阵B.3×3矩阵C.2×4矩阵D.6×6矩阵【答案】A【解析】矩阵乘法的规则要求，左矩阵的列数等于右矩阵的行数矩阵A的列数为3，矩阵B的行数为3，因此可以相乘结果矩阵的行数等于左矩阵的行数，即4，列数等于右矩阵的列数，即2所以矩阵BA是4×2矩阵

7.矩阵$\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}$的特征值是（）（2分）A.1,6B.2,3C.0,5D.2,-3【答案】B【解析】矩阵的特征值是特征方程的解对于对角矩阵，特征值就是对角线上的元素因此，矩阵$\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}$的特征值是2和

38.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）（1分）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$【答案】C【解析】正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵选项C中的矩阵满足这一条件，因为其转置矩阵与其逆矩阵相等

9.矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的逆矩阵是（）（2分）A.$\begin{pmatrix}-21\\1-

0.5\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}$【答案】A【解析】矩阵的逆矩阵计算公式为$\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}$，对于矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，逆矩阵为$\frac{1}{1×4-2×3}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\1-

0.5\end{pmatrix}$

10.若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×m矩阵，则矩阵AB是（）（1分）A.m×n矩阵B.n×m矩阵C.m×m矩阵D.n×n矩阵【答案】C【解析】矩阵乘法的规则要求，左矩阵的列数等于右矩阵的行数矩阵A的列数为n，矩阵B的行数为n，因此可以相乘结果矩阵的行数等于左矩阵的行数，即m，列数等于右矩阵的列数，即m所以矩阵AB是m×m矩阵

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵运算的基本性质？（）A.矩阵加法满足交换律B.矩阵乘法满足结合律C.矩阵乘法满足交换律D.矩阵乘法满足分配律E.矩阵乘法中左乘和右乘结果相同【答案】A、B、D【解析】矩阵加法满足交换律，即A+B=B+A；矩阵乘法满足结合律，即A×B×C=A×B×C；矩阵乘法满足分配律，即A×B+C=A×B+A×C；矩阵乘法不满足交换律，即A×B不一定等于B×A；矩阵乘法中左乘和右乘结果不相同，即A×B不一定等于B×A

2.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}50\\05\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$【答案】A、C【解析】可逆矩阵是指行列式不为零的方阵计算各选项矩阵的行列式，发现只有选项A和C的行列式值不为零，即1×1-0×0=1和5×5-0×0=

253.以下哪些是特征值和特征向量的性质？（）A.特征向量对应的特征值唯一B.不同特征值对应的特征向量线性无关C.特征值的平方仍然是特征值D.零向量可以是特征向量E.特征值可以是负数【答案】A、B、E【解析】特征向量对应的特征值唯一；不同特征值对应的特征向量线性无关；特征值的平方不一定是特征值，只有当特征值为零时，其平方仍然是特征值；零向量不可以是特征向量；特征值可以是负数

4.以下哪些是正交矩阵的性质？（）A.正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵B.正交矩阵的行列式绝对值为1C.正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵D.正交矩阵的特征值绝对值为1E.正交矩阵的转置矩阵等于其自身【答案】A、B、C【解析】正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵；正交矩阵的行列式绝对值为1；正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵；正交矩阵的特征值绝对值不一定为1，可以是实数或复数；正交矩阵的转置矩阵不一定等于其自身，除非它是对称矩阵

5.以下哪些是矩阵的初等变换？（）A.交换两行B.某行乘以非零常数C.某行加上另一行的若干倍D.某列乘以非零常数E.某列加上另一列的若干倍【答案】A、B、C【解析】矩阵的初等变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的若干倍；某列乘以非零常数和某列加上另一列的若干倍不属于初等行变换，而是初等列变换

三、填空题

1.矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的转置矩阵是______（4分）【答案】$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$

2.矩阵$\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}$的迹是______（4分）【答案】

53.若矩阵A是3×2矩阵，矩阵B是2×3矩阵，则矩阵AB的秩最大为______（4分）【答案】

24.矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的伴随矩阵是______（4分）【答案】$\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}$

5.若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×m矩阵，且AB是m×m矩阵，则n的取值范围是______（4分）【答案】n=m

