矩阵测试真题及精准答案解析

矩阵测试真题及精准答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设A为3×3矩阵，B为2×3矩阵，则下列运算中可行的是（）（2分）A.ABB.BAC.A+BD.A-2B【答案】D【解析】矩阵乘法要求左矩阵列数等于右矩阵行数，故A和B相乘不可行；矩阵加法要求维数相同，AB和BA维数不同，不可行；D选项中A和2B维数相同，可行

2.矩阵的秩为2，则其非零子式的最大阶数是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】矩阵的秩等于其非零子式的最大阶数，故为

23.设A为n阶可逆矩阵，则下列说法正确的是（）（2分）A.|A|=0B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A可能不是方阵【答案】C【解析】可逆矩阵的行列式不为0，行向量组、列向量组均线性无关，且必须是方阵

4.若矩阵A的秩为3，且A的行简化阶梯形为，则矩阵A的列向量组中（）（2分）A.线性无关B.线性相关C.包含两个线性无关向量D.包含三个线性无关向量【答案】C【解析】行简化阶梯形显示有3个主元，故列向量组中包含3个线性无关向量

5.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则|AB|的值（）（2分）A.等于|A||B|B.等于0C.不确定D.等于|BA|【答案】B【解析】当m≠n时，AB不是方阵，其行列式为

06.矩阵A的伴随矩阵记为A，若|A|=2，则|A|等于（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】伴随矩阵行列式等于原矩阵行列式的n-1次方，故为

47.若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则矩阵A的秩（）（2分）A.等于0B.小于nC.等于nD.大于n【答案】B【解析】齐次方程有非零解时，系数矩阵秩小于未知数个数

8.矩阵A的转置记为A^T，则|A^T|等于（）（2分）A.|A|B.-|A|C.1/|A|D.|A|^2【答案】A【解析】矩阵转置不改变行列式的值

9.设A为可逆矩阵，B为同阶矩阵，则下列等式成立的是（）（2分）A.AB=BAB.AB^T=B^TA^TC.|AB|=|BA|D.AB^-1=B^-1A^-1【答案】B【解析】矩阵转置的性质，AB^T=B^TA^T

10.矩阵A的行向量组线性无关，则下列说法正确的是（）（2分）A.A的列向量组线性无关B.A的秩小于其行数C.A为可逆矩阵D.A的行简化阶梯形为单位矩阵【答案】A【解析】行向量组线性无关时，列向量组也线性无关

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法中正确的有（）（4分）A.矩阵的秩等于其非零子式的最大阶数B.可逆矩阵的行列式不为0C.齐次线性方程组总有非零解D.矩阵乘法满足交换律E.伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的n-1次方【答案】A、B、E【解析】C选项错误，只有当系数矩阵秩小于未知数个数时才有非零解；D选项错误，矩阵乘法不满足交换律

2.矩阵A的行简化阶梯形为，则下列说法正确的有（）（4分）A.A的秩为2B.A的列向量组线性无关C.A的行向量组线性无关D.A可逆E.A的列向量组中包含2个线性无关向量【答案】A、E【解析】行简化阶梯形显示有2个主元，故秩为2，列向量组中包含2个线性无关向量；C选项错误，行向量组可能线性相关；D选项错误，A不可逆

3.设A为n阶矩阵，且A^3=0，则下列说法正确的有（）（4分）A.A的行列式为0B.A的秩为0C.A的秩小于3D.A为可逆矩阵E.A的行向量组线性相关【答案】A、C、E【解析】A^3=0时，A的行列式为0；秩小于3；行向量组线性相关

4.下列说法中正确的有（）（4分）A.矩阵乘法满足结合律B.AB^T=B^TA^TC.A^TA是可逆矩阵D.AA^TA是可逆矩阵E.A^TA的秩等于A的秩【答案】A、B、E【解析】C选项错误，A^TA可逆当且仅当A可逆；D选项错误，AA^TA可逆当且仅当A可逆

5.设A为可逆矩阵，B为同阶矩阵，则下列等式成立的有（）（4分）A.AB=BAB.AB^T=B^TA^TC.|AB|=|BA|D.AB^-1=B^-1A^-1E.AA^TA是可逆矩阵【答案】B、C、D【解析】A选项错误，矩阵乘法不满足交换律；E选项错误，AA^TA可逆当且仅当A可逆

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设A为3×4矩阵，B为4×3矩阵，则矩阵乘积AB的秩最大为______（4分）【答案】3【解析】AB为3×3矩阵，其秩最大为

32.设A为n阶矩阵，若A^2=A，则称A为______矩阵（4分）【答案】幂等【解析】满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵

3.若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则其系数矩阵A的秩r满足______（4分）【答案】rn【解析】齐次方程有非零解时，系数矩阵秩小于未知数个数

4.设A为可逆矩阵，B为同阶矩阵，则矩阵方程ABx=C的解为x=______（4分）【答案】B^-1A^-1C【解析】两边左乘B^-1得A^-1C，故x=B^-1A^-1C

四、判断题（每题2分，共10分）

1.矩阵的秩等于其非零子式的最大阶数（）（2分）【答案】（√）

2.若矩阵A的行列式为0，则A不可逆（）（2分）【答案】（√）

3.矩阵乘法满足交换律（）（2分）【答案】（×）

4.若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则其系数矩阵A的秩等于未知数个数（）（2分）【答案】（√）

5.矩阵转置不改变行列式的值（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述矩阵的秩及其几何意义（4分）【答案】矩阵的秩是指矩阵非零子式的最大阶数，也是矩阵行向量组或列向量组的最大线性无关组个数几何意义表示由矩阵行向量或列向量张成的线性空间维数

2.简述可逆矩阵的性质（4分）【答案】可逆矩阵是方阵，其行列式不为0；可逆矩阵的行向量组、列向量组均线性无关；可逆矩阵的转置、伴随矩阵、乘积仍可逆；可逆矩阵存在逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I

3.简述齐次线性方程组解的判定定理（4分）【答案】齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是其系数矩阵A的秩小于未知数个数；只有零解的充分必要条件是其系数矩阵A的秩等于未知数个数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设A为3×3矩阵，且A的行简化阶梯形为，求A的秩，并说明A的列向量组的线性关系（10分）【答案】A的秩为2，因为行简化阶梯形中有2个主元列向量组中包含2个线性无关向量，其余向量可由这两个线性无关向量线性表示

2.设A为4×4矩阵，且A^3=0，证明A的秩小于4（10分）【证明】若A的秩为4，则A可逆，由A^3=0得A^-1A^3=0，即A^2=0，矛盾故A的秩小于4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设A为3×3矩阵，且A的伴随矩阵A满足AA=2I，求|A|，并求A的逆矩阵（25分）【解】由AA=2I得|A|A=2|A|I，即|A|A=2|A|I，故|A|=2两边左乘A^-1得A^-1A=2A^-1I，即A^-1=1/2A^-1，故A^-1=1/2A^-1两边右乘A得A^-1A=1/2A，即A^-1=1/2A^-

12.设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A为4×4矩阵，且其秩为2，求该方程组的基础解系（25分）【解】由秩为2知，基础解系包含2个线性无关解向量设基础解系为x1,x2，则x1,x2满足Ax=0取自由变量为x3,x4，得解为x1=k1x3，x2=k2x4基础解系为x1=1,0,1,0^T，x2=0,1,0,1^T---标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.B

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、E

2.A、E

3.A、C、E

4.A、B、E

5.B、C、D

三、填空题

1.

32.幂等

3.rn

4.B^-1A^-1C

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。