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个非零矩阵的乘积一定是非零矩阵（）【答案】（×）【解析】两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，例如$\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}00\\11\end{pmatrix}$的乘积是$\begin{pmatrix}00\\00\end{pmatrix}$

2.若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆（）【答案】（√）【解析】若矩阵A可逆，则存在矩阵A^-1使得AA^-1=I，其中I是单位矩阵由于矩阵乘法满足交换律，有A^-1A=I因此，A^TA^-1^T=I，即A^T^-1=A^-1^T所以，若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆

3.矩阵的特征值只能是实数（）【答案】（×）【解析】矩阵的特征值可以是实数或复数例如，对于实对称矩阵，其特征值一定是实数；但对于非实对称矩阵，其特征值可以是复数

4.若矩阵A是正交矩阵，则其特征值的绝对值一定是1（）【答案】（×）【解析】正交矩阵的特征值的绝对值不一定为1，可以是实数或复数例如，对于2×2正交矩阵$\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$，其特征值为e^iθ和e^-iθ，绝对值为

15.矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩（）【答案】（√）【解析】矩阵的初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的若干倍这些变换都不改变矩阵的秩

五、简答题（每题2-5分，共10分）

1.简述矩阵乘法的定义和性质【答案】矩阵乘法定义为若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵C=AB是m×p矩阵，其中C的元素c_ij为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和矩阵乘法满足结合律，即A×B×C=A×B×C；分配律，即A×B+C=A×B+A×C；但一般不满足交换律，即A×B不一定等于B×A

2.简述矩阵的特征值和特征向量的定义【答案】矩阵的特征值和特征向量定义如下对于矩阵A，若存在数λ和向量x（非零向量），使得Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为A对应于特征值λ的特征向量

3.简述正交矩阵的定义和性质【答案】正交矩阵定义若矩阵Q是n×n矩阵，且Q的转置矩阵Q^T等于其逆矩阵Q^-1，即Q^TQ=QQ^T=I，其中I是n×n单位矩阵，则称Q为正交矩阵正交矩阵的性质包括转置矩阵等于逆矩阵；行列式绝对值为1；乘积仍然是正交矩阵；特征值绝对值为1

六、分析题（每题10-15分，共30分）

1.分析矩阵$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的特征值和特征向量【答案】

（1）计算特征多项式detA-λI=det$\begin{pmatrix}1-λ2\\34-λ\end{pmatrix}$=1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2

（2）解特征方程λ^2-5λ-2=0，得到特征值λ1=5+√17，λ2=5-√17

（3）求特征向量对于λ1=5+√17，解A-λ1Ix=0，得到特征向量x1=$\begin{pmatrix}1\\\frac{3}{2}5+√17\end{pmatrix}$对于λ2=5-√17，解A-λ2Ix=0，得到特征向量x2=$\begin{pmatrix}1\\\frac{3}{2}5-√17\end{pmatrix}$

2.分析矩阵$\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}$的逆矩阵【答案】

（1）计算行列式detA=2×3-0×0=6，不为零，所以矩阵可逆

（2）计算伴随矩阵A的伴随矩阵为$\begin{pmatrix}30\\02\end{pmatrix}$

（3）计算逆矩阵A^-1=$\frac{1}{6}\begin{pmatrix}30\\02\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}0\\0\frac{1}{3}\end{pmatrix}$

3.分析矩阵$\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$的正交性【答案】

（1）计算转置矩阵A^T=$\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\theta\\-\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$

（2）计算AA^T$\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\theta\\-\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$

（3）计算A^TA$\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\theta\\-\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$由于AA^T=A^TA=I，所以矩阵A是正交矩阵

七、综合应用题（每题20-25分，共50分）

1.已知矩阵A=$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，B=$\begin{pmatrix}01\\23\end{pmatrix}$，求矩阵C=2A-3B及其逆矩阵（如果存在）【答案】

（1）计算矩阵C C=2A-3B=2$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$-3$\begin{pmatrix}01\\23\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}24\\68\end{pmatrix}$-$\begin{pmatrix}03\\69\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}21\\0-1\end{pmatrix}$

（2）计算行列式detC=2×-1-1×0=-2，不为零，所以矩阵可逆

（3）计算伴随矩阵C的伴随矩阵为$\begin{pmatrix}-1-1\\02\end{pmatrix}$

（4）计算逆矩阵C^-1=$\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1-1\\02\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\\0-1\end{pmatrix}$

2.已知矩阵A=$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，B=$\begin{pmatrix}01\\23\end{pmatrix}$，求矩阵C=AB及其逆矩阵（如果存在）【答案】

（1）计算矩阵C C=AB=$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}01\\23\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}47\\815\end{pmatrix}$

（2）计算行列式detC=4×15-7×8=60-56=4，不为零，所以矩阵可逆

（3）计算伴随矩阵C的伴随矩阵为$\begin{pmatrix}15-7\\-84\end{pmatrix}$

（4）计算逆矩阵C^-1=$\frac{1}{4}\begin{pmatrix}15-7\\-84\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}\frac{15}{4}-\frac{7}{4}\\-21\end{pmatrix}$

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、D

2.A、C

3.A、B、E

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$

2.

53.

24.$\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}$

5.n=m

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.矩阵乘法定义为若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵C=AB是m×p矩阵，其中C的元素c_ij为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和矩阵乘法满足结合律，即A×B×C=A×B×C；分配律，即A×B+C=A×B+A×C；但一般不满足交换律，即A×B不一定等于B×A

2.矩阵的特征值和特征向量定义如下对于矩阵A，若存在数λ和向量x（非零向量），使得Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为A对应于特征值λ的特征向量

3.正交矩阵定义若矩阵Q是n×n矩阵，且Q的转置矩阵Q^T等于其逆矩阵Q^-1，即Q^TQ=QQ^T=I，其中I是n×n单位矩阵，则称Q为正交矩阵正交矩阵的性质包括转置矩阵等于逆矩阵；行列式绝对值为1；乘积仍然是正交矩阵；特征值绝对值为1

六、分析题

1.计算特征多项式detA-λI=det$\begin{pmatrix}1-λ2\\34-λ\end{pmatrix}$=1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2解特征方程λ^2-5λ-2=0，得到特征值λ1=5+√17，λ2=5-√17求特征向量对于λ1=5+√17，解A-λ1Ix=0，得到特征向量x1=$\begin{pmatrix}1\\\frac{3}{2}5+√17\end{pmatrix}$对于λ2=5-√17，解A-λ2Ix=0，得到特征向量x2=$\begin{pmatrix}1\\\frac{3}{2}5-√17\end{pmatrix}$

2.计算特征多项式detA-λI=det$\begin{pmatrix}2-λ0\\03-λ\end{pmatrix}$=2-λ3-λ-0=λ^2-5λ+6解特征方程λ^2-5λ+6=0，得到特征值λ1=2，λ2=3求特征向量对于λ1=2，解A-λ1Ix=0，得到特征向量x1=$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$对于λ2=3，解A-λ2Ix=0，得到特征向量x2=$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

3.计算转置矩阵A^T=$\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\theta\\-\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$计算AA^T$\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\theta\\-\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$计算A^TA$\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\theta\\-\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$由于AA^T=A^TA=I，所以矩阵A是正交矩阵

七、综合应用题

1.计算矩阵C C=2A-3B=2$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$-3$\begin{pmatrix}01\\23\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}24\\68\end{pmatrix}$-$\begin{pmatrix}03\\69\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}21\\0-1\end{pmatrix}$计算行列式detC=2×-1-1×0=-2，不为零，所以矩阵可逆计算伴随矩阵C的伴随矩阵为$\begin{pmatrix}-1-1\\02\end{pmatrix}$计算逆矩阵C^-1=$\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1-1\\02\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\\0-1\end{pmatrix}$

2.计算矩阵C C=AB=$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}01\\23\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}47\\815\end{pmatrix}$计算行列式detC=4×15-7×8=60-56=4，不为零，所以矩阵可逆计算伴随矩阵C的伴随矩阵为$\begin{pmatrix}15-7\\-84\end{pmatrix}$计算逆矩阵C^-1=$\frac{1}{4}\begin{pmatrix}15-7\\-84\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}\frac{15}{4}-\frac{7}{4}\\-21\end{pmatrix}$